Punto medio di un segmento

Calcola le coordinate del punto medio del segmento i cui estremi sono i punti $A(2, 4)$ e $B(6, 10)$.

Marco deve calcolare il punto medio del segmento che unisce i punti $A(-4, 7)$ e $B(2, -1)$. Sul suo quaderno scrive quanto segue:

Individua l'errore concettuale commesso da Marco, spiegando con quale altra formula o procedimento di geometria analitica si è confuso. Poi ragiona perché il suo risultato è visivamente impossibile in base alla posizione dei punti e calcola la soluzione corretta.

Gli estremi di un diametro di una circonferenza sono i punti $P(-3, 5)$ e $Q(7, -1)$. Calcola le coordinate del centro della circonferenza e la misura del suo raggio.

Il punto medio del segmento $AB$ è $M(3, 5)$. Se l'estremo $A$ ha coordinate $(1, 2)$, trova le coordinate dell'estremo $B$.

Il punto medio del segmento $AB$ è $M(a, 3)$. Se conosciamo le coordinate degli estremi $A(-2, 5)$ e $B(6, b)$, imposta le equazioni corrispondenti e calcola i valori dei parametri $a$ e $b$.

Il segmento $AB$ ha il punto medio in $M(4, 3)$. Sapendo che l'estremo $A$ si trova sull'asse delle ascisse (asse X) e l'estremo $B$ si trova sull'asse delle ordinate (asse Y), imposta le equazioni corrispondenti e determina le coordinate esatte di $A$ e di $B$.

Verifica se il quadrilatero di vertici $A(-1, 2)$, $B(3, 4)$, $C(4, 0)$ e $D(0, -2)$ è un parallelogramma. Per farlo, calcola i punti medi delle sue due diagonali e verifica se coincidono.

Tre vertici consecutivi di un terreno topografico a forma di parallelogramma sono $A(-3, -1)$, $B(2, -2)$ e $C(5, 2)$. Utilizzando la proprietà geometrica per cui le diagonali di un parallelogramma si incontrano nel loro punto medio, calcola le coordinate del quarto vertice $D$.

Sono noti tre vertici consecutivi di un terreno a forma di parallelogramma $ABCD$: $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ e $C(6, 9)$. Per trovare le coordinate del quarto vertice $D$, due disegnatori propongono strade diverse:

• Metodo 1: Usare l'equipollenza dei vettori uguagliando le componenti di $\vec{AB}$ e $\vec{DC}$.

• Metodo 2: Calcolare il punto medio della diagonale nota $AC$ e usare il fatto che deve coincidere con il punto medio dell'altra diagonale, $BD$.

1. a) Sviluppa completamente entrambi i metodi e verifica che portano allo stesso risultato numerico per $D$.
2. b) Se la mappa topografica richiedesse anche di trovare il centro di simmetria del terreno (il punto centrale in cui si incrociano le recinzioni diagonali), confronta l'efficienza dei due metodi e giustifica quale dei due fa risparmiare operazioni.
3. c) Se non fosse specificato che i vertici $A$, $B$ e $C$ sono consecutivi in ordine alfabetico, ragiona su quanti parallelogrammi distinti si potrebbero costruire con quegli stessi tre punti come vertici.

Dato il triangolo di vertici $A(-2, 1)$, $B(4, 5)$ e $C(2, -3)$, trova le coordinate del punto medio del lato $BC$ e, successivamente, calcola la lunghezza della mediana che parte dal vertice $A$.

In un triangolo di vertici $A(-1, 3)$, $B(5, 7)$ e $C(3, -1)$:

1. a) Calcola le coordinate del punto medio $M$ del lato $BC$ e ottieni le componenti del vettore che va dal vertice $A$ a tale punto medio (segmento che definisce la mediana del triangolo).
2. b) Il baricentro $G$ di un triangolo è il punto che si trova su ciascuna mediana a due terzi della distanza dal vertice corrispondente al lato opposto, e soddisfa la relazione vettoriale $\vec{AG} = 2\cdot \vec{GM}$. Calcola le coordinate esatte di $G$ per questo triangolo e dimostra algebricamente che tali coordinate coincidono con la media aritmetica delle coordinate dei suoi tre vertici: $\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\ \frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$.
3. c) Se completiamo un parallelogramma che abbia come lati consecutivi i segmenti $AB$ e $AC$, ragiona senza calcolare distanze se il baricentro $G$ può coincidere con il punto di intersezione delle diagonali di tale parallelogramma.

In un programma di disegno al computer si traccia un segmento da $P_1(-4, -2)$ a $P_2(8, 6)$. Il progettista deve collocare tre punti sul segmento che lo dividano in quattro parti esattamente uguali. Calcola le coordinate del punto centrale di questi tre punti di divisione.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Si vuole dividere il segmento di estremi $A(-5, 1)$ e $B(7, 9)$ in quattro parti di uguale lunghezza utilizzando esclusivamente il calcolo dei punti medi. Descrivi il procedimento e calcola le coordinate dei tre punti che dividono tale segmento.