Eventi composti
Lanciare due monete, estrarre due carte dal mazzo, oppure scegliere prima un'urna e poi una pallina: sono esperimenti composti, formati da più fasi. In una gara a squadre, quanto è probabile che una squadra vinca al meglio delle tre partite? Per rispondere devi imparare a combinare le probabilità delle singole fasi. In questa pagina usiamo i diagrammi ad albero senza la formalità della probabilità condizionata: basta il buon senso, contando ciò che resta dopo ogni fase.
Esperimenti in più fasi
Se le fasi non si influenzano (due lanci di moneta, un dado e una moneta) la probabilità di una combinazione di esiti è il prodotto delle probabilità. Perché? Con una moneta e un dado ci sono $2 \cdot 6 = 12$ coppie ugualmente possibili: i casi possibili si moltiplicano, e lo stesso fanno le frazioni.
Lanciamo due monete in modo indipendente. Calcola la probabilità di ottenere esattamente due croci.
Lanciamo due monete in modo indipendente. Calcola la probabilità di ottenere esattamente due croci.
Lanciamo un dado cubico equilibrato (con le facce numerate da $1$ a $6$) e una moneta. Qual è la probabilità di ottenere un numero pari sul dado e testa sulla moneta?
Lanciamo un dado cubico equilibrato (con le facce numerate da $1$ a $6$) e una moneta. Qual è la probabilità di ottenere un numero pari sul dado e testa sulla moneta?
In una strada ci sono due semafori indipendenti. La probabilità che il primo sia verde è $0,4$ e la probabilità che il secondo sia verde è $0,5$. Trova la probabilità di…
In una strada ci sono due semafori indipendenti. La probabilità che il primo sia verde è $0,4$ e la probabilità che il secondo sia verde è $0,5$. Trova la probabilità di trovare entrambi i semafori verdi passando per quella strada.
Il prodotto lungo un cammino
Quando si estrae senza reinserimento, la composizione dell'urna cambia: nella seconda fase contano le carte rimaste.
In una scatola ci sono $5$ palline rosse e $3$ palline azzurre. Si estrae una pallina, si annota il suo colore, si rimette nella scatola e si estrae una seconda pallina.…
In una scatola ci sono $5$ palline rosse e $3$ palline azzurre. Si estrae una pallina, si annota il suo colore, si rimette nella scatola e si estrae una seconda pallina. Trova la probabilità che entrambe le palline siano rosse.
Da un mazzo di $40$ carte (mazzo spagnolo) si estraggono due carte consecutivamente senza reinserimento. Calcola la probabilità che le due carte siano Re.
Da un mazzo di $40$ carte (mazzo spagnolo) si estraggono due carte consecutivamente senza reinserimento. Calcola la probabilità che le due carte siano Re.
In un ristorante, il $60\%$ dei clienti ordina il menù del giorno e il $40\%$ ordina alla carta. Tra quelli che ordinano il menù, il $70\%$ prende il dolce. Tra quelli…
In un ristorante, il $60\%$ dei clienti ordina il menù del giorno e il $40\%$ ordina alla carta. Tra quelli che ordinano il menù, il $70\%$ prende il dolce. Tra quelli che ordinano alla carta, il $50\%$ prende il dolce. Calcola la probabilità che un cliente scelto a caso ordini il menù del giorno e prenda il dolce.
Si estraggono tre carte consecutivamente e senza reinserimento da un mazzo di $40$ carte (mazzo spagnolo). Calcola la probabilità di ottenere tre carte del seme di…
Si estraggono tre carte consecutivamente e senza reinserimento da un mazzo di $40$ carte (mazzo spagnolo). Calcola la probabilità di ottenere tre carte del seme di denari.
Quando il numero di palline è un'incognita
A volte il numero di palline è sconosciuto e la probabilità di un cammino è un dato. Scrivi il prodotto in funzione dell'incognita, uguagliala al valore noto e risolvi l'equazione che ottieni. Se compare $x^2$, porta tutto a primo membro e scomponi in fattori (oppure usa la formula risolutiva). Poi scarta le soluzioni non accettabili: il numero di palline è intero e positivo. Nota: le equazioni di secondo grado sono un approfondimento del secondo biennio.
Un'urna contiene $x$ palline bianche e $5$ palline nere. Si estraggono due palline consecutivamente e senza reinserimento. Sapendo che la probabilità che entrambe le…
Un'urna contiene $x$ palline bianche e $5$ palline nere. Si estraggono due palline consecutivamente e senza reinserimento. Sapendo che la probabilità che entrambe le palline siano bianche è $\frac{1}{6}$, imposta un'equazione di secondo grado e determina il numero iniziale di palline bianche $x$ presenti nell'urna.
Due cammini verso lo stesso risultato
Se un risultato si può ottenere in più modi diversi (più cammini dell'albero), calcoli la probabilità di ciascun cammino con il prodotto e poi le sommi.
Abbiamo due urne. L'urna $A$ contiene $4$ palline bianche e $2$ nere. L'urna $B$ contiene $3$ palline bianche e $5$ nere. Lanciamo una moneta equilibrata; se esce testa,…
Abbiamo due urne. L'urna $A$ contiene $4$ palline bianche e $2$ nere. L'urna $B$ contiene $3$ palline bianche e $5$ nere. Lanciamo una moneta equilibrata; se esce testa, estraiamo una pallina dall'urna $A$, e se esce croce, estraiamo una pallina dall'urna $B$. Trova la probabilità che la pallina estratta sia bianca.
Una fabbrica di componenti elettronici ha due macchine. La macchina $M_1$ produce il $60\%$ dei componenti e la macchina $M_2$ il restante $40\%$. Si sa che il $2\%$ dei…
Una fabbrica di componenti elettronici ha due macchine. La macchina $M_1$ produce il $60\%$ dei componenti e la macchina $M_2$ il restante $40\%$. Si sa che il $2\%$ dei componenti prodotti da $M_1$ è difettoso, mentre il $5\%$ di quelli prodotti da $M_2$ è difettoso. Se si seleziona un componente a caso in magazzino, qual è la probabilità che sia difettoso?
«Almeno uno» con l'evento contrario
Due giocatrici di basket, Marta e Laura, effettuano un tiro libero ciascuna. La probabilità che Marta segni è $0,8$ e la probabilità che Laura segni è $0,7$. I loro tiri…
Due giocatrici di basket, Marta e Laura, effettuano un tiro libero ciascuna. La probabilità che Marta segni è $0,8$ e la probabilità che Laura segni è $0,7$. I loro tiri sono eventi indipendenti. Calcola la probabilità che almeno una delle due segni il proprio tiro libero.
Un arciere ha una probabilità $0,85$ di colpire il centro del bersaglio a ogni tiro. Se effettua tre tiri consecutivi e indipendenti, trova la probabilità che sbagli…
Un arciere ha una probabilità $0,85$ di colpire il centro del bersaglio a ogni tiro. Se effettua tre tiri consecutivi e indipendenti, trova la probabilità che sbagli tutti e tre i tiri.
Lo schema seguente mostra un sistema di tubature con tre valvole $A$, $B$ e $C$. L'acqua scorre da sinistra a destra. Perché l'acqua arrivi alla fine, deve passare per…
Lo schema seguente mostra un sistema di tubature con tre valvole $A$, $B$ e $C$. L'acqua scorre da sinistra a destra. Perché l'acqua arrivi alla fine, deve passare per la valvola $A$ oppure per il ramo inferiore che contiene le valvole $B$ e $C$ in serie. Le probabilità che le valvole siano aperte sono $P(A) = 0,7$, $P(B) = 0,8$ e $P(C) = 0,9$. Sapendo che il funzionamento di ciascuna valvola è indipendente, calcola la probabilità che l'acqua riesca ad attraversare il sistema.
Probabilità geometrica
Se un dardo colpisce sempre il bersaglio e la probabilità di colpire una regione è proporzionale alla sua area, allora $p = \dfrac{\text{area della regione}}{\text{area totale}}$. Con più lanci indipendenti si moltiplicano le probabilità, e se l'ordine non è fissato si sommano i cammini.
Si lancia un dardo al bersaglio in figura, formato da due cerchi concentrici di raggi $R$ e $2R$. Il dardo colpisce sempre il bersaglio e la probabilità di colpire una…
Si lancia un dardo al bersaglio in figura, formato da due cerchi concentrici di raggi $R$ e $2R$. Il dardo colpisce sempre il bersaglio e la probabilità di colpire una regione è proporzionale alla sua area. Se si lanciano due dardi in modo indipendente, calcola la probabilità che un dardo cada nella zona centrale (A) e l'altro nella zona esterna (B).
Vuoi sapere quanto è probabile che una squadra vinca al meglio delle tre? Vuol dire sommare i cammini «2-0» e «2-1»: è proprio ciò che hai imparato.
Probabilità totale con un test (falsi positivi)
In certi problemi la prima fase divide la popolazione in due gruppi (per esempio malati e sani) e la seconda fase è il risultato di un test. La probabilità di un certo risultato è la somma dei cammini che lo producono, come nell'esempio delle due urne. Nota: qui calcoliamo la probabilità che il test sia positivo, non la probabilità di essere malati sapendo che il test è positivo (quest'ultima richiede la formula di Bayes, che non serve qui).
Un test medico per individuare una malattia ha le seguenti caratteristiche: se una persona è malata, il test risulta positivo nel $95\%$ dei casi. Se la persona è sana,…
Un test medico per individuare una malattia ha le seguenti caratteristiche: se una persona è malata, il test risulta positivo nel $95\%$ dei casi. Se la persona è sana, il test risulta positivo (falso positivo) nel $3\%$ dei casi. Si sa che il $2\%$ della popolazione è affetto da questa malattia. Se si sceglie una persona a caso e le si fa il test, qual è la probabilità che il risultato sia positivo?