Teorema di Talete

Calcola il valore del segmento incognito $x$ nella figura seguente, sapendo che le rette orizzontali sono parallele tra loro.

Due rette incidenti sono tagliate da due rette parallele. Sulla prima retta incidente, i segmenti determinati dalle parallele misurano $12$ cm e $15$ cm. Sulla seconda retta incidente, il segmento corrispondente a quello di $12$ cm misura $8$ cm. Calcola la lunghezza del segmento corrispondente a quello di $15$ cm.

Tre rette parallele sono tagliate da due rette trasversali $r$ e $s$. Sulla retta $r$ i segmenti misurano $3,5$ cm e $5$ cm. Sulla retta $s$ il segmento corrispondente a quello di $3,5$ cm misura $4,2$ cm. Quanto misura il segmento corrispondente a quello di $5$ cm sulla retta $s$?

I triangoli della figura sono in posizione di Talete. Calcola le lunghezze dei lati $x$ e $y$.

In un triangolo $\Delta ABC$ si traccia un segmento $MN$ parallelo al lato $BC$, in modo che $M$ appartenga al lato $AB$ e $N$ al lato $AC$. Sappiamo che $AM = 4$ cm, $MB = 2$ cm e $AN = 6$ cm. Calcola la lunghezza del lato intero $AC$.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

In un triangolo $ABC$ si traccia un segmento $DE$ parallelo al lato $BC$, con il punto $D$ situato sul lato $AB$ e il punto $E$ sul lato $AC$. Si conoscono le seguenti misure: $AD = 6\text{ cm}$, $DB = 3\text{ cm}$ e la base $BC = 12\text{ cm}$. Marco cerca di calcolare la lunghezza del segmento parallelo $DE$ e imposta sul quaderno:

1. a) Senza eseguire alcun calcolo numerico, spiega quale evidenza geometrica immediata dimostra che il risultato di $24\text{ cm}$ ottenuto da Marco è impossibile.
2. b) Individua l'errore concettuale commesso da Marco nell'impostare la proporzione tra i lati obliqui e le basi parallele.
3. c) Scrivi la proporzione corretta applicando le relazioni di similitudine derivate dal teorema di Talete e trova la misura reale del segmento $DE$.

In un parco urbano si progetta un'aiuola triangolare $ABC$. Sul lato $AB$, che misura $15\text{ m}$, si colloca un irrigatore nel punto $M$, a $9\text{ m}$ di distanza dal vertice $A$. Si traccia una tubazione secondaria $MN$ parallela al lato $BC$, in modo che il punto $N$ si trovi sull'altro lato, $AC$, la cui lunghezza totale è $14\text{ m}$.

1. a) Prima di eseguire qualsiasi calcolo esatto, stima se il segmento $AN$ misurerà più o meno della metà del lato $AC$ ($7\text{ m}$) e ragiona tra quali due valori interi dovrebbe collocarsi approssimativamente, osservando quale proporzione rappresenta $AM$ rispetto alla lunghezza totale di $AB$.
2. b) Applica il teorema di Talete per calcolare con esattezza la lunghezza del segmento $AN$ e quella del segmento rimanente $NC$.
3. c) Verifica se il valore ottenuto coincide con la tua stima iniziale e argomenta perché il rapporto $\dfrac{AM}{MB}$ deve coincidere numericamente con il rapporto $\dfrac{AN}{NC}$.

Verifica se i segmenti determinati da tre rette su due trasversali sono proporzionali. Sulla prima trasversale misurano $15$ cm e $20$ cm. Sulla seconda trasversale misurano $24$ cm e $32$ cm. Le tre rette sono parallele? Giustifica la tua risposta usando il teorema inverso di Talete.

In una struttura triangolare di legno $ABC$, i lati obliqui misurano $AB = 15\text{ cm}$ e $AC = 20\text{ cm}$. Per rinforzarla, si colloca un listello interno $MN$ che unisce un punto $M$ del lato $AB$ con un punto $N$ del lato $AC$, in modo che $AM = 6\text{ cm}$ (restando $MB = 9\text{ cm}$) e $AN = 8\text{ cm}$ (restando $NC = 12\text{ cm}$). Si vuole verificare se il listello $MN$ è rimasto esattamente parallelo alla base $BC$.

• Metodo A: verificare l'uguaglianza dei rapporti tra segmenti contigui: $\dfrac{AM}{MB} \stackrel{?}{=} \dfrac{AN}{NC}$.

• Metodo B: verificare l'uguaglianza dei rapporti tra il segmento parziale e il lato intero: $\dfrac{AM}{AB} \stackrel{?}{=} \dfrac{AN}{AC}$.

1. a) Applica numericamente entrambi i metodi e determina se il listello $MN$ è parallelo alla base $BC$ secondo il teorema inverso di Talete.
2. b) Dimostra algebricamente che, se in un triangolo qualsiasi vale l'uguaglianza del Metodo A (indicando $AM = x$, $MB = a - x$, $AN = y$, $NC = b - y$), vale necessariamente l'uguaglianza del Metodo B, giustificando perché i due criteri sono matematicamente equivalenti.
3. c) Se la base misura $BC = 25\text{ cm}$ e si vuole trovare la lunghezza del listello $MN$, giustifica quale dei due metodi si collega direttamente alla similitudine dei triangoli per calcolare $MN$ e spiega quale errore concettuale commetterebbe chi tentasse di calcolarlo a partire dalla proporzione del Metodo A.

Spiega i passaggi geometrici necessari per dividere un segmento di $11$ cm in $5$ parti esattamente uguali utilizzando riga, compasso e il teorema di Talete.

In una camera oscura la luce entra da un piccolo foro e proietta l'immagine capovolta di un oggetto sulla parete di fondo. Se un albero alto $4$ m si trova a $15$ m dal foro, calcola l'altezza dell'immagine proiettata $h$ se la profondità della camera è $0,3$ m.

Durante un'eclissi solare, la Luna si interpone esattamente tra la Terra e il Sole, bloccandone la luce. Sapendo che il diametro del Sole è circa $1,4 \times 10^6$ km e che si trova a $1,5 \times 10^8$ km dalla Terra, e che la Luna è a $384000$ km dalla Terra, calcola il diametro approssimativo della Luna usando la similitudine dei triangoli.

Uno specchio piano è collocato sul suolo orizzontale. Una persona i cui occhi sono a $1,60$ m dal suolo si pone a $1,20$ m dal centro dello specchio e vede esattamente riflessa in esso l'antenna di un edificio. Se la distanza dallo specchio alla base dell'edificio è $18$ m, e sia la persona sia l'edificio sono perpendicolari al suolo, qual è l'altezza totale dell'antenna dal suolo?

Per misurare la larghezza di un fiume dalle rive parallele, un topografo colloca tre picchetti $A, B$ e $C$ allineati in quest'ordine su una delle rive, ponendo $A$ proprio di fronte a un albero $T$ sulla riva opposta (in modo che il segmento $TA$ sia perpendicolare alle rive), e un quarto picchetto $D$ tale che i punti $T, B$ e $D$ siano allineati. Sapendo che il segmento $TA$ è parallelo al segmento $CD$, che $AB = 8$ m, $BC = 12$ m e la distanza da $D$ al fiume, misurata perpendicolarmente, è $2$ m, calcola la larghezza del fiume applicando la similitudine dei triangoli.

Per misurare l'altezza di una montagna inaccessibile senza usare la trigonometria, un topografo utilizza due paline verticali alte $2$ m. Pianta la prima palina nel terreno e, sdraiandosi, allinea visivamente la punta della palina con la cima della montagna. La distanza dal suo occhio alla palina è $1,5$ m. Poi arretra di $150$ m in linea retta, pianta la seconda palina e allinea di nuovo il suo occhio con la punta della palina e la cima. Questa volta la distanza dal suo occhio alla palina è $1,6$ m. Calcola l'altezza della montagna.

Una rampa di accesso per sedie a rotelle supera un dislivello di $1,2$ m su una distanza orizzontale di $15$ m. Se si vuole collocare un sostegno verticale intermedio quando la distanza orizzontale percorsa dall'inizio della rampa è $6$ m, quale deve essere l'altezza di tale sostegno?

In una partita di tennis un giocatore colpisce la palla a un'altezza di $2,4$ m. La palla viaggia in linea retta, sfiora esattamente il nastro superiore della rete (che è a $0,9$ m di altezza) e cade nel campo avversario. Se la distanza orizzontale dal giocatore alla rete è $12$ m, a quale distanza dalla rete rimbalzerà la palla?

Nella struttura di un tetto a due falde si colloca un puntone verticale di rinforzo. La base del tetto misura $10$ m in totale (dal centro alla gronda ci sono $5$ m). L'altezza massima al centro è $3$ m. Se il puntone viene collocato a $1,5$ m dal centro verso la gronda, quale deve essere la sua lunghezza?

Un faro teatrale illumina un attore proiettando la sua ombra sul fondale. Il faro è a livello del suolo. L'attore, alto $1,80$ m, cammina verso il fondale. Quando si trova a $4$ m dal faro, la sua ombra misura $h_1$. Se cammina per altri $2$ m verso il fondale, la sua ombra misura $h_2$. Sapendo che la distanza totale dal faro al fondale è $10$ m, calcola la differenza di altezza tra le due ombre proiettate ($h_1 - h_2$).

Trova il valore di $x$ applicando il teorema di Talete nel seguente diagramma, in cui le tre rette verticali sono parallele. Esprimi il risultato come numero intero o frazione ridotta ai minimi termini.

Nel piano urbanistico di un comune, due viali rettilinei partono da una stessa rotatoria $O$. Per collegare i due viali, il comune progetta tre attraversamenti pedonali rettilinei e paralleli tra loro: Attraversamento 1, Attraversamento 2 e Attraversamento 3.

Sul primo viale, la distanza dalla rotatoria $O$ all'Attraversamento 1 è $40\text{ m}$; la distanza tra l'Attraversamento 1 e l'Attraversamento 2 è $24\text{ m}$; e la distanza tra l'Attraversamento 2 e l'Attraversamento 3 è $32\text{ m}$.

Sul secondo viale, una squadra di topografi misura che la distanza totale dalla rotatoria $O$ all'Attraversamento 3 è esattamente $120\text{ m}$.

1. a) Modella la situazione individuando quali elementi geometrici corrispondono alle rette trasversali e quali alle rette parallele del teorema di Talete.
2. b) Calcola la lunghezza di ciascuno dei tre tratti in cui il secondo viale è diviso dagli attraversamenti (dalla rotatoria all'Attraversamento 1, dall'Attraversamento 1 all'Attraversamento 2 e dall'Attraversamento 2 all'Attraversamento 3).
3. c) La normativa comunale sull'accessibilità raccomanda che la distanza tra due attraversamenti consecutivi non superi $35\text{ m}$. Determina con ragionamento se il tratto tra l'Attraversamento 2 e l'Attraversamento 3 sul secondo viale rispetta tale raccomandazione.

Si vuole progettare la struttura metallica di una vetrata triangolare delimitata da due profili incidenti $r$ e $s$, uniti da tre tiranti trasversali orizzontali paralleli $a$, $b$ e $c$. Questi tiranti determinano due tratti contigui $AB$ e $BC$ sul profilo $r$, e due tratti contigui $A'B'$ e $B'C'$ sul profilo $s$, rispettando il teorema di Talete con un rapporto di progetto prestabilito pari a $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{A'B'}{B'C'} = \dfrac{2}{5}$.

1. a) Se la lunghezza totale del tratto vetrato sul primo profilo deve essere $AC = 35\text{ cm}$, ricava i valori esatti che devono avere i segmenti $AB$ e $BC$.
2. b) Per il secondo profilo $s$, proponi due lunghezze intere diverse per $A'B'$ e $B'C'$ in modo che la loro somma sia strettamente maggiore di $60\text{ cm}$ e conservino esattamente la proporzione richiesta.
3. c) Scrivi un'espressione matematica generale che permetta di calcolare direttamente la lunghezza del segmento superiore $A'B'$ in funzione della lunghezza totale $L = A'C'$ del profilo $s$, valida per qualsiasi struttura che debba mantenere questa stessa proporzione di progetto.

In un sistema di due rette trasversali tagliate da tre rette parallele, i segmenti della prima trasversale misurano $x$ e $x+3$. Sulla seconda trasversale i segmenti corrispondenti misurano $x-2$ e $x$. Imposta la proporzione, risolvi l'equazione risultante e trova il valore dei quattro segmenti.

Nella struttura di una gru a torre, il braccio principale forma un triangolo con i cavi tenditori. Da un nodo $A$ sul braccio principale si traccia un tirante verticale fino al braccio inferiore orizzontale, che misura $3$ m. Da un nodo $B$, situato $4$ m più avanti sul braccio principale, si traccia un altro tirante verticale che misura $4,5$ m. A quale distanza dal nodo $A$ si trova il punto di articolazione (dove si uniscono i due bracci della gru)?

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Due rette parallele distano tra loro $H$. Due segmenti trasversali si incrociano in un punto $P$ tra le parallele, formando una figura a clessidra. I segmenti di una delle trasversali misurano $x$ e $x+5$, mentre la base del triangolo superiore misura $12$ cm e la base del triangolo inferiore misura $27$ cm. Calcola il valore di $x$ e la lunghezza totale di tale trasversale.

Un appezzamento agricolo di forma triangolare $ABC$ confina con un canale di irrigazione rettilineo sul lato $AC$ ($180\text{ m}$) e con un sentiero rettilineo sul lato $AB$ ($150\text{ m}$). Il terzo confine, $BC$, misura $210\text{ m}$. In un progetto di riorganizzazione, i tecnici tracciano due recinzioni divisorie rettilinee, $D_1E_1$ e $D_2E_2$, entrambe parallele al confine $BC$, collocando i punti $D_1$ e $D_2$ sul sentiero $AB$ in modo che questo risulti diviso in tre parti uguali di $50\text{ m}$ ciascuna ($D_1$ più vicino al vertice $A$).

1. a) Modellizza la posizione degli ancoraggi $E_1$ e $E_2$ sul canale $AC$ calcolando, con il teorema di Talete, la lunghezza dei tre tratti ottenuti su tale confine.
2. b) Calcola la lunghezza esatta di ciascuna delle due recinzioni divisorie interne ($D_1E_1$ e $D_2E_2$), giustificando dettagliatamente perché non si può usare direttamente il rapporto tra segmenti sui lati obliqui $\dfrac{AD_1}{D_1D_2}$ e quale rapporto geometrico si deve impiegare.
3. c) Uno dei proprietari afferma: «Poiché le recinzioni dividono entrambi i confini laterali in tre parti di uguale lunghezza, l'intero appezzamento è stato suddiviso in tre zone di uguale superficie». Stabilisci con una motivazione se questa affermazione è vera o falsa confrontando l'area del triangolo superiore $AD_1E_1$ con l'area del trapezio inferiore delimitato da $D_2E_2$ e dal confine $BC$, a partire dal rapporto di similitudine.

In un trapezio $ABCD$ di basi $AB = 25$ cm e $CD = 15$ cm si traccia un segmento $MN$ parallelo alle basi, con $M$ su $AD$ e $N$ su $BC$. Sappiamo che il segmento $MN$ divide i lati non paralleli nella proporzione $\frac{AM}{MD} = \frac{2}{3}$. Calcola la lunghezza del segmento $MN$. (Suggerimento: da un vertice traccia la parallela a uno dei lati obliqui).

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Dimostra, utilizzando il teorema inverso di Talete, che il segmento che unisce i punti medi di due lati di un triangolo qualsiasi è parallelo al terzo lato. Se il terzo lato misura $L$, qual è la lunghezza di questo segmento in funzione di $L$? Argomenta la tua risposta basandoti sulla similitudine dei triangoli.