Esercizi: Isometrie nel piano

Nel piano cartesiano sono dati $A(2; 3)$, $B(-1; 4)$ e il vettore $\vec{v} = (3; -2)$.

Calcola le coordinate dei traslati $A'$ e $B'$ secondo $\vec{v}$.

Determina le coordinate del simmetrico del punto $P(4; -3)$:

1. a) rispetto all'asse $x$

1. b) rispetto all'asse $y$

1. c) rispetto all'origine

Indica quali tra le seguenti trasformazioni sono isometrie e quali proprietà conservano: traslazione, rotazione, simmetria assiale, omotetia di rapporto 2.

Il triangolo $ABC$ ha vertici $A(1; 1)$, $B(4; 1)$, $C(4; 5)$.

1. a) Calcola le coordinate dei vertici del triangolo ruotato di $90^\circ$ in senso antiorario attorno all'origine.

1. b) Verifica che i due triangoli hanno lo stesso perimetro.

Dato il segmento $AB$ con $A(1; 2)$ e $B(5; 4)$:

1. a) Trova il simmetrico di $A$ rispetto alla retta $x = 3$.

1. b) Trova il simmetrico di $B$ rispetto alla retta $x = 3$.

1. c) Verifica che la lunghezza del segmento è conservata.

La retta $r$ ha equazione $y = 2x + 1$ e la traslazione ha vettore $\vec{v} = (3; 1)$.

1. a) Trova l'equazione della retta $r'$ traslata.

1. b) Spiega perché $r$ e $r'$ sono parallele.

1. c) Calcola la distanza tra $r$ e $r'$.

Dimostra che la composizione di due simmetrie assiali rispetto a due rette parallele distanti $d$ è una traslazione di vettore perpendicolare alle rette e di modulo $2d$.

Dimostra, usando le coordinate, che la simmetria centrale rispetto al punto $M(a; b)$ trasforma il punto $P(x; y)$ in $P'(2a - x; 2b - y)$ e che conserva le distanze. Applica poi il risultato per trovare il simmetrico della parabola $y = x^2$ rispetto a $M(1; 0)$.

Sia $f$ la rotazione di $90^\circ$ antioraria attorno all'origine e $g$ la simmetria rispetto all'asse $x$.

1. a) Scrivi le equazioni di $f$ e di $g$.

1. b) Calcola $g \circ f$ e $f \circ g$ e verifica che non coincidono.

1. c) Individua di quale isometria si tratta in ciascun caso (trova gli eventuali punti uniti).