Espressioni algebriche

Individua il coefficiente, la parte letterale e il grado del seguente monomio: $M(x,y) = -\frac{2}{3}x^4y^2$.

Si vuole determinare la formula di un monomio in due variabili della forma $M(x, y) = c \cdot x^{a+2} y^{3a-1}$, dove $c$ è un numero reale e $a$ è un numero naturale.

1. a) Sapendo che il grado complessivo del monomio è $9$, imposta un'equazione di primo grado nell'incognita $a$ e trova il suo valore.
2. b) Con il valore di $a$ trovato, calcola il coefficiente $c$ sapendo che il valore numerico del monomio per $x = -1$ e $y = 2$ è uguale a $-64$.
3. c) Se mantieni il valore di $y = 2$ ma triplichi il valore di $x$ rendendolo $x = -3$, spiega per quale fattore risulta moltiplicato il risultato finale senza dover ricalcolare tutte le potenze dall'inizio.

Calcola il valore numerico del polinomio $P(x) = 3x^2 - 5x + 2$ per $x = -2$.

Indica quali delle seguenti espressioni algebriche sono polinomi e giustifica la risposta:

• $A(x) = 3x^2 - \frac{5}{x}$

• $B(x) = \sqrt{2}x^3 - x$

• $C(x) = 4x^{1/2} + 1$

Scrivi l'espressione algebrica che fornisce la somma dei primi $n$ multipli interi positivi di $3$, sapendo che la somma dei primi $n$ numeri naturali è $\frac{n(n+1)}{2}$. Usa tale espressione per calcolare la somma dei primi $50$ multipli di $3$.

Esegui la seguente somma algebrica di monomi simili e semplifica il risultato: $3x^2y - 5x^2y + 8x^2y$.

Esegui la moltiplicazione dei seguenti monomi: $(-3a^2b^3) \cdot (4ab^4)$.

Esegui la seguente divisione di monomi e indica il coefficiente, la parte letterale e il grado del monomio risultante: $\frac{-24x^5y^4z}{6x^2y^3}$.

Calcola il valore numerico dell'espressione algebrica $P(x,y) = \frac{x^2 - 2xy + y^2}{x - y}$ per $x = \frac{1}{2}$ e $y = -\frac{3}{2}$. Suggerimento: semplifica l'espressione prima di sostituire i valori.

Data l'espressione algebrica $E(a,b) = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}$, semplificala al massimo eseguendo la divisione e usa il risultato per calcolare mentalmente il suo valore numerico quando $a = 4,5$ e $b = 1,5$.

In un circuito elettrico, la resistenza equivalente $R_{eq}$ di tre resistenze $R_1$, $R_2$ e $R_3$ collegate in parallelo si ottiene dalla formula $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$. Ricava $R_{eq}$ e scrivi la sua espressione algebrica come un'unica frazione in funzione di $R_1$, $R_2$ e $R_3$.

Un giardino rettangolare ha dimensioni di $a$ metri di lunghezza per $b$ metri di larghezza. Si costruiscono due viali perpendicolari di larghezza $x$ paralleli ai lati del giardino, a formare una croce. Scrivi l'espressione algebrica scomposta in fattori dell'area della zona verde rimanente.

Marco deve semplificare in un compito in classe l'espressione algebrica $E(x, y) = 4x^3y^2 + 2x^3y^2 - 3x \cdot (2x^2y^2)$. Sul foglio scrive il seguente svolgimento:

Passaggio 1: $4x^3y^2 + 2x^3y^2 = 6x^6y^4$.

Passaggio 2: $3x \cdot (2x^2y^2) = 6x^2y^2$.

Passaggio 3: $6x^6y^4 - 6x^2y^2 = 0x^4y^2 = 0$.

1. a) Individua e spiega in modo motivato gli errori concettuali che commette Marco in ciascuno dei tre passaggi, indicando quali proprietà delle operazioni con i monomi ha violato.
2. b) Esegui la semplificazione corretta passo dopo passo, indica se il risultato ottenuto è un monomio o un polinomio e determina il suo grado complessivo.

Esprimi in linguaggio algebrico il seguente enunciato: "Il cubo di un numero meno il quadrato di un altro numero diverso".

Determina il valore di $k$ affinché il valore numerico del polinomio $P(x) = 2x^3 - kx + 4$ in $x = 1$ sia uguale a $5$.

Trova i valori dei parametri $a$ e $b$ nel polinomio $P(x) = ax^2 + bx - 5$ sapendo che il suo valore numerico per $x = 1$ è $-2$ e per $x = -1$ è $-4$.

Dimostra algebricamente che la differenza tra i quadrati di due numeri dispari consecutivi è sempre un multiplo di $8$. (Ricorda che un numero dispari si può esprimere nella forma $2n+1$).

Un negozio di abbigliamento offre uno sconto del $20\%$ su tutti i suoi articoli. Se compri $x$ camicie che originariamente costano $25$ euro ciascuna e $y$ pantaloni che costano $40$ euro ciascuno, scrivi l'espressione algebrica del costo totale dell'acquisto. Calcola il costo se compri $3$ camicie e $2$ pantaloni.

L'energia cinetica di un corpo in movimento è data dall'espressione $E_c = \frac{1}{2}mv^2$, dove $m$ è la massa in chilogrammi e $v$ la velocità in metri al secondo. Calcola l'energia cinetica di un veicolo di $800$ kg che viaggia a $20$ m/s.

La figura mostra un quadrato di lato $2x$ che contiene al suo interno un cerchio di raggio $x$. Scrivi l'espressione algebrica che rappresenta l'area della regione colorata (la parte del quadrato esterna al cerchio).

Si vuole costruire una scatola senza coperchio a partire da un foglio di cartone rettangolare di $40$ cm di lunghezza per $30$ cm di larghezza. Per farlo, si ritagliano quadrati di lato $x$ in ciascuno dei quattro angoli e si piegano le alette verso l'alto. Scrivi l'espressione algebrica del volume della scatola in funzione di $x$ e calcola tale volume se $x = 5$ cm.