Congruenza e dimostrazioni

Assiomi, teoremi e dimostrazioni

La geometria euclidea è costruita come una piramide. In basso ci sono i termini primitivi (punto, retta, piano), che non si definiscono, e gli assiomi (o postulati): affermazioni che accettiamo senza dimostrarle. Sopra, tutto il resto: le definizioni e i teoremi, che si deducono con ragionamenti logici.

Esempi di assiomi: «per due punti distinti passa una e una sola retta»; «per un punto esterno a una retta passa una sola parallela a essa» (quinto postulato di Euclide, nella forma di Playfair). Esempi di teoremi: «gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono congruenti»; «la somma degli angoli interni di un triangolo è $180^\circ$».

I criteri di congruenza dei triangoli

Due figure sono congruenti se si possono sovrapporre con un movimento rigido: hanno stessa forma e stesse dimensioni. Per due triangoli ciò significa che hanno ordinatamente congruenti tutti e tre i lati e tutti e tre gli angoli. Ma non serve controllare sei cose: ne bastano tre, scelte bene.

Il perché: con due lati e l'angolo compreso il triangolo è «bloccato», perché il terzo lato è determinato; con un lato e i due angoli adiacenti, le due semirette si incontrano in un solo punto; con tre lati esiste una sola forma possibile (un triangolo è rigido).

Quando due triangoli sono congruenti, anche gli elementi rimasti sono congruenti: lati opposti ad angoli congruenti, e angoli opposti a lati congruenti.

Vuelve al principio: Marco e Giulia possono misurare i tre lati (LLL), oppure due lati e l'angolo compreso (LAL), oppure un lato e i due angoli adiacenti (ALA). Se le misure coincidono, le travi sono identiche.

Dimostrare con la congruenza

Una buona dimostrazione ha sempre la stessa struttura: disegno, ipotesi, tesi, poi i passaggi, ciascuno con la sua giustificazione. L'idea tipica: per provare che due segmenti o due angoli sono congruenti, si cerca una coppia di triangoli congruenti che li contenga.

Una conseguenza: in un triangolo isoscele, bisettrice dell'angolo al vertice, altezza e mediana relative alla base coincidono. Dalla stessa congruenza segue anche $\hat{B} = \hat{C}$.

Un secondo esempio importante sui parallelogrammi: le diagonali si dividono scambievolmente a metà. Qui servono le rette parallele: due rette parallele tagliate da una trasversale formano angoli alterni interni congruenti.

Triangolo rettangolo: Pitagora ed Euclide

Nel triangolo rettangolo, oltre ai criteri di congruenza, si usano il teorema di Pitagora e i due teoremi di Euclide. Siano $c_1$, $c_2$ i cateti, $i$ l'ipotenusa, $h$ l'altezza relativa all'ipotenusa e $p_1$, $p_2$ le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa (con $p_1 + p_2 = i$).

Il perché: l'altezza divide il triangolo in due triangoli rettangoli simili al triangolo di partenza (hanno gli stessi angoli). Dalla proporzione tra i lati corrispondenti nascono le relazioni di Euclide. Per l'area vale anche $\text{Area} = \dfrac{c_1 \cdot c_2}{2} = \dfrac{i \cdot h}{2}$, da cui $h = \dfrac{c_1 \cdot c_2}{i}$.

Il trapezio isoscele si riduce al triangolo rettangolo: abbassando le due altezze dagli estremi della base minore si ottengono due triangoli rettangoli congruenti (stessa ipotenusa = lato obliquo, stessa altezza) e un rettangolo. La proiezione di ciascun lato obliquo sulla base maggiore vale $\dfrac{B - b}{2}$.

In sintesi