Circonferenza e poligoni inscritti e circoscritti

Tangenti e raggi

Una retta e una circonferenza possono avere due punti in comune (retta secante), nessuno (retta esterna) oppure uno solo: in questo caso la retta è tangente e il punto in comune si chiama punto di tangenza.

Perché? Ogni altro punto della tangente è esterno alla circonferenza, quindi sta più lontano da $O$ di $T$. Allora $T$ è il punto della retta più vicino a $O$, e il segmento più corto da un punto a una retta è la perpendicolare.

Da un punto $P$ esterno si possono tracciare due tangenti, con punti di tangenza $A$ e $B$.

I triangoli $POA$ e $POB$ sono rettangoli (in $A$ e in $B$), hanno l'ipotenusa $PO$ in comune e i cateti $OA = OB$ (raggi). Quindi sono congruenti e

Angoli al centro e angoli alla circonferenza

Un angolo al centro ha il vertice nel centro $O$. Un angolo alla circonferenza ha il vertice $V$ sulla circonferenza e i lati secanti (o uno secante e uno tangente). Se i lati escono dagli stessi estremi $A$ e $B$ dell'arco, si dice che entrambi insistono sullo stesso arco $AB$.

Conseguenze, tutte molto usate:

• angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono uguali;

• un angolo alla circonferenza che insiste su una semicirconferenza è retto (il triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo);

• un angolo alla circonferenza che insiste su un arco di $80^\circ$ misura $40^\circ$, mentre l'angolo al centro misura $80^\circ$.

Gli altri casi (il centro dentro l'angolo o fuori) si riconducono a questo tracciando il diametro per $V$.

Poligoni inscritti

Un poligono è inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici stanno sulla circonferenza; la circonferenza si dice circoscritta al poligono e il suo centro è il circocentro.

Il circocentro è equidistante dai vertici. Quindi sta sull'asse di ogni lato: per un triangolo è l'intersezione dei tre assi dei lati, e un triangolo ha sempre una circonferenza circoscritta.

Perché? L'angolo retto in $C$ insiste sull'arco $AB$, che deve corrispondere a un angolo al centro di $180^\circ$: perciò $AB$ è un diametro e il centro è il suo punto medio.

Per i quadrilateri la cosa cambia: non tutti si possono inscrivere.

Il motivo: gli angoli opposti $\hat A$ e $\hat C$ insistono su due archi che insieme formano tutta la circonferenza ($360^\circ$); ognuno è la metà del suo arco, quindi la loro somma è $180^\circ$. Lo stesso vale per $\hat B$ e $\hat D$.

Poligoni circoscritti e teorema di Pitot

Un poligono è circoscritto a una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza; la circonferenza è inscritta nel poligono e il suo centro è l'incentro, equidistante dai lati. L'incentro è l'intersezione delle bisettrici degli angoli, e il raggio $r$ dell'inscritta è la distanza dell'incentro dai lati. Ogni triangolo ha una circonferenza inscritta.

Per i quadrilateri vale questa condizione.

Perché (nel verso "se è circoscritto"): da ciascun vertice partono due tangenti uguali. Chiamali $x, y, z, t$ nei vertici $A, B, C, D$. Allora $AB = x + y$, $CD = z + t$, $BC = y + z$, $DA = t + x$, e

Perché: congiungendo l'incentro con i vertici il poligono si divide in triangoli di altezza $r$ sui lati; la somma delle aree è $\tfrac12 r (l_1 + l_2 + \dots) = r \cdot p$.

Per trovare la distanza tra circocentro e incentro, metti il triangolo nel piano cartesiano con l'angolo retto nell'origine: se $C(0;0)$, $A(20;0)$, $B(0;15)$, l'incentro è $I(5;5)$ (distante $r = 5$ dai due cateti) e il circocentro è il punto medio dell'ipotenusa $O(10;\,7{,}5)$. Poi usa la formula della distanza.

Poligoni regolari

Un poligono regolare ha tutti i lati e tutti gli angoli uguali. Ogni poligono regolare è sia inscrivibile sia circoscrivibile, e le due circonferenze hanno lo stesso centro. Il raggio della circonferenza circoscritta è $R$; il raggio della circonferenza inscritta si chiama apotema $a$ (distanza del centro da un lato).

Il triangolo formato dal centro e da un lato è isoscele, con apotema come altezza. Per questo:

Nei poligoni regolari più comuni:

• Triangolo equilatero di lato $l$: altezza $h = \dfrac{l\sqrt{3}}{2}$, $R = \dfrac{2}{3}h$, $a = r = \dfrac{1}{3}h$.

• Quadrato: $R = \dfrac{l\sqrt{2}}{2}$, $a = \dfrac{l}{2}$.

• Esagono regolare: si divide in 6 triangoli equilateri, quindi $R = l$ e $a = \dfrac{l\sqrt{3}}{2}$.

Per il triangolo equilatero, le mediane sono anche altezze, assi e bisettrici: circocentro e incentro coincidono nel baricentro, che divide l'altezza in due parti nel rapporto $2:1$. Per questo $R = 2r$.

Il tavolo del falegname. Il tavolo esagonale è inscritto nel tavolo rotondo di raggio 60 cm. In un esagono regolare $R = l$, quindi il lato è 60 cm.

Per la lunghezza della circonferenza di raggio $r$ vale $\ell = 2\pi r$: il rapporto tra circonferenza e diametro è sempre $\pi$.

In sintesi

• La tangente è perpendicolare al raggio nel punto di tangenza; da un punto esterno le due tangenti sono uguali ($PA = PB$).

• Un angolo alla circonferenza è la metà dell'angolo al centro che insiste sullo stesso arco; se insiste su una semicirconferenza è retto.

• Un quadrilatero è inscrivibile se gli angoli opposti sono supplementari; il circocentro del triangolo rettangolo è il punto medio dell'ipotenusa.

• Un quadrilatero è circoscrivibile se $AB + CD = BC + DA$ (Pitot); l'area di un poligono circoscritto è $p \cdot r$.

• Nei poligoni regolari le due circonferenze sono concentriche: $R$ è il raggio circoscritto, $a$ l'apotema, area $= p \cdot a$; nell'esagono $R = l$.