Distanza tra due punti
Un radar, un GPS o un videogioco devono sapere continuamente «a che distanza è questo da quello». Nel piano cartesiano la risposta è sempre la stessa: si usa il teorema di Pitagora. Per esempio, se un radar nell'origine $O(0; 0)$ individua una barca in $(12; 5)$ e ogni unità è 1 km, a che distanza si trova?
La formula della distanza
Due punti $A(x_1; y_1)$ e $B(x_2; y_2)$ si possono sempre vedere come gli estremi dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo: i cateti sono lo spostamento orizzontale $|x_2 - x_1|$ e quello verticale $|y_2 - y_1|$.
Per il teorema di Pitagora, il quadrato dell'ipotenusa è la somma dei quadrati dei cateti: la formula è proprio questa, con la radice per tornare alla lunghezza.
Torniamo al problema iniziale: $d = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13$ km.
Calcola la distanza esatta tra i punti $A(2, 3)$ e $B(5, 7)$ nel piano cartesiano.
Calcola la distanza esatta tra i punti $A(2, 3)$ e $B(5, 7)$ nel piano cartesiano.
Trova la lunghezza del segmento i cui estremi sono l'origine delle coordinate $O(0, 0)$ e il punto $M(-8, 6)$.
Trova la lunghezza del segmento i cui estremi sono l'origine delle coordinate $O(0, 0)$ e il punto $M(-8, 6)$.
Marco vuole calcolare la distanza tra i punti $A(-1, 5)$ e $B(3, 2)$ in un piano cartesiano. Sul quaderno scrive il seguente svolgimento: $$d(A,B) = \sqrt{(3 - (-1))^2 +…
Marco vuole calcolare la distanza tra i punti $A(-1, 5)$ e $B(3, 2)$ in un piano cartesiano. Sul quaderno scrive il seguente svolgimento:
$$d(A,B) = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = 4 + (-3) = 1$$- a) Indica con precisione l'errore concettuale e algebrico che commette Marco nell'ultimo passaggio e spiega perché la radice quadrata di una somma non è uguale alla somma delle radici.
- b) Correggi il procedimento e calcola il valore numerico esatto della distanza euclidea tra $A$ e $B$.
Perimetri e classificazione dei triangoli
Con la distanza puoi calcolare il perimetro di un poligono (somma dei lati) e stabilire se un triangolo è equilatero, isoscele o rettangolo, senza disegnarlo in scala. Per sapere se è rettangolo usi l'inverso del teorema di Pitagora: se il quadrato del lato maggiore è la somma dei quadrati degli altri due, il triangolo è rettangolo.
I vertici di un triangolo sono $A(1, 1)$, $B(4, 1)$ e $C(1, 5)$. Calcola il perimetro di questo triangolo sommando le lunghezze dei suoi tre lati.
I vertici di un triangolo sono $A(1, 1)$, $B(4, 1)$ e $C(1, 5)$. Calcola il perimetro di questo triangolo sommando le lunghezze dei suoi tre lati.
Nella pianta di un edificio, tre colonne principali verranno collocate nelle coordinate $P(-2, 1)$, $Q(2, 4)$ e $R(5, 0)$. Dimostra matematicamente se il triangolo…
Nella pianta di un edificio, tre colonne principali verranno collocate nelle coordinate $P(-2, 1)$, $Q(2, 4)$ e $R(5, 0)$. Dimostra matematicamente se il triangolo formato da queste tre colonne è isoscele.
Dimostra, calcolando le lunghezze dei tre lati e usando il teorema di Pitagora, che il triangolo di vertici $A(2, 1)$, $B(6, 1)$ e $C(2, 4)$ è un triangolo rettangolo.
Dimostra, calcolando le lunghezze dei tre lati e usando il teorema di Pitagora, che il triangolo di vertici $A(2, 1)$, $B(6, 1)$ e $C(2, 4)$ è un triangolo rettangolo.
I vertici di un terreno di forma triangolare sono $A(-4, -2)$, $B(2, 6)$ e $C(6, 3)$. Dimostra prima che il terreno forma un triangolo rettangolo e poi calcola il suo…
I vertici di un terreno di forma triangolare sono $A(-4, -2)$, $B(2, 6)$ e $C(6, 3)$. Dimostra prima che il terreno forma un triangolo rettangolo e poi calcola il suo perimetro e la sua area esatta.
Trovare punti a distanza data
A volte la distanza è il dato e l'incognita è un punto: si scrive la formula con le coordinate incognite, si eleva al quadrato e si risolve l'equazione.
La distanza tra i punti $A(1, 2)$ e $B(x, 5)$ è esattamente di $5$ unità. Trova i due possibili valori della coordinata $x$.
La distanza tra i punti $A(1, 2)$ e $B(x, 5)$ è esattamente di $5$ unità. Trova i due possibili valori della coordinata $x$.
Trova le coordinate di tutti i punti situati sull'asse delle ascisse (asse X) che si trovano a distanza esattamente $10$ unità dal punto $M(-6, 8)$.
Trova le coordinate di tutti i punti situati sull'asse delle ascisse (asse X) che si trovano a distanza esattamente $10$ unità dal punto $M(-6, 8)$.
Una tubatura rettilinea deve collegare un pozzo situato nel punto $A(-3, 2)$ con una pompa dell'acqua $P$ che deve obbligatoriamente essere installata sull'asse delle…
Una tubatura rettilinea deve collegare un pozzo situato nel punto $A(-3, 2)$ con una pompa dell'acqua $P$ che deve obbligatoriamente essere installata sull'asse delle ordinate (asse Y). Se per vincoli di pressione la lunghezza della tubatura deve essere esattamente di $\sqrt{29}$ unità, trova le possibili coordinate per la pompa $P$.
Allineamento e punti equidistanti
Punti equidistanti. Se $P$ è equidistante da $A$ e $B$, cioè $d(P,A)=d(P,B)$, allora $P$ sta sull'asse del segmento $\overline{AB}$ (la perpendicolare per il punto medio). Per trovarlo, si uguagliano i quadrati delle due distanze: i termini in $x^2$ e $y^2$ si semplificano e resta un'equazione di primo grado. Lo stesso vale per un punto equidistante da tre punti (centro della circonferenza circoscritta al triangolo).
Un fattorino in bicicletta parte dal negozio situato in $O(0,0)$, va in linea retta fino alla prima consegna in $A(6, 8)$ e poi cambia direzione per dirigersi alla…
Un fattorino in bicicletta parte dal negozio situato in $O(0,0)$, va in linea retta fino alla prima consegna in $A(6, 8)$ e poi cambia direzione per dirigersi alla seconda consegna in $B(15, -4)$. Se ogni unità del piano rappresenta $100$ metri, qual è la distanza totale percorsa in chilometri?
Trova le coordinate di un punto $P$ situato sulla bisettrice del primo quadrante (la retta $y = x$) che sia equidistante dai punti fissi $A(2, 0)$ e $B(0, 4)$.
Trova le coordinate di un punto $P$ situato sulla bisettrice del primo quadrante (la retta $y = x$) che sia equidistante dai punti fissi $A(2, 0)$ e $B(0, 4)$.
Un sistema di irrigazione automatizzato è composto da un irrigatore circolare con centro in $C(x, y)$ che deve innaffiare in modo uguale tre alberi situati nelle…
Un sistema di irrigazione automatizzato è composto da un irrigatore circolare con centro in $C(x, y)$ che deve innaffiare in modo uguale tre alberi situati nelle coordinate $T_1(0, 0)$, $T_2(6, 0)$ e $T_3(0, 8)$. Determina le coordinate in cui deve essere collocato l'irrigatore $C$ e quale sarà il suo raggio d'azione esatto.
Determina se i punti $A(-2, 1)$, $B(1, 3)$ e $C(7, 7)$ sono perfettamente allineati. Per farlo, calcola le distanze $d(A,B)$, $d(B,C)$ e $d(A,C)$, e verifica se vale…
Determina se i punti $A(-2, 1)$, $B(1, 3)$ e $C(7, 7)$ sono perfettamente allineati. Per farlo, calcola le distanze $d(A,B)$, $d(B,C)$ e $d(A,C)$, e verifica se vale l'uguaglianza $d(A,B) + d(B,C) = d(A,C)$.
Per andare oltre
Tre strumenti utili per alcuni esercizi.
Punto medio. Il punto medio di $\overline{AB}$ ha coordinate $M\left(\frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2}\right)$: è la media delle coordinate. Per esempio, il punto medio tra $(0; 0)$ e $(40; 10)$ è $(20; 5)$.
Parallelogramma. Le diagonali di un parallelogramma $ABCD$ hanno lo stesso punto medio, quindi $\frac{A+C}{2}=\frac{B+D}{2}$, cioè $D=A+C-B$ (coordinata per coordinata). Esempio: con $A(0; 0)$, $B(4; 1)$, $C(5; 4)$ si ha $D=(0+5-4; 0+4-1)=(1; 3)$.
Spazio a tre coordinate. Con Pitagora applicato due volte, la distanza tra $P_1(x_1; y_1; z_1)$ e $P_2(x_2; y_2; z_2)$ è $\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$. Esempio: da $(0; 0; 0)$ a $(2; 3; 6)$ la distanza è $\sqrt{4+9+36}=7$.
Spostamenti. Lo spostamento da $A$ a $B$ è la coppia $(x_B-x_A; y_B-y_A)$. Tre punti sono allineati se gli spostamenti $A\to B$ e $B\to C$ sono proporzionali: per esempio $(1; 2)$ e $(3; 6)$ lo sono (il secondo è il triplo del primo).