Operazioni con i polinomi

Calcola il valore numerico del polinomio $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3x + 4$ per $x = -2$ e per $x = 1$.

Dati i polinomi $A(x) = 3x^2 - 5x + 1$ e $B(x) = -x^2 + 4x - 6$, calcola l'espressione risultante dell'operazione $2 \cdot A(x) - B(x)$.

Moltiplica i polinomi $P(x) = x^2 - 3x + 2$ e $Q(x) = 2x - 5$. Esprimi il risultato ordinato dal grado maggiore al minore.

Sviluppa le seguenti espressioni applicando i prodotti notevoli corrispondenti:

1. a) $(3x + 4)^2$
2. b) $(2x - 5)^2$

Esegui le operazioni e semplifica al massimo la seguente espressione algebrica: $(x + 3)(x - 3) - (x - 2)^2$.

Esegui le operazioni e semplifica al massimo la seguente espressione algebrica, prestando particolare attenzione ai segni e ai prodotti notevoli:

$3(x - 2)^2 - 2(x + 1)(x - 1) + (x + 3)^2$

Un giardino rettangolare ha dimensioni di $(2x + 5)$ metri di lunghezza e $(2x - 5)$ metri di larghezza. Al suo interno verrà costruita una fontana quadrata di lato $(x - 1)$ metri, e il resto sarà ricoperto di prato. Esprimi l'area della zona a prato come polinomio semplificato in $x$.

Il costo di produzione di $x$ unità di un dispositivo elettronico è dato dal polinomio $C(x) = 50x + 200$. Il prezzo di vendita al pubblico di ciascuna unità dipende dalla quantità prodotta e segue l'espressione $p(x) = 300 - 2x$.

Trova il polinomio guadagno $B(x)$, sapendo che il guadagno è uguale ai ricavi totali (quantità per prezzo) meno i costi totali. Qual è il guadagno se si producono e vendono $40$ unità?

In una verifica di primo biennio, Marco deve semplificare l'espressione algebrica $A(x) = (3x - 2)^2 - (3x + 2)(3x - 2)$. Sul foglio delle risposte scrive quanto segue:

$A(x) = 9x^2 - 4 - (9x^2 - 4) = 9x^2 - 4 - 9x^2 - 4 = -8$.

1. a) Individua e spiega in dettaglio i due errori concettuali commessi da Marco (uno nello sviluppo del quadrato di un binomio differenza e l'altro nell'uso dei segni nell'eliminazione della parentesi).
2. b) Esegui lo sviluppo corretto utilizzando passo dopo passo i prodotti notevoli e calcola il valore numerico del polinomio ottenuto per $x = -1$.

Esegui le operazioni e semplifica la seguente espressione algebrica, scomponendo in fattori il risultato finale se possibile:

$\frac{(2x - y)^3 - (2x + y)^3}{-2y}$

Successivamente, calcola il valore del polinomio ottenuto per $x = 2$ e $y = -1$.

Esegui la divisione del polinomio $D(x) = 4x^4 - 2x^3 + 6x^2 - x + 5$ per il binomio $d(x) = x^2 + 2$. Indica chiaramente qual è il polinomio quoziente $C(x)$ e il polinomio resto $R(x)$.

Applica la regola di Ruffini per dividere il polinomio $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ per $(x - 2)$. Scrivi il quoziente e il resto ottenuti.

Calcola il valore del parametro $k$ affinché la divisione del polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 5x - 4$ per il binomio $(x + 2)$ abbia resto uguale a $10$. Utilizza il teorema del resto per giustificare la risposta.

Verifica se il polinomio $P(x) = x^4 - 5x^3 + 7x^2 - 5x + 6$ è divisibile per il binomio $(x^2 + 1)$ eseguendo la divisione corrispondente. In caso affermativo, scrivi la scomposizione in fattori di $P(x)$ come prodotto di due polinomi.

Si vuole trovare il resto della divisione del polinomio $P(x) = 4x^{20} - 3x^7 + 5x - 2$ per $(x + 1)$ e stabilire se $(x + 1)$ è un fattore di $P(x)$. Tre membri di un gruppo di lavoro propongono strade diverse:

• Andrea dice: «Facciamo la tradizionale divisione lunga tra polinomi».

• Bea dice: «Applichiamo la regola di Ruffini disegnando la tabella con i coefficienti».

• Carlo dice: «Usiamo direttamente il teorema del resto sostituendo $x = -1$».

1. a) Confronta i tre metodi spiegando perché le proposte di Andrea e Bea risultano estremamente inefficienti e soggette a errori di calcolo in questo esercizio specifico.
2. b) Giustifica qual è il metodo più adatto e applicalo per trovare il resto della divisione.
3. c) Alla luce del valore ottenuto, concludi in modo motivato se il polinomio $P(x)$ è divisibile per $(x + 1)$ e quale significato geometrico o algebrico ha questo fatto rispetto alla radice $x = -1$.