Funzioni, proporzionalità e grafici
Un treno regionale da Bologna a Firenze viaggia a velocità costante: ogni minuto che passa, i chilometri percorsi aumentano sempre della stessa quantità. Se conosci il tempo, puoi calcolare la distanza, e viceversa. Una regola di questo tipo, che a ogni valore di partenza associa un solo valore di arrivo, si chiama funzione. Alla fine della pagina useremo questa idea per rispondere: quanto tempo serve se il treno raddoppia la velocità?
Che cos'è una funzione
Una funzione da un insieme $A$ a un insieme $B$ è una regola che a ogni elemento $x$ di $A$ associa un solo elemento $y$ di $B$. Scriviamo $y = f(x)$.
Per calcolare $f(a)$ si sostituisce $a$ al posto di $x$. Per trovare la $x$ che dà un certo valore si risolve un'equazione.
Il dominio
Due regole da ricordare:
-
il denominatore non può essere zero;
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sotto una radice quadrata il radicando deve essere $\ge 0$.
Data la funzione $f(x) = 3x - 5$, calcola: a) $f(0)$, $f(2)$ e $f(-1)$ b) il valore di $x$ per cui $f(x) = 10$
Data la funzione $f(x) = 3x - 5$, calcola:
- a) $f(0)$, $f(2)$ e $f(-1)$
- b) il valore di $x$ per cui $f(x) = 10$
Determina il dominio (campo di esistenza) delle seguenti funzioni: a) $f(x) = \dfrac{5}{x - 3}$ b) $g(x) = \sqrt{x + 4}$
Determina il dominio (campo di esistenza) delle seguenti funzioni:
- a) $f(x) = \dfrac{5}{x - 3}$
- b) $g(x) = \sqrt{x + 4}$
La funzione lineare $f(x) = mx + q$
La funzione $f(x) = mx + q$ ha come grafico una retta nel piano cartesiano. Il numero $m$ è il coefficiente angolare: di quanto cambia $y$ quando $x$ aumenta di 1. Il numero $q$ è il termine noto (ordinata all'origine): il valore di $y$ per $x = 0$, cioè il punto in cui la retta taglia l'asse $y$. Se $q = 0$ si ottiene la proporzionalità diretta $y = mx$.
Perché basta sapere $m$ e $q$? Perché a ogni passo di 1 verso destra il valore cambia sempre della stessa quantità $m$: la crescita è costante, quindi il grafico è dritto. Se $m > 0$ la retta sale, se $m < 0$ scende.
Funzioni e grafici: $|x|$ e $x^2$
Il grafico di $f$ è l'insieme dei punti $(x; f(x))$ del piano cartesiano. Due funzioni fondamentali:
-
valore assoluto $f(x) = |x|$: vale $x$ se $x \ge 0$, vale $-x$ se $x < 0$. Il grafico è una "V" con vertice in $O$;
-
parabola $f(x) = x^2$: sempre $\ge 0$, simmetrica rispetto all'asse $y$.
Entrambe sono pari: $f(-x) = f(x)$, quindi il grafico è simmetrico rispetto all'asse $y$. Nota che $|x|$ e $x^2$ coincidono in $x = 0, 1, -1$.
Funzione definita a tratti
Il valore assoluto si scrive togliendo le barre in base al segno:
$$|x - 2| = \begin{cases} x - 2 & \text{se } x \ge 2 \\ -(x-2) = 2 - x & \text{se } x < 2 \end{cases}$$La retta $y = k$ taglia la "V" in due punti se $k > -1$, in uno se $k = -1$, in nessuno se $k < -1$.
Intersezione tra due grafici
I punti comuni a due grafici $y = f(x)$ e $y = g(x)$ si trovano risolvendo l'equazione $f(x) = g(x)$: le soluzioni sono le ascisse dei punti. Poi si calcola l'ordinata sostituendo in una delle due funzioni. Per sapere se un punto appartiene a un grafico, basta sostituire le sue coordinate e verificare l'uguaglianza.
Considera le funzioni $f(x) = |x|$ e $g(x) = x^2$. a) Completa una tabella di valori per $x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$ per ciascuna delle due funzioni. b) Indica per…
Considera le funzioni $f(x) = |x|$ e $g(x) = x^2$.
- a) Completa una tabella di valori per $x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$ per ciascuna delle due funzioni.
- b) Indica per quali valori di $x$ le due funzioni assumono lo stesso valore.
Considera la funzione $f(x) = |x - 2| - 1$. a) Scrivi $f$ come funzione definita a tratti. b) Rappresenta il grafico descrivendone vertice e intersezioni con gli assi.…
Considera la funzione $f(x) = |x - 2| - 1$.
- a) Scrivi $f$ come funzione definita a tratti.
- b) Rappresenta il grafico descrivendone vertice e intersezioni con gli assi.
- c) Determina per quali valori del parametro $k$ l'equazione $f(x) = k$ ha due soluzioni, una soluzione, nessuna soluzione.
Proporzionalità diretta e inversa
Perché prodotto costante? Se $x$ raddoppia, $y$ deve dimezzare per mantenere $xy = k$. Il grafico non tocca mai gli assi: $x = 0$ non è nel dominio.
Un treno regionale viaggia da Bologna a Firenze a velocità costante. In 20 minuti percorre 24 km. a) Scrivi la funzione che esprime la distanza $d$ (in km) in funzione…
Un treno regionale viaggia da Bologna a Firenze a velocità costante. In 20 minuti percorre 24 km.
- a) Scrivi la funzione che esprime la distanza $d$ (in km) in funzione del tempo $t$ (in minuti) e dì di che tipo di proporzionalità si tratta.
- b) Calcola quanti minuti servono per percorrere i 100 km del tragitto complessivo.
- c) Se la velocità fosse doppia, quanto tempo servirebbe per i 100 km? Che relazione c'è tra velocità e tempo a parità di distanza?
Sei operai di un cantiere a Napoli completano un lavoro in 15 giorni, tutti con lo stesso ritmo. a) Scrivi la funzione che lega il numero $n$ di operai al numero di…
Sei operai di un cantiere a Napoli completano un lavoro in 15 giorni, tutti con lo stesso ritmo.
- a) Scrivi la funzione che lega il numero $n$ di operai al numero di giorni $g$ e disegna a parole l'andamento del suo grafico (tipo di curva, asintoti).
- b) Quanti giorni servono con 10 operai?
- c) Quanti operai servono per finire in 5 giorni?
Funzione composta e funzione inversa
Composizione
Se applichiamo prima $f$ e poi $g$, otteniamo la funzione composta $(g \circ f)(x) = g(f(x))$. L'ordine conta.
Inversa
Una funzione è iniettiva se a valori diversi di $x$ corrispondono valori diversi di $y$. Solo le funzioni iniettive (e considerate sul loro codominio) sono invertibili. L'inversa $f^{-1}$ "disfa" $f$:
$$(f \circ f^{-1})(x) = x \qquad (f^{-1} \circ f)(x) = x$$Per trovarla: poni $y = f(x)$, ricava $x$ in funzione di $y$, poi scambia i nomi $x \leftrightarrow y$. Il grafico di $f^{-1}$ è il simmetrico di quello di $f$ rispetto alla bisettrice $y = x$.
Date $f(x) = 2x + 1$ e $g(x) = x^2 - 3$, determina: a) $(g \circ f)(x)$ e $(f \circ g)(x)$ b) $(g \circ f)(2)$ e $(f \circ g)(2)$ c) i valori di $x$ per cui…
Date $f(x) = 2x + 1$ e $g(x) = x^2 - 3$, determina:
- a) $(g \circ f)(x)$ e $(f \circ g)(x)$
- b) $(g \circ f)(2)$ e $(f \circ g)(2)$
- c) i valori di $x$ per cui $(g \circ f)(x) = 6$
Sia $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$. a) Determina il dominio di $f$. b) Dimostra che $f$ è invertibile sul suo dominio e calcola $f^{-1}(x)$, indicandone il dominio. c)…
Sia $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$.
- a) Determina il dominio di $f$.
- b) Dimostra che $f$ è invertibile sul suo dominio e calcola $f^{-1}(x)$, indicandone il dominio.
- c) Verifica che $(f \circ f^{-1})(x) = x$.
Sia $f(x) = x^2$ con dominio $\mathbb{R}$. a) Spiega perché $f$ non è iniettiva su $\mathbb{R}$. b) Restringi il dominio in modo che $f$ sia invertibile e determina la…
Sia $f(x) = x^2$ con dominio $\mathbb{R}$.
- a) Spiega perché $f$ non è iniettiva su $\mathbb{R}$.
- b) Restringi il dominio in modo che $f$ sia invertibile e determina la funzione inversa con il suo grafico (simmetria rispetto alla bisettrice $y = x$).
- c) Data $h(x) = \dfrac{12}{x}$, trova i punti di intersezione tra il grafico di $h$ e quello di $y = x^2 - 4x$... in particolare verifica se il punto $(3; 4)$ appartiene a entrambi e giustifica la risposta.
In sintesi
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Una funzione associa a ogni $x$ del dominio un solo $y$. Dominio: denominatore $\neq 0$, radicando $\ge 0$.
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$|x|$ è una "V" con vertice in $O$; $x^2$ è una parabola. Entrambe sono pari.
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Diretta: $y = kx$ (retta per l'origine). Inversa: $xy = k$ (iperbole equilatera con asintoti gli assi).
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$(g \circ f)(x) = g(f(x))$: l'ordine conta.
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$f$ è invertibile se è iniettiva; il grafico di $f^{-1}$ è simmetrico a quello di $f$ rispetto a $y = x$.
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Vuoi raddoppiare la velocità del treno? Il tempo dimezza: velocità e tempo sono inversamente proporzionali.