Rette parallele agli assi

Scrivi l'equazione della retta parallela all'asse delle ascisse (asse $X$) passante per il punto $A(3, -5)$.

Scrivi l'equazione della retta parallela all'asse delle ordinate (asse $Y$) passante per il punto $B(-2, 7)$.

Una retta passa per i punti $P(4, 2)$ e $Q(-3, 2)$. È parallela a uno degli assi? Scrivi la sua equazione.

Marco deve trovare in una verifica l'equazione della retta passante per i punti $A(5, -2)$ e $B(5, 7)$. Sul suo foglio scrive quanto segue:

«Calcolo il coefficiente angolare: $m = \frac{7 - (-2)}{5 - 5} = \frac{9}{0} = 0$. Poiché il coefficiente angolare è $0$, la retta è orizzontale e la sua equazione è $y = 5$, perché la prima coordinata di entrambi i punti vale $5$».

1. a) Individua i due errori concettuali commessi da Marco (uno sull'operazione matematica eseguita e uno sul rapporto tra le coordinate e l'orientamento della retta).
2. b) Spiega come si deduce l'equazione corretta osservando direttamente le coordinate di $A$ e $B$, e scrivi tale equazione.

Disegna tre punti nel piano cartesiano, chiamati $A$, $B$ e $C$, che soddisfino contemporaneamente le tre condizioni seguenti:

1. La retta passante per $A$ e $B$ è parallela all'asse $X$.

2. La retta passante per $B$ e $C$ è parallela all'asse $Y$.

3. Il punto di intersezione tra le due rette è $B(-3, 4)$ e la distanza tra il punto $A$ e il punto $B$ è di $6$ unità.

Scrivi tutte le coordinate possibili per il punto $A$, proponi delle coordinate valide per il punto $C$ e scrivi l'equazione di ciascuna delle due rette che hai determinato.

Per trovare l'equazione della retta passante per i punti $P(-7, 3)$ e $Q(5, 3)$, due studenti del primo biennio propongono strategie diverse:

• Alba dice: «Applico la formula della retta passante per due punti: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$, sostituisco le coordinate e faccio il prodotto in croce per ricavare l'equazione».

• Bruno dice: «Non serve fare calcoli: noto che l'ordinata dei due punti è la stessa ($y = 3$), quindi la retta non sale né scende, è orizzontale e la sua equazione è direttamente $y = 3$».

1. a) Giustifica perché il ragionamento di Bruno è corretto e spiega quale inconveniente algebrico incontrerebbe Alba se provasse ad applicare la sua formula a una retta verticale come quella che unisce $R(2, -1)$ e $S(2, 8)$.
2. b) Alla luce di quanto sopra, argomenta quale dei due approcci è più sicuro ed efficiente per individuare rette parallele agli assi.

La testina di una stampante 3D deve tracciare una linea di supporto orizzontale costante a $15\text{ mm}$ dall'origine sull'asse $Y$. Scrivi le equazioni parametriche e l'equazione in forma implicita di questa retta.

Determina il valore di $k$ affinché la retta di equazione in forma implicita $kx + 3y - 6 = 0$ sia parallela all'asse $X$. Scrivi l'equazione risultante.

Si considera la famiglia di rette data dall'equazione generale implicita:

dove $a$ e $b$ sono parametri reali costanti.

1. a) Determina i valori numerici esatti di $a$ e $b$ affinché la retta sia parallela all'asse delle ascisse (asse $X$) e passi per il punto $P(7, -5)$. Scrivi l'equazione che ottieni.
2. b) Analizza se è possibile scegliere i parametri $a$ e $b$ in modo che la retta risultante sia parallela all'asse delle ordinate (asse $Y$) e, inoltre, coincida esattamente con l'asse $Y$ stesso. Giustifica la tua conclusione a partire dalle condizioni algebriche che devono soddisfare i coefficienti.

In un campo da calcio rappresentiamo il centro del campo nell'origine degli assi $(0,0)$. Se il campo è lungo $100\text{ m}$ (situato sull'asse $X$) e largo $60\text{ m}$ (situato sull'asse $Y$), scrivi le equazioni delle quattro rette che delimitano il terreno di gioco.

L'Istituto Nazionale di Geofisica e Vulcanologia (INGV) stabilisce un perimetro di sicurezza rettangolare attorno a una zona vulcanica in un'isola. Si prende una stazione di sorveglianza come origine degli assi $(0, 0)$, misurando le distanze in chilometri (asse $X$ verso est, asse $Y$ verso nord). Il perimetro ha i lati orientati esattamente secondo i punti cardinali, e due dei suoi vertici opposti sono $V_1(-4, -2)$ e $V_2(3, 5)$.

1. a) Scrivi l'equazione di ciascuna delle quattro rette che formano i confini del perimetro, indicando a quale punto cardinale (nord, sud, est od ovest) corrisponde ciascuna.
2. b) Una pattuglia di emergenza invia la propria posizione GPS dal punto $P(-4, 1)$. Determina motivando se la pattuglia si trova all'interno della zona di esclusione, al di fuori di essa o esattamente su uno dei suoi confini.

Nello sviluppo di un videogioco, lo schermo ha una risoluzione di $1920 \times 1080$ pixel. Se poniamo l'origine $(0,0)$ nell'angolo in basso a sinistra, scrivi le equazioni delle due rette (una orizzontale e una verticale) che dividono lo schermo esattamente in quattro quadranti uguali.

Un quadrato ha il centro nel punto $C(3, 3)$ e i lati paralleli agli assi coordinati. Se il lato del quadrato misura $4\text{ u}$, scrivi le equazioni delle quattro rette che contengono i suoi lati.

Si considerano le rette fisse $r: y = 6$, $s: y = 1$ e $t: x = 2$. Si cerca una quarta retta verticale $u: x = k$ (con $k \neq 2$) tale che le quattro rette delimitino un recinto rettangolare di area uguale a $20\text{ unità quadrate}$.

1. a) Prima di calcolare: osserva la distanza che separa le rette $r$ e $s$. Stima mentalmente quale lunghezza deve avere la base del rettangolo e prevedi quanti valori distinti può assumere $k$, indicando da quali lati della retta $t$ si troveranno.
2. b) Imposta la relazione matematica tra l'area, l'altezza fissa e la base in funzione del parametro $k$. Risolvi l'equazione per trovare i valori esatti di $k$ e scrivi le equazioni delle possibili rette $u$.
3. c) Verifica se i valori ottenuti coincidono con la tua stima precedente e spiega geometricamente il significato del fatto che esistano esattamente due soluzioni.