Disequazioni in una incognita
Al liceo, in seconda, le disequazioni non si fermano al primo e al secondo grado: compaiono $x^3$, frazioni con la $x$ al denominatore e valori assoluti. Marco prova a risolvere $\frac{6}{x-2}\leq 2$ moltiplicando per $(x-2)$ e sbaglia. Perché? Lo scoprirai in questa pagina, e vedrai che tutte queste disequazioni si risolvono con la stessa idea: portare tutto a un membro, scomporre, e studiare il segno per tratti.
Sistemi di disequazioni di primo e secondo grado
Un sistema di disequazioni richiede che tutte le condizioni siano vere nello stesso momento. Si risolve ogni disequazione per conto suo e poi si fa l'intersezione delle soluzioni.
Risolvi il seguente sistema di disequazioni in un'incognita ed esprimi la soluzione come un unico intervallo: $2x - 3 < 5$ $3x + 1 \geq -2$
Risolvi il seguente sistema di disequazioni in un'incognita ed esprimi la soluzione come un unico intervallo:
$2x - 3 < 5$
$3x + 1 \geq -2$
Risolvi la seguente disequazione di primo grado: $3(x - 2) + 4 \leq 5x - 8$. Esprimi la soluzione sotto forma di intervallo.
Risolvi la seguente disequazione di primo grado: $3(x - 2) + 4 \leq 5x - 8$. Esprimi la soluzione sotto forma di intervallo.
Studia e risolvi il seguente sistema formato da una disequazione di primo grado e una di secondo grado: $3x - 5 \leq x + 1$ $x^2 - 7x + 10 > 0$
Studia e risolvi il seguente sistema formato da una disequazione di primo grado e una di secondo grado:
$3x - 5 \leq x + 1$
$x^2 - 7x + 10 > 0$
Disequazioni di grado superiore al secondo
Trova i valori di $x$ che verificano la disequazione di secondo grado, già scomposta in fattori: $(x - 4)(x + 2) < 0$.
Trova i valori di $x$ che verificano la disequazione di secondo grado, già scomposta in fattori: $(x - 4)(x + 2) < 0$.
Risolvi la disequazione polinomiale di grado superiore raccogliendo prima il fattore comune: $x^3 - 4x^2 - 5x \leq 0$.
Risolvi la disequazione polinomiale di grado superiore raccogliendo prima il fattore comune: $x^3 - 4x^2 - 5x \leq 0$.
I guadagni mensili di una fabbrica di monopattini elettrici, espressi in migliaia di euro, sono dati dalla funzione $B(x) = -x^3 + 10x^2 - 16x$, dove $x$ rappresenta il…
I guadagni mensili di una fabbrica di monopattini elettrici, espressi in migliaia di euro, sono dati dalla funzione $B(x) = -x^3 + 10x^2 - 16x$, dove $x$ rappresenta il numero di centinaia di monopattini prodotti. Quanti monopattini devono essere prodotti perché l'azienda non abbia perdite (cioè perché $B(x) \geq 0$)?
Disequazioni fratte
Risolvi la semplice disequazione razionale studiando il segno del numeratore e del denominatore: $\frac{x-3}{x+1} \leq 0$.
Risolvi la semplice disequazione razionale studiando il segno del numeratore e del denominatore: $\frac{x-3}{x+1} \leq 0$.
Risolvi la disequazione razionale: $\frac{2x + 1}{x - 2} > 3$. Ricorda di portare tutti i termini a un membro e di svolgere i calcoli per ottenere un unico quoziente…
Risolvi la disequazione razionale: $\frac{2x + 1}{x - 2} > 3$. Ricorda di portare tutti i termini a un membro e di svolgere i calcoli per ottenere un unico quoziente prima di studiare i segni.
Risolvi la disequazione razionale in cui numeratore e denominatore sono polinomi di secondo grado: $\frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 - 9} \leq 0$.
Risolvi la disequazione razionale in cui numeratore e denominatore sono polinomi di secondo grado: $\frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 - 9} \leq 0$.
Disequazioni con valore assoluto
Il valore assoluto $|A|$ è la distanza di $A$ dallo zero. Per $k>0$:
Risolvi la disequazione con valore assoluto ed esprimi la sua soluzione come unione di intervalli: $|2x - 5| \geq 7$.
Risolvi la disequazione con valore assoluto ed esprimi la sua soluzione come unione di intervalli: $|2x - 5| \geq 7$.
Per risolvere la disequazione con valore assoluto $|2x - 6| \leq 10$, si propongono due strategie diverse: Via 1 (metodo algebrico), trasformare l'espressione nella…
Per risolvere la disequazione con valore assoluto $|2x - 6| \leq 10$, si propongono due strategie diverse: Via 1 (metodo algebrico), trasformare l'espressione nella doppia disuguaglianza simultanea $-10 \leq 2x - 6 \leq 10$ e ricavare $x$; e Via 2 (interpretazione geometrica), raccogliere il fattore comune per scrivere $2 \cdot |x - 3| \leq 10$, semplificare in $|x - 3| \leq 5$ e interpretare la distanza dal valore centrale $3$ sulla retta reale. a) Sviluppa esplicitamente entrambi i procedimenti e verifica che si ottiene esattamente lo stesso intervallo soluzione. b) Giustifica con ragionamento quale dei due metodi ritieni più efficiente e quale riduce al minimo la probabilità di commettere errori con i segni. c) Spiega come si adatterebbe l'impostazione di ciascuna via se la disequazione fosse stretta e di verso opposto: $|2x - 6| > 10$.
Risolvi la disequazione con valore assoluto che contiene espressioni frazionarie: $\left| \frac{3x - 1}{2} \right| < 4$.
Risolvi la disequazione con valore assoluto che contiene espressioni frazionarie: $\left| \frac{3x - 1}{2} \right| < 4$.
Problemi e parametri
Molti problemi chiedono «per quali valori…» e si traducono in una disequazione. Ricorda sempre di controllare le soluzioni nel contesto (una lunghezza deve essere positiva, un numero di oggetti naturale).
Quando il problema chiede «per quali valori del parametro $k$…», di solito entra in gioco il discriminante $\Delta=b^2-4ac$ di un'equazione di secondo grado: $\Delta<0$ nessuna soluzione reale, $\Delta=0$ due soluzioni coincidenti, $\Delta>0$ due soluzioni distinte. Ne risulta una disequazione nel parametro.
Allo stesso modo, un trinomio $at^2+bt+c$ con $a>0$ è sempre positivo per ogni $t$ reale quando la parabola sta tutta sopra l'asse $x$, cioè quando $\Delta<0$.
La somma del doppio di un numero naturale e $5$ è strettamente minore di $17$. Imposta la disequazione corrispondente e trova tutti i numeri naturali che la soddisfano.
La somma del doppio di un numero naturale e $5$ è strettamente minore di $17$. Imposta la disequazione corrispondente e trova tutti i numeri naturali che la soddisfano.
Si vuole costruire un giardino rettangolare in modo che la sua lunghezza sia $4$ metri maggiore della sua larghezza $x$. Se si dispone di concime sufficiente a coprire…
Si vuole costruire un giardino rettangolare in modo che la sua lunghezza sia $4$ metri maggiore della sua larghezza $x$. Se si dispone di concime sufficiente a coprire al massimo $45 \text{ m}^2$, imposta una disequazione e determina i possibili valori che può assumere la larghezza $x$.
Determina per quali valori del parametro $k$ l'equazione di secondo grado $x^2 - kx + 9 = 0$ non ha soluzioni reali. Imposta la disequazione corrispondente utilizzando…
Determina per quali valori del parametro $k$ l'equazione di secondo grado $x^2 - kx + 9 = 0$ non ha soluzioni reali. Imposta la disequazione corrispondente utilizzando il discriminante e risolvila.
Vuoi ricontrollare ciò che hai imparato? Torna a Marco: la sua soluzione $x\geq5$ è sbagliata perché ha moltiplicato per $(x-2)$ senza conoscerne il segno. Portando tutto a un membro, $\frac{6}{x-2}-2\leq0$ diventa $\frac{-2x+10}{x-2}\leq0$, la cui soluzione è $x<2$ oppure $x\geq5$.