Isometrie nel piano
Sposti una figura sullo schermo del telefono: la trascini, la ruoti, la specchi. La figura cambia posizione, ma resta «la stessa». Quando una trasformazione non deforma niente? In questa pagina lo scopriamo e impariamo a descrivere queste trasformazioni con le coordinate.
Che cos'è un'isometria
Una trasformazione geometrica associa a ogni punto $P$ del piano un punto $P'$, il suo trasformato (o immagine).
Una conseguenza: un'isometria conserva anche gli angoli, il parallelismo, il perimetro e l'area. La figura trasformata è congruente a quella di partenza.
Le isometrie del piano sono quattro: traslazione, rotazione, simmetria assiale e simmetria centrale (che è una rotazione di $180^\circ$).
Non tutte le trasformazioni sono isometrie. L'omotetia di rapporto $k$ moltiplica le lunghezze per $k$: conserva gli angoli e il parallelismo, ma non le distanze (se $k\neq\pm1$).
Indica quali tra le seguenti trasformazioni sono isometrie e quali proprietà conservano: traslazione, rotazione, simmetria assiale, omotetia di rapporto 2.
Indica quali tra le seguenti trasformazioni sono isometrie e quali proprietà conservano: traslazione, rotazione, simmetria assiale, omotetia di rapporto 2.
Traslazione
La traslazione di vettore $\vec{v}=(a;b)$ sposta ogni punto di $a$ in orizzontale e di $b$ in verticale:
$$P(x;y)\mapsto P'(x+a;\,y+b)$$Perché conserva le distanze? Tutti i punti subiscono lo stesso spostamento, quindi le differenze tra le coordinate non cambiano.
Distanza tra due rette parallele. Per trovare la distanza tra $r$ e $r'$ parallele, scegli un punto $P$ su $r$ e calcola la sua distanza da $r'$ con la formula punto-retta: per $ax+by+c=0$ e $P(x_0;y_0)$ vale $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
Nel piano cartesiano sono dati $A(2; 3)$, $B(-1; 4)$ e il vettore $\vec{v} = (3; -2)$. Calcola le coordinate dei traslati $A'$ e $B'$ secondo $\vec{v}$.
Nel piano cartesiano sono dati $A(2; 3)$, $B(-1; 4)$ e il vettore $\vec{v} = (3; -2)$.
Calcola le coordinate dei traslati $A'$ e $B'$ secondo $\vec{v}$.
La retta $r$ ha equazione $y = 2x + 1$ e la traslazione ha vettore $\vec{v} = (3; 1)$. a) Trova l'equazione della retta $r'$ traslata. b) Spiega perché $r$ e $r'$ sono…
La retta $r$ ha equazione $y = 2x + 1$ e la traslazione ha vettore $\vec{v} = (3; 1)$.
- a) Trova l'equazione della retta $r'$ traslata.
- b) Spiega perché $r$ e $r'$ sono parallele.
- c) Calcola la distanza tra $r$ e $r'$.
Simmetrie
La simmetria assiale di asse $r$ manda $P$ in $P'$ in modo che $r$ sia l'asse del segmento $PP'$. Nel piano cartesiano:
| Simmetria | $P(x;y)\mapsto P'$ |
|---|---|
| rispetto all'asse $x$ | $(x;\,-y)$ |
| rispetto all'asse $y$ | $(-x;\,y)$ |
| rispetto alla retta $x=k$ | $(2k-x;\,y)$ |
| rispetto alla retta $y=k$ | $(x;\,2k-y)$ |
| centrale rispetto all'origine | $(-x;\,-y)$ |
| centrale rispetto a $M(a;b)$ | $(2a-x;\,2b-y)$ |
Il motivo: $M$ è il punto medio di $PP'$, quindi $\frac{x+x'}{2}=a$, da cui $x'=2a-x$ (e lo stesso per $y$). Per la simmetria rispetto a $x=k$ la ragione è analoga: il punto medio ha ascissa $k$.
Determina le coordinate del simmetrico del punto $P(4; -3)$: a) rispetto all'asse $x$ b) rispetto all'asse $y$ c) rispetto all'origine
Determina le coordinate del simmetrico del punto $P(4; -3)$:
- a) rispetto all'asse $x$
- b) rispetto all'asse $y$
- c) rispetto all'origine
Dato il segmento $AB$ con $A(1; 2)$ e $B(5; 4)$: a) Trova il simmetrico di $A$ rispetto alla retta $x = 3$. b) Trova il simmetrico di $B$ rispetto alla retta $x = 3$. c)…
Dato il segmento $AB$ con $A(1; 2)$ e $B(5; 4)$:
- a) Trova il simmetrico di $A$ rispetto alla retta $x = 3$.
- b) Trova il simmetrico di $B$ rispetto alla retta $x = 3$.
- c) Verifica che la lunghezza del segmento è conservata.
Dimostra, usando le coordinate, che la simmetria centrale rispetto al punto $M(a; b)$ trasforma il punto $P(x; y)$ in $P'(2a - x; 2b - y)$ e che conserva le distanze.…
Dimostra, usando le coordinate, che la simmetria centrale rispetto al punto $M(a; b)$ trasforma il punto $P(x; y)$ in $P'(2a - x; 2b - y)$ e che conserva le distanze. Applica poi il risultato per trovare il simmetrico della parabola $y = x^2$ rispetto a $M(1; 0)$.
Rotazione
La rotazione di centro $O$ e angolo $\alpha$ ruota ogni punto attorno a $O$ senza cambiarne la distanza da $O$. Per il verso, la convenzione è: antiorario = angolo positivo.
Attorno all'origine:
| Angolo (antiorario) | $(x;y)\mapsto$ |
|---|---|
| $90^\circ$ | $(-y;\,x)$ |
| $180^\circ$ | $(-x;\,-y)$ |
| $270^\circ$ | $(y;\,-x)$ |
Controlla con $P(1;0)$: dopo $90^\circ$ finisce su $(0;1)$, cioè sull'asse $y$ positivo. Ok.
Il triangolo $ABC$ ha vertici $A(1; 1)$, $B(4; 1)$, $C(4; 5)$. a) Calcola le coordinate dei vertici del triangolo ruotato di $90^\circ$ in senso antiorario attorno…
Il triangolo $ABC$ ha vertici $A(1; 1)$, $B(4; 1)$, $C(4; 5)$.
- a) Calcola le coordinate dei vertici del triangolo ruotato di $90^\circ$ in senso antiorario attorno all'origine.
- b) Verifica che i due triangoli hanno lo stesso perimetro.
Composizione di isometrie
Applicare prima $f$ e poi $g$ si scrive $g\circ f$ (si legge «$g$ composto $f$»): $(g\circ f)(P)=g(f(P))$. La composizione di due isometrie è ancora un'isometria, ma l'ordine conta.
Due simmetrie con assi paralleli. Siano $r$ e $s$ parallele a distanza $d$; scegli l'asse $y$ come $r$ ($x=0$) e $s$: $x=d$. Un punto $(x;y)$ va prima in $(-x;y)$, poi in $(2d+x;\,y)$. Il risultato è una traslazione di vettore $(2d;0)$, perpendicolare alle rette e di modulo $2d$.
Dimostra che la composizione di due simmetrie assiali rispetto a due rette parallele distanti $d$ è una traslazione di vettore perpendicolare alle rette e di modulo $2d$.
Dimostra che la composizione di due simmetrie assiali rispetto a due rette parallele distanti $d$ è una traslazione di vettore perpendicolare alle rette e di modulo $2d$.
Sia $f$ la rotazione di $90^\circ$ antioraria attorno all'origine e $g$ la simmetria rispetto all'asse $x$. a) Scrivi le equazioni di $f$ e di $g$. b) Calcola…
Sia $f$ la rotazione di $90^\circ$ antioraria attorno all'origine e $g$ la simmetria rispetto all'asse $x$.
- a) Scrivi le equazioni di $f$ e di $g$.
- b) Calcola $g \circ f$ e $f \circ g$ e verifica che non coincidono.
- c) Individua di quale isometria si tratta in ciascun caso (trova gli eventuali punti uniti).
Costruzioni con riga e compasso
Le isometrie si possono costruire senza coordinate, con riga e compasso o con un software di geometria dinamica (per esempio GeoGebra).
Per traslare un segmento si riporta il vettore con il compasso su ogni estremo e si traccia la parallela; per ruotare un punto $P$ attorno a $O$ si traccia la circonferenza di centro $O$ e raggio $\overline{OP}$ e si riporta l'angolo con il compasso.
Dato il segmento $AB$ con $A(1; 2)$ e $B(5; 4)$: a) Trova il simmetrico di $A$ rispetto alla retta $x = 3$. b) Trova il simmetrico di $B$ rispetto alla retta $x = 3$. c)…
Dato il segmento $AB$ con $A(1; 2)$ e $B(5; 4)$:
- a) Trova il simmetrico di $A$ rispetto alla retta $x = 3$.
- b) Trova il simmetrico di $B$ rispetto alla retta $x = 3$.
- c) Verifica che la lunghezza del segmento è conservata.
In sintesi
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Un'isometria conserva le distanze (quindi angoli, parallelismo, perimetro, area); l'omotetia con $k\ne\pm1$ no.
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Traslazione: $(x;y)\mapsto(x+a;y+b)$.
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Simmetrie: asse $x$: $(x;-y)$; asse $y$: $(-x;y)$; retta $x=k$: $(2k-x;y)$; centro $M(a;b)$: $(2a-x;2b-y)$.
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Rotazione di $90^\circ$ antioraria attorno a $O$: $(-y;x)$; di $180^\circ$: $(-x;-y)$.
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Nella composizione $g\circ f$ si applica prima $f$; l'ordine conta.
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Due simmetrie con assi paralleli a distanza $d$ compongono una traslazione di modulo $2d$.
Vuoi sapere se una figura «resta la stessa» dopo averla mossa? Basta verificare che le distanze si conservino: è esattamente ciò che fanno le isometrie.