Proprietà dei radicali e razionalizzazione

Porta fuori dalla radice tutti i fattori possibili dei seguenti radicali:

1. a) $\sqrt{72}$
2. b) $\sqrt[3]{250}$

Porta i fattori interi dentro il radicale e semplifica, se possibile:

1. a) $3 \sqrt{5}$
2. b) $2 \sqrt[4]{3}$

Semplifica i seguenti radicali dividendo l'indice e l'esponente per il loro massimo comune divisore:

1. a) $\sqrt[6]{27}$
2. b) $\sqrt[8]{16}$

Esprimi come un unico radicale e semplifica il risultato:

1. a) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$
2. b) $\left(\sqrt[3]{\sqrt{2}}\right)^6$

Esegui le seguenti addizioni e sottrazioni di radicali simili:

1. a) $5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}$
2. b) $\frac{1}{2}\sqrt{7} + \frac{3}{2}\sqrt{7} - \sqrt{7}$

Considera l'espressione con radicali $E = \sqrt{75} - \sqrt{12}$.

1. a) Stima: senza ricorrere alla calcolatrice né portare fuori fattori, delimita $\sqrt{75}$ tra due numeri interi consecutivi individuando i quadrati perfetti che lo circondano. Fai lo stesso con $\sqrt{12}$. Con queste due delimitazioni, stima in modo motivato tra quali due numeri interi deve trovarsi il valore di $E$.
2. b) Calcola: scomponi i radicandi $75$ e $12$ in fattori primi, porta fuori tutti i fattori possibili per esprimere entrambi i termini come radicali simili ed esegui la sottrazione, lasciando il risultato esatto nella forma $k\sqrt{3}$ con $k \in \mathbb{N}$.
3. c) Verifica: prendendo l'approssimazione $\sqrt{3} \approx 1,73$, trova il valore decimale del risultato ottenuto nel punto b) e valuta se la tua stima iniziale del punto a) era corretta e coerente.

Esegui la seguente operazione, portando prima fuori i fattori necessari affinché i radicali siano simili:

$3\sqrt{50} + 2\sqrt{18} - \sqrt{8}$

Esegui le seguenti moltiplicazioni di radicali con lo stesso indice e porta fuori i fattori, se possibile:

1. a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$
2. b) $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{10}$

Riduci allo stesso indice ed esegui la seguente moltiplicazione e divisione di radicali:

$\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{3}}{\sqrt[6]{6}}$

Semplifica la seguente espressione portando i fattori dentro il radicale più interno ed esprimendola come un'unica radice:

$\sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{2}}$

Semplifica la seguente espressione con radicali doppi, esprimendo il risultato come un'unica radice:

$\sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{4 \cdot \sqrt{8}}}$

Razionalizza il denominatore delle seguenti frazioni e semplifica il risultato:

1. a) $\frac{6}{\sqrt{3}}$
2. b) $\frac{10}{\sqrt{5}}$

Razionalizza le seguenti espressioni moltiplicando per il coniugato del denominatore:

1. a) $\frac{4}{\sqrt{5}-1}$
2. b) $\frac{2}{\sqrt{3}+1}$

Lucia deve razionalizzare la frazione $\frac{6}{\sqrt[3]{2}}$ in un compito in classe. Sul quaderno esegue il seguente calcolo:

Vedendo che il denominatore contiene ancora una radice, aggiunge il seguente commento: «Non si può razionalizzare perché moltiplicando per la stessa radice rimane sempre un altro radicale».

1. a) Individua l'errore concettuale che commette Lucia nella scelta del fattore moltiplicatore. Spiega perché il suo metodo funziona con le radici quadrate ma fallisce con le radici cubiche.
2. b) Basandoti sulle proprietà delle potenze, spiega quale esponente deve raggiungere il radicando sotto la radice cubica affinché il radicale si elimini e determina per quale espressione esatta avrebbe dovuto moltiplicare numeratore e denominatore.
3. c) Correggi l'esercizio eseguendo la razionalizzazione e semplifica al massimo la frazione ottenuta.

Razionalizza le seguenti frazioni con radici di indice maggiore di 2:

1. a) $\frac{10}{\sqrt[5]{8}}$
2. b) $\frac{3}{\sqrt[4]{27}}$

Razionalizza il denominatore e semplifica al massimo la seguente espressione:

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

Razionalizza il denominatore della seguente frazione e semplifica al massimo svolgendo il numeratore:

$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

In una falegnameria si deve tagliare un pannello rettangolare le cui dimensioni esatte sono $\sqrt{12}$ dm di larghezza e $\sqrt{27}$ dm di lunghezza. Calcola l'area e il perimetro del pannello, esprimendo i risultati in forma esatta mediante radicali semplificati.

Calcola la lunghezza esatta della diagonale principale $D$ di un cubo il cui spigolo misura $a = \sqrt{5}$ cm. Ricorda che la diagonale di un cubo si calcola come $D = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2}$. Esprimi il risultato nella forma più semplificata possibile.

La velocità $v$ (in m/s) di un'onda che viaggia lungo una corda tesa si calcola con la formula $v = \sqrt{\frac{F}{\mu}}$, dove $F$ è la tensione in newton e $\mu$ la densità lineare in kg/m. Se una corda di chitarra è sottoposta a una tensione $F = 12$ N e ha una densità $\mu = 5$ kg/m, trova il valore esatto di $v$. Razionalizza il denominatore e porta fuori i fattori possibili.

Esegui la seguente operazione con frazioni irrazionali. Per farlo, razionalizza prima ciascuna frazione separatamente e poi esegui la sottrazione:

$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} - \frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

La facciata di una capanna ha la forma di un triangolo isoscele. La base del triangolo misura $\sqrt{6}$ metri e i due lati uguali misurano $\sqrt{15}$ metri ciascuno. Calcola il valore esatto dell'altezza $h$ relativa alla base e l'area totale della facciata. Razionalizza i risultati se compaiono radici al denominatore.

Dimostra, svolgendo i prodotti notevoli e semplificando, che il risultato della seguente espressione è un numero intero:

$(\sqrt{7} - \sqrt{3})^2 + (\sqrt{7} + \sqrt{3})^2$