MCD, numeri razionali ed equazioni di primo grado
Una classe di 18 ragazzi e una di 24 vogliono formare squadre per il torneo di pallavolo, tutte con lo stesso numero di giocatori e senza mescolare le classi. Qual è il numero massimo di giocatori per squadra? E quando due frazioni hanno un denominatore comune? In questa pagina ripassi gli strumenti per rispondere: MCD, mcm, frazioni ed equazioni di primo grado.
L'algoritmo di Euclide per il MCD
Il MCD di due numeri è il più grande numero che divide entrambi. Per 18 e 24 puoi scomporre in fattori, ma con numeri grandi è scomodo. Euclide propone un metodo rapido: le divisioni successive.
Perché funziona? Ogni numero che divide sia $a$ sia $b$ divide anche $r = a - bq$; viceversa, ogni numero che divide $b$ e $r$ divide $a = bq + r$. Le due coppie hanno quindi gli stessi divisori comuni, e dunque lo stesso MCD. Ma $(b, r)$ è una coppia di numeri più piccoli: a ogni passo il problema si semplifica.
Dal MCD si ottiene il mcm con la relazione $\text{MCD}(a, b) \cdot \text{mcm}(a, b) = a \cdot b$. Per 396 e 168: $\text{mcm} = \dfrac{396 \cdot 168}{12} = 5.544$.
Calcola il MCD di 252 e 105 con l'algoritmo di Euclide delle divisioni successive, scrivendo tutti i passaggi.
Calcola il MCD di 252 e 105 con l'algoritmo di Euclide delle divisioni successive, scrivendo tutti i passaggi.
Due pacchi di pasta pesano 1.260 g e 840 g. Si vuole dividerli in confezioni uguali, di peso massimo possibile, senza avanzi. a) Calcola il peso di ciascuna confezione…
Due pacchi di pasta pesano 1.260 g e 840 g. Si vuole dividerli in confezioni uguali, di peso massimo possibile, senza avanzi.
- a) Calcola il peso di ciascuna confezione con l'algoritmo di Euclide.
- b) Calcola quante confezioni si ottengono in totale.
a) Dimostra che $\text{MCD}(a, b) = \text{MCD}(b, r)$, dove $r$ è il resto della divisione di $a$ per $b$. b) Usa il risultato per calcolare $\text{MCD}(1.071; 462)$. c)…
- a) Dimostra che $\text{MCD}(a, b) = \text{MCD}(b, r)$, dove $r$ è il resto della divisione di $a$ per $b$.
- b) Usa il risultato per calcolare $\text{MCD}(1.071; 462)$.
- c) Determina il mcm dei due numeri.
Calcolo con le frazioni
Per sommare o sottrarre frazioni serve un denominatore comune: conviene usare il mcm dei denominatori. Per moltiplicare si moltiplicano numeratori e denominatori; per dividere si moltiplica per la frazione inversa.
Calcola: a) $\dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{4}$ b) $\dfrac{3}{4} : \dfrac{9}{8} \cdot \dfrac{2}{5}$
Calcola:
- a) $\dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{4}$
- b) $\dfrac{3}{4} : \dfrac{9}{8} \cdot \dfrac{2}{5}$
Equazioni di primo grado
Un'equazione è come una bilancia in equilibrio: se fai la stessa operazione sui due piatti, l'equilibrio resta.
Se compaiono frazioni, si moltiplicano i due membri per il mcm dei denominatori.
Equazioni fratte
Se l'incognita compare al denominatore, bisogna imporre le condizioni di esistenza (C.E.): i denominatori devono essere diversi da zero. Una soluzione che le viola va scartata.
Risolvi le equazioni: a) $3x - 7 = 11$ b) $\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = 5$
Risolvi le equazioni:
- a) $3x - 7 = 11$
- b) $\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = 5$
Risolvi l'equazione fratta e indica le condizioni di esistenza: $\dfrac{x + 1}{x - 2} - \dfrac{3}{x + 2} = \dfrac{x^2 + 8}{x^2 - 4}$
Risolvi l'equazione fratta e indica le condizioni di esistenza:
$\dfrac{x + 1}{x - 2} - \dfrac{3}{x + 2} = \dfrac{x^2 + 8}{x^2 - 4}$
Equazioni letterali e problemi
In un'equazione letterale compaiono, oltre all'incognita $x$, altre lettere (parametri). Si porta l'equazione alla forma $ax = b$ e si discute:
| Caso | Tipo di equazione | Soluzione |
|---|---|---|
| $a \neq 0$ | determinata | $x = \dfrac{b}{a}$ |
| $a = 0,\ b \neq 0$ | impossibile | $S = \varnothing$ |
| $a = 0,\ b = 0$ | indeterminata | ogni $x \in \mathbb{R}$ |
Problemi che si risolvono con un'equazione
- Scegli l'incognita (cosa cerchi?). 2. Traduci le condizioni in un'equazione. 3. Risolvi. 4. Controlla che il risultato abbia senso nel problema.
Marco ha speso un terzo dei suoi soldi in un libro e i due quinti del resto in un biglietto del treno. Gli rimangono 24 €. a) Imposta e risolvi l'equazione per trovare…
Marco ha speso un terzo dei suoi soldi in un libro e i due quinti del resto in un biglietto del treno. Gli rimangono 24 €.
- a) Imposta e risolvi l'equazione per trovare la somma iniziale.
- b) Calcola quanto ha speso per il libro e per il biglietto.
Risolvi e discuti l'equazione letterale nell'incognita $x$: $a(x - 1) = 2x + a^2 - 3$ al variare del parametro $a \in \mathbb{R}$, indicando i casi di equazione…
Risolvi e discuti l'equazione letterale nell'incognita $x$:
$a(x - 1) = 2x + a^2 - 3$
al variare del parametro $a \in \mathbb{R}$, indicando i casi di equazione determinata, impossibile e indeterminata.
Un rubinetto riempie una vasca in 6 ore, un secondo in 4 ore e uno scarico la svuota in 12 ore. a) Imposta e risolvi l'equazione per il tempo $t$ necessario a riempire…
Un rubinetto riempie una vasca in 6 ore, un secondo in 4 ore e uno scarico la svuota in 12 ore.
- a) Imposta e risolvi l'equazione per il tempo $t$ necessario a riempire la vasca con tutti e tre aperti.
- b) Dopo 2 ore con i soli due rubinetti aperti si apre anche lo scarico: calcola il tempo totale di riempimento.
- c) Giustifica perché la vasca non si riempirebbe mai se lo scarico svuotasse in 2 ore.
Vuoi altri esercizi?
In sintesi
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Algoritmo di Euclide: $\text{MCD}(a, b) = \text{MCD}(b, r)$; l'ultimo resto non nullo è il MCD; $\text{mcm} = \dfrac{a \cdot b}{\text{MCD}}$.
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Somma e differenza di frazioni: denominatore comune (mcm); prodotto: numeratori e denominatori; quoziente: frazione inversa.
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Equazioni: principi di equivalenza; con le frazioni si moltiplica per il mcm.
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Equazioni fratte: C.E. all'inizio, verifica delle soluzioni alla fine.
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Equazioni letterali $ax = b$: determinata se $a \neq 0$, impossibile se $a = 0$ e $b \neq 0$, indeterminata se $a = b = 0$.
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Vuoi un problema? Incognita, equazione, soluzione, controllo.
Vuoi tornare alle squadre di pallavolo? Il MCD di $18$ e $24$ è $6$: squadre da 6 giocatori.