Esercizi: Proprietà dei radicali e razionalizzazione

Porta fuori dalla radice tutti i fattori possibili dei seguenti radicali:

1. a) $\sqrt{72}$
2. b) $\sqrt[3]{250}$

Porta i fattori interi dentro il radicale e semplifica, se possibile:

1. a) $3 \sqrt{5}$
2. b) $2 \sqrt[4]{3}$

Semplifica i seguenti radicali dividendo l'indice e l'esponente per il loro massimo comune divisore:

1. a) $\sqrt[6]{27}$
2. b) $\sqrt[8]{16}$

Esegui le seguenti moltiplicazioni di radicali con lo stesso indice e porta fuori i fattori, se possibile:

1. a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$
2. b) $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{10}$

Esegui le seguenti addizioni e sottrazioni di radicali simili:

1. a) $5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}$
2. b) $\frac{1}{2}\sqrt{7} + \frac{3}{2}\sqrt{7} - \sqrt{7}$

Razionalizza il denominatore delle seguenti frazioni e semplifica il risultato:

1. a) $\frac{6}{\sqrt{3}}$
2. b) $\frac{10}{\sqrt{5}}$

Razionalizza le seguenti espressioni moltiplicando per il coniugato del denominatore:

1. a) $\frac{4}{\sqrt{5}-1}$
2. b) $\frac{2}{\sqrt{3}+1}$

Esprimi come un unico radicale e semplifica il risultato:

1. a) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$
2. b) $\left(\sqrt[3]{\sqrt{2}}\right)^6$

Lucia deve razionalizzare la frazione $\frac{6}{\sqrt[3]{2}}$ in un compito in classe. Sul quaderno esegue il seguente calcolo:

Vedendo che il denominatore contiene ancora una radice, aggiunge il seguente commento: «Non si può razionalizzare perché moltiplicando per la stessa radice rimane sempre un altro radicale».

1. a) Individua l'errore concettuale che commette Lucia nella scelta del fattore moltiplicatore. Spiega perché il suo metodo funziona con le radici quadrate ma fallisce con le radici cubiche.
2. b) Basandoti sulle proprietà delle potenze, spiega quale esponente deve raggiungere il radicando sotto la radice cubica affinché il radicale si elimini e determina per quale espressione esatta avrebbe dovuto moltiplicare numeratore e denominatore.
3. c) Correggi l'esercizio eseguendo la razionalizzazione e semplifica al massimo la frazione ottenuta.

Considera l'espressione con radicali $E = \sqrt{75} - \sqrt{12}$.

1. a) Stima: senza ricorrere alla calcolatrice né portare fuori fattori, delimita $\sqrt{75}$ tra due numeri interi consecutivi individuando i quadrati perfetti che lo circondano. Fai lo stesso con $\sqrt{12}$. Con queste due delimitazioni, stima in modo motivato tra quali due numeri interi deve trovarsi il valore di $E$.
2. b) Calcola: scomponi i radicandi $75$ e $12$ in fattori primi, porta fuori tutti i fattori possibili per esprimere entrambi i termini come radicali simili ed esegui la sottrazione, lasciando il risultato esatto nella forma $k\sqrt{3}$ con $k \in \mathbb{N}$.
3. c) Verifica: prendendo l'approssimazione $\sqrt{3} \approx 1,73$, trova il valore decimale del risultato ottenuto nel punto b) e valuta se la tua stima iniziale del punto a) era corretta e coerente.

Esegui la seguente operazione, portando prima fuori i fattori necessari affinché i radicali siano simili:

$3\sqrt{50} + 2\sqrt{18} - \sqrt{8}$

Riduci allo stesso indice ed esegui la seguente moltiplicazione e divisione di radicali:

$\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{3}}{\sqrt[6]{6}}$

Razionalizza le seguenti frazioni con radici di indice maggiore di 2:

1. a) $\frac{10}{\sqrt[5]{8}}$
2. b) $\frac{3}{\sqrt[4]{27}}$

Razionalizza il denominatore e semplifica al massimo la seguente espressione:

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

In una falegnameria si deve tagliare un pannello rettangolare le cui dimensioni esatte sono $\sqrt{12}$ dm di larghezza e $\sqrt{27}$ dm di lunghezza. Calcola l'area e il perimetro del pannello, esprimendo i risultati in forma esatta mediante radicali semplificati.

La velocità $v$ (in m/s) di un'onda che viaggia lungo una corda tesa si calcola con la formula $v = \sqrt{\frac{F}{\mu}}$, dove $F$ è la tensione in newton e $\mu$ la densità lineare in kg/m. Se una corda di chitarra è sottoposta a una tensione $F = 12$ N e ha una densità $\mu = 5$ kg/m, trova il valore esatto di $v$. Razionalizza il denominatore e porta fuori i fattori possibili.

Semplifica la seguente espressione portando i fattori dentro il radicale più interno ed esprimendola come un'unica radice:

$\sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{2}}$

Calcola la lunghezza esatta della diagonale principale $D$ di un cubo il cui spigolo misura $a = \sqrt{5}$ cm. Ricorda che la diagonale di un cubo si calcola come $D = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2}$. Esprimi il risultato nella forma più semplificata possibile.

In navigazione marittima, la distanza visiva massima teorica $d$ (in chilometri) alla quale si scorge la linea dell'orizzonte da un'altezza $h$ (in metri) sul livello del mare si modellizza mediante la formula fisica $d = \sqrt{12,8 \cdot h}$. Sulla costa sarda si valuta la portata visiva da due punti nei pressi di un faro: un sentiero costiero situato a $h_1 = 15\text{ m}$ sul mare e il belvedere del faro situato a $h_2 = 60\text{ m}$.

1. a) Sostituisci $h_1 = 15$ nella formula, calcola il prodotto $12,8 \cdot 15$, scomponi il risultato in fattori primi e porta fuori dalla radice tutti i fattori possibili per ottenere la distanza esatta $d_1$ sotto forma di radicale semplificato $a\sqrt{3}\text{ km}$ ($a \in \mathbb{N}$).
2. b) Esegui lo stesso procedimento per l'altezza del belvedere $h_2 = 60$ e ottieni la distanza esatta $d_2$ nella forma $b\sqrt{3}\text{ km}$ ($b \in \mathbb{N}$).
3. c) Determina il guadagno visivo esatto che comporta salire al belvedere calcolando la differenza $d_2 - d_1$. Opera con i radicali simili, esprimi il risultato finale come un unico termine radicale semplificato e valuta tale guadagno in chilometri usando l'approssimazione $\sqrt{3} \approx 1,73$.

Si vuole costruire una frazione irrazionale della forma $\frac{A}{\sqrt{m} - \sqrt{n}}$ che soddisfi contemporaneamente le seguenti condizioni:

1. I radicandi $m$ e $n$ sono numeri naturali minori di $10$, nessuno dei due è un quadrato perfetto e la loro differenza è $m - n = 2$.

2. Razionalizzando la frazione, moltiplicando per il coniugato del denominatore, e semplificando al massimo il risultato, si ottiene esattamente l'espressione $3\sqrt{5} + 3\sqrt{3}$.

1. a) Deduci in modo ragionato quali devono essere i numeri $m$ e $n$.
2. b) Imposta l'uguaglianza algebrica che nasce dal processo di razionalizzazione con i valori trovati e calcola il valore numerico esatto che deve avere il numeratore intero $A$.
3. c) Verifica la tua soluzione svolgendo passo dopo passo la razionalizzazione della frazione ottenuta. Poi spiega quale risultato si sarebbe ottenuto se la frazione di partenza avesse avuto segno positivo al denominatore: $\frac{A}{\sqrt{m} + \sqrt{n}}$.

Esegui la seguente operazione con frazioni irrazionali. Per farlo, razionalizza prima ciascuna frazione separatamente e poi esegui la sottrazione:

$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} - \frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

Nella grafica, le proporzioni basate sul numero aureo $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ sono considerate esteticamente perfette. Una tela ha la forma di un rettangolo aureo (il rapporto tra il lato maggiore e il lato minore è $\phi$). Se il lato minore della tela misura esattamente $\sqrt{5}-1$ metri, calcola la lunghezza esatta del lato maggiore. Semplifica al massimo il risultato.

Porta fuori dalla radice tutti i fattori possibili e semplifica l'espressione risultante:

$\sqrt[3]{\frac{81 x^4 y^7}{16 z^5}}$

La facciata di una capanna ha la forma di un triangolo isoscele. La base del triangolo misura $\sqrt{6}$ metri e i due lati uguali misurano $\sqrt{15}$ metri ciascuno. Calcola il valore esatto dell'altezza $h$ relativa alla base e l'area totale della facciata. Razionalizza i risultati se compaiono radici al denominatore.

Semplifica la seguente espressione con radicali doppi, esprimendo il risultato come un'unica radice:

$\sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{4 \cdot \sqrt{8}}}$

Razionalizza il denominatore della seguente frazione e semplifica al massimo svolgendo il numeratore:

$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

In fisica, la velocità $v$ di un oggetto si può ricavare dalla sua energia cinetica $E_c$ e dalla sua massa $m$ mediante la formula $v = \sqrt{\frac{2E_c}{m}}$. Se un prototipo di veicolo ha una massa di $m = \sqrt{3}$ kg e la sua energia cinetica è $E_c = 45$ J, calcola il valore esatto della sua velocità. Razionalizza e porta fuori dalla radice i fattori possibili della radice ottenuta.

Dimostra, svolgendo i prodotti notevoli e semplificando, che il risultato della seguente espressione è un numero intero:

$(\sqrt{7} - \sqrt{3})^2 + (\sqrt{7} + \sqrt{3})^2$

Per calcolare il valore esatto della seguente operazione con frazioni irrazionali:

in classe si propongono due strategie diverse:

• Metodo 1 (Razionalizzazione preliminare): razionalizzare ogni termine separatamente (usando il binomio coniugato nella prima frazione e completando la potenza nella seconda), semplificare le frazioni ottenute ed eseguire la sottrazione alla fine.

• Metodo 2 (Denominatore comune diretto): ridurre prima entrambe le frazioni a un denominatore comune moltiplicando tra loro i denominatori, svolgere il numeratore risultante e razionalizzare la frazione finale se necessario.

1. a) Svolgi completamente la risoluzione seguendo il Metodo 1 mostrando tutte le semplificazioni intermedie.
2. b) Svolgi completamente la risoluzione seguendo il Metodo 2, prestando attenzione ai prodotti e ai segni al numeratore.
3. c) Confronta i due percorsi: analizza la grandezza dei numeri che compaiono nei passaggi intermedi, la complessità dei prodotti notevoli e il rischio di errori di calcolo. Giustifica con criterio matematico quale dei due metodi è nettamente più vantaggioso e generalizzabile.

Una squadra di topografia calcola la quota verticale di progetto $h$ (in metri) di una struttura mediante l'espressione:

dove $a$ e $b$ sono numeri naturali primi tra loro con $a > b$, e $k \in \mathbb{N}$.

1. a) Problema inverso: razionalizzando e semplificando completamente l'espressione di $h$, la relazione topografica conclude che $h = 2\sqrt{7} - 2\sqrt{3}\text{ m}$. Ricostruisci in modo ragionato e univoco i valori di $a$, $b$ e $k$. Giustifica perché non sono possibili altri valori naturali che soddisfino le condizioni iniziali.
2. b) Operazioni con i radicali: per raggiungere la quota di sicurezza si aggiunge un supplemento di altezza pari a $\sqrt{12}\text{ m}$. Esegui la somma $h + \sqrt{12}$ portando fuori dalla radice e raggruppando i radicali simili, e poi porta il fattore risultante dentro la radice per esprimere l'altezza finale come un'unica radice della forma $\sqrt{N}$ ($N \in \mathbb{N}$).
3. c) Errore altrui: un operaio afferma che, poiché $h = \sqrt{28} - \sqrt{12}$, l'altezza iniziale è $h = \sqrt{28 - 12} = \sqrt{16} = 4\text{ m}$. Spiega in dettaglio l'errore concettuale commesso, dimostra mediante lo sviluppo algebrico di $(\sqrt{28} - \sqrt{12})^2$ perché il suo risultato è falso e indica il valore reale approssimato di $h$ con una cifra decimale sapendo che $\sqrt{7} \approx 2,65$ e $\sqrt{3} \approx 1,73$.