Dipendenza

In una classe di $30$ alunni, $18$ studiano francese, $12$ studiano tedesco e $5$ studiano entrambe le lingue. Se si sceglie un alunno a caso e risulta che studia francese, qual è la probabilità che studi anche tedesco?

Si considerano due eventi $A$ e $B$ di un esperimento aleatorio. Sappiamo che $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ e $P(A \cap B) = 0,2$. Verifica matematicamente se gli eventi $A$ e $B$ sono indipendenti.

Si estrae una carta da un mazzo di carte napoletane e, subito dopo, si lancia una moneta. Questi due eventi sono dipendenti o indipendenti? Calcola la probabilità di ottenere un "Asso" dal mazzo e "Testa" dalla moneta.

In un paese, il $45\%$ degli abitanti legge il giornale X, il $35\%$ legge il giornale Y e il $15\%$ legge entrambi i giornali. Se scegliamo un abitante a caso e sappiamo che legge il giornale X, qual è la probabilità che legga anche il giornale Y? Alla luce dei risultati, spiega se gli eventi "leggere il giornale X" e "leggere il giornale Y" sono indipendenti.

Siano $A$ e $B$ due eventi di uno stesso esperimento aleatorio tali che $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ e $P(A \cup B) = 0,7$. Utilizzando le proprietà della probabilità, trova il valore dell'intersezione e calcola $P(A|B)$ e $P(B|A)$. Gli eventi $A$ e $B$ sono indipendenti? Motiva la tua risposta.

In un'urna ci sono $5$ palline rosse e $3$ palline blu. Si estraggono due palline consecutivamente e senza reinserimento. Calcola la probabilità che la prima pallina sia rossa e la seconda sia blu.

Da un mazzo di $40$ carte (napoletane) si estraggono due carte a caso una dopo l'altra e senza reinserimento. Qual è la probabilità che entrambe le carte siano re?

Da una scatola che contiene $10$ lampadine, si sa che $3$ di esse sono fulminate. Si estraggono $3$ lampadine successivamente e senza reinserimento. Qual è la probabilità che esattamente una delle lampadine estratte sia fulminata?

In un'urna opaca ci sono $10$ palline identiche al tatto, delle quali $r$ sono rosse e le restanti sono bianche. Si estraggono a caso due palline consecutivamente e senza reinserimento.

1. a) Sapendo che la probabilità che le due palline estratte siano rosse è esattamente $\frac{1}{15}$, imposta un'equazione algebrica in funzione di $r$ utilizzando la regola del prodotto per eventi dipendenti e risolvila per trovare quante palline di ciascun colore conteneva l'urna all'inizio.
2. b) Con la composizione dell'urna ormai dedotta, calcola la probabilità che la seconda pallina sia bianca sapendo che la prima estratta è stata rossa, $P(B_2 \mid R_1)$.
3. c) Dimostra matematicamente se l'evento «ottenere pallina bianca alla seconda estrazione» è dipendente o indipendente dal risultato ottenuto nella prima, confrontando $P(B_2 \mid R_1)$ con la probabilità a priori di ottenere bianca alla prima estrazione, $P(B_1)$.

In un'urna ci sono $x$ palline rosse e $5$ palline nere. Si estraggono due palline consecutivamente e senza reinserimento. Sapendo che la probabilità che entrambe le palline siano rosse è esattamente $\frac{1}{6}$, imposta un'equazione e determina il numero di palline rosse $x$ presenti nell'urna.

In una fabbrica, la macchina A produce il $60\%$ dei pezzi e la macchina B produce il restante $40\%$. Si sa che il $2\%$ dei pezzi prodotti da A è difettoso, mentre nella macchina B la percentuale di difettosi è del $5\%$. Se si sceglie un pezzo a caso dal magazzino, qual è la probabilità che sia stato fabbricato dalla macchina B e sia difettoso?

In una clinica si effettua un test rapido per l'allergia. Si sa che il $8\%$ dei pazienti è allergico a una determinata sostanza. Il test dà esito positivo nel $90\%$ dei pazienti realmente allergici. Tuttavia, dà anche un falso positivo nel $5\%$ dei pazienti non allergici. Si sceglie un paziente a caso e lo si sottopone al test. Qual è la probabilità che il risultato sia positivo?

Abbiamo tre forzieri identici all'esterno. Il FORZIERE A contiene $2$ monete d'oro e $1$ d'argento. Il FORZIERE B contiene $1$ moneta d'oro e $3$ d'argento. Il FORZIERE C contiene $4$ monete d'oro. Lanciamo un dado equilibrato: se esce $1$ o $2$, scegliamo il forziere A; se esce $3$, scegliamo il forziere B; se esce $4$, $5$ o $6$, scegliamo il forziere C. Poi estraiamo una moneta a caso dal forziere scelto. Qual è la probabilità che la moneta estratta sia d'oro?

In uno scaffale ci sono $5$ romanzi e $3$ libri di poesia. Si scelgono due libri a caso uno dopo l'altro e senza reinserimento. Se il secondo libro scelto è risultato di poesia, qual è la probabilità che lo fosse anche il primo?

In un liceo, il $55\%$ degli studenti sono ragazze. Si sa che il $20\%$ delle ragazze e il $25\%$ dei ragazzi partecipano attivamente al club di teatro. Se si sceglie a caso uno studente che partecipa al club di teatro, qual è la probabilità che sia una ragazza?

Abbiamo due dadi cubici in un bussolotto. Il primo è un dado normale con le facce numerate da $1$ a $6$. Il secondo è un dado truccato che ha tre facce con un $2$, due facce con un $3$ e una faccia con un $5$. Si sceglie un dado a caso (con probabilità $\frac{1}{2}$ per ciascuno) e lo si lancia. Se il risultato ottenuto è un numero pari, qual è la probabilità che sia stato lanciato il dado truccato?