Statistica descrittiva

Caratteri e tabelle di frequenza

In una indagine statistica si osserva un insieme di individui (la popolazione o il campione) e di ciascuno si rileva una caratteristica, detta carattere.

Quando i dati sono tanti, si riuniscono in una tabella di frequenza. Per ogni modalità o valore $x_i$ si indicano:

• la frequenza assoluta $f_i$: quante volte compare;

• la frequenza relativa $p_i = \dfrac{f_i}{n}$, dove $n$ è il numero totale di dati (la somma di tutte le $f_i$);

• la frequenza percentuale $p_i \cdot 100\%$;

• la frequenza cumulata: la somma delle frequenze fino a quel valore (si può fare con quelle assolute o con quelle relative).

Le frequenze relative sommano sempre 1 e quelle percentuali 100%: è un buon controllo sui calcoli.

Media, moda e mediana

Per riassumere una distribuzione con un solo numero si usano gli indici di posizione (o valori medi).

Perché la media si chiama così? Se ogni dato fosse uguale a $\bar x$, la somma totale non cambierebbe: la media è il valore che «distribuisce equamente» il totale. La mediana invece divide i dati in due metà: la metà sotto e la metà sopra.

Se $n$ è pari, ad esempio con i dati ordinati $4,\ 6,\ 7,\ 9$, la mediana è $\dfrac{6+7}{2}=6{,}5$: un valore che nei dati non compare, e va bene così.

Prova a modificare un dato nel widget: cambia di più la media o la mediana se un valore diventa molto grande? La media è sensibile ai valori estremi, la mediana molto meno: per questo, per descrivere gli stipendi o i prezzi delle case, si preferisce spesso la mediana.

Indici di variabilità

Due classi possono avere la stessa media ma voti molto diversi: nella prima tutti vicini al 6,5, nella seconda dal 3 al 10. Per distinguere i due casi serve un indice di variabilità, cioè di quanto i dati si disperdono attorno alla media.

Perché si elevano gli scarti al quadrato? Perché gli scarti positivi e negativi si compenserebbero (somma 0); il quadrato li rende tutti positivi e dà più peso agli scarti grandi. La deviazione standard ha poi la stessa unità di misura dei dati (euro, °C, minuti), mentre la varianza ha l'unità al quadrato.

Esiste anche una formula più comoda per i calcoli:

cioè «la media dei quadrati meno il quadrato della media».

Risposta del «tuo turno»: $\sigma=\sqrt{11{,}6}\approx 3{,}41$.

Ora possiamo rispondere alle due classi con la stessa media: quella con i voti dal 3 al 10 ha una deviazione standard molto più grande, quindi è molto meno omogenea.

Dati raggruppati in classi

Per un carattere continuo, o discreto con molti valori, non ha senso elencare ogni valore: si raggruppano i dati in classi (intervalli). Ogni classe ha una frequenza, e al suo interno non si conoscono più i dati esatti. Si usa allora il valore centrale della classe, cioè il punto medio dell'intervallo, come rappresentante di tutti i suoi dati.

• Media (stimata): si calcola come media ponderata dei valori centrali.

• Classe modale: la classe con la frequenza più alta.

• Classe mediana: la classe in cui cade il dato centrale; si trova guardando le frequenze cumulate.

Quartili e diagramma a scatola

La mediana divide i dati in due metà. I quartili dividono i dati ordinati in quattro parti con circa lo stesso numero di dati.

I cinque valori caratteristici sono: minimo, $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$, massimo. Con essi si disegna il diagramma a scatola (box plot): una scatola da $Q_1$ a $Q_3$ con un segno in corrispondenza della mediana, e due «baffi» che arrivano al minimo e al massimo.

Come cambiano media e varianza

Spesso capita di dover trasformare i dati (cambiare unità di misura, aggiungere un bonus a tutti) o di unire due gruppi. Conoscere come si comportano gli indici evita di rifare tutti i calcoli.

Perché? Per la media: $\dfrac{\sum (ax_i+b)}{n}=a\dfrac{\sum x_i}{n}+b$. Per gli scarti: $y_i-\bar y=a(x_i-\bar x)$, la $b$ si cancella e il fattore $a$ compare al quadrato nella varianza.

Unire due gruppi. Se un gruppo di $n_1$ dati ha media $\bar x_1$ e un altro di $n_2$ dati ha media $\bar x_2$, la media complessiva è la media ponderata:

Il gruppo più numeroso «pesa» di più. Per esempio, 10 studenti con media 6 e 30 studenti con media 8: $\bar x=\dfrac{10\cdot6+30\cdot8}{40}=\dfrac{300}{40}=7{,}5$, non $7$.

Confrontare la variabilità. Una deviazione standard di 5 è grande o piccola? Dipende dalla media: 5 minuti su un tempo medio di 10 minuti è molto, 5 minuti su 200 è poco. Si usa allora il coefficiente di variazione

(spesso in percentuale): è un numero puro, quindi permette di confrontare gruppi con medie o unità diverse. Il gruppo con $CV$ più piccolo è il più omogeneo.

Un trucco per i problemi inversi. Poiché $\bar x=\dfrac{\sum x_i}{n}$, si ha $\sum x_i=n\,\bar x$. Se conosci la media e il numero di dati, conosci la somma; allo stesso modo, dalla formula $\sigma^2=\dfrac{\sum x_i^2}{n}-\bar x^{\,2}$ ricavi la somma dei quadrati: $\sum x_i^2=n(\sigma^2+\bar x^{\,2})$. Così puoi aggiornare media e varianza quando aggiungi un dato senza conoscere gli altri.

Torna all'inizio: due classi con la stessa media 6,5 non sono affatto uguali se una ha una deviazione standard piccola e l'altra grande. La media dice dove si trova il «centro» dei dati, la deviazione standard dice quanto sono sparsi attorno a esso: servono sempre insieme.

In sintesi

• I caratteri sono qualitativi o quantitativi (discreti o continui). Una tabella riporta frequenze assolute, relative, percentuali e cumulate.

• Media $\bar x=\dfrac{\sum x_i f_i}{n}$, moda (più frequente), mediana (valore centrale dei dati ordinati; se $n$ è pari, media dei due centrali).

• Variabilità: range, scarto medio assoluto, varianza $\sigma^2=\dfrac{\sum(x_i-\bar x)^2}{n}=\dfrac{\sum x_i^2}{n}-\bar x^{\,2}$, deviazione standard $\sigma=\sqrt{\sigma^2}$, coefficiente di variazione $\sigma/\bar x$.

• Con dati in classi si usano i valori centrali (media stimata), la classe modale e la classe mediana.

• Quartili $Q_1,Q_2,Q_3$, scarto interquartile $Q_3-Q_1$ e box plot dei cinque valori caratteristici.

• Con $y=ax+b$: $\bar y=a\bar x+b$ e $\sigma_y^2=a^2\sigma_x^2$. Per unire gruppi si usa la media ponderata.