Esercizi: Operazioni con i polinomi

Calcola il valore numerico del polinomio $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3x + 4$ per $x = -2$ e per $x = 1$.

Dati i polinomi $A(x) = 3x^2 - 5x + 1$ e $B(x) = -x^2 + 4x - 6$, calcola l'espressione risultante dell'operazione $2 \cdot A(x) - B(x)$.

Moltiplica i polinomi $P(x) = x^2 - 3x + 2$ e $Q(x) = 2x - 5$. Esprimi il risultato ordinato dal grado maggiore al minore.

Esegui la divisione del polinomio $D(x) = 4x^4 - 2x^3 + 6x^2 - x + 5$ per il binomio $d(x) = x^2 + 2$. Indica chiaramente qual è il polinomio quoziente $C(x)$ e il polinomio resto $R(x)$.

Applica la regola di Ruffini per dividere il polinomio $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ per $(x - 2)$. Scrivi il quoziente e il resto ottenuti.

Sviluppa le seguenti espressioni applicando i prodotti notevoli corrispondenti:

1. a) $(3x + 4)^2$
2. b) $(2x - 5)^2$

Esprimi i seguenti binomi come prodotto di due fattori utilizzando il prodotto notevole di somma per differenza:

1. a) $16x^2 - 25$
2. b) $9x^4 - 49$

Esegui le operazioni e semplifica al massimo la seguente espressione algebrica: $(x + 3)(x - 3) - (x - 2)^2$.

In una verifica di primo biennio, Marco deve semplificare l'espressione algebrica $A(x) = (3x - 2)^2 - (3x + 2)(3x - 2)$. Sul foglio delle risposte scrive quanto segue:

$A(x) = 9x^2 - 4 - (9x^2 - 4) = 9x^2 - 4 - 9x^2 - 4 = -8$.

1. a) Individua e spiega in dettaglio i due errori concettuali commessi da Marco (uno nello sviluppo del quadrato di un binomio differenza e l'altro nell'uso dei segni nell'eliminazione della parentesi).
2. b) Esegui lo sviluppo corretto utilizzando passo dopo passo i prodotti notevoli e calcola il valore numerico del polinomio ottenuto per $x = -1$.

Devi calcolare il prodotto dei polinomi $P(x) = 2x^2 - 5$ e $Q(x) = 3x^3 + 4x - 1$.

1. a) Prima di eseguire le moltiplicazioni termine a termine, stima in modo motivato:

• Qual è il grado del polinomio risultante $P(x)\cdot Q(x)$?

• Quali sono il suo coefficiente principale e il suo termine noto? Giustifica come puoi dedurre questi due valori in pochi secondi senza svolgere tutta l'operazione.

1. b) Esegui il prodotto completo, riduci i termini simili e verifica se la tua stima iniziale era esatta.
2. c) Valuta la ragionevolezza del risultato finale calcolando numericamente $P(1)$, $Q(1)$ e il valore per $x = 1$ del polinomio prodotto ottenuto, verificando che l'uguaglianza dei risultati sia soddisfatta.

Un giardino rettangolare ha dimensioni di $(2x + 5)$ metri di lunghezza e $(2x - 5)$ metri di larghezza. Al suo interno verrà costruita una fontana quadrata di lato $(x - 1)$ metri, e il resto sarà ricoperto di prato. Esprimi l'area della zona a prato come polinomio semplificato in $x$.

Si vuole costruire una scatola di cartone senza coperchio a partire da un foglio rettangolare di $30 \text{ cm}$ di lunghezza per $20 \text{ cm}$ di larghezza. Per farlo, si ritagliano quattro quadrati identici di lato $x \text{ cm}$ in ciascuno degli angoli e si piegano le alette verso l'alto. Trova il polinomio $V(x)$ che esprime il volume della scatola risultante in funzione di $x$.

Calcola il valore del parametro $k$ affinché la divisione del polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 5x - 4$ per il binomio $(x + 2)$ abbia resto uguale a $10$. Utilizza il teorema del resto per giustificare la risposta.

Esegui le operazioni e semplifica al massimo la seguente espressione algebrica, prestando particolare attenzione ai segni e ai prodotti notevoli:

$3(x - 2)^2 - 2(x + 1)(x - 1) + (x + 3)^2$

Il costo di produzione di $x$ unità di un dispositivo elettronico è dato dal polinomio $C(x) = 50x + 200$. Il prezzo di vendita al pubblico di ciascuna unità dipende dalla quantità prodotta e segue l'espressione $p(x) = 300 - 2x$.

Trova il polinomio guadagno $B(x)$, sapendo che il guadagno è uguale ai ricavi totali (quantità per prezzo) meno i costi totali. Qual è il guadagno se si producono e vendono $40$ unità?

Sapendo che dividendo un polinomio $P(x)$ per $(x - 3)$ si ottiene come quoziente $C(x) = 4x^2 - 2x + 1$ e come resto $R = -7$, ricostruisci il polinomio $P(x)$ ed esprimilo in forma sviluppata.

L'altezza in metri di una palla lanciata verticalmente in funzione del tempo in secondi è data dal polinomio $H(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Una seconda palla, lanciata da un altro punto, segue una traiettoria descritta da $G(t) = -5t^2 + 15t + 10$.

Trova il polinomio $D(t)$ che rappresenta la differenza di altezza tra la prima e la seconda palla ($D(t) = H(t) - G(t)$). In quale istante $t$ le due palle si trovano alla stessa altezza?

Verifica se il polinomio $P(x) = x^4 - 5x^3 + 7x^2 - 5x + 6$ è divisibile per il binomio $(x^2 + 1)$ eseguendo la divisione corrispondente. In caso affermativo, scrivi la scomposizione in fattori di $P(x)$ come prodotto di due polinomi.

Si vuole trovare il resto della divisione del polinomio $P(x) = 4x^{20} - 3x^7 + 5x - 2$ per $(x + 1)$ e stabilire se $(x + 1)$ è un fattore di $P(x)$. Tre membri di un gruppo di lavoro propongono strade diverse:

• Andrea dice: «Facciamo la tradizionale divisione lunga tra polinomi».

• Bea dice: «Applichiamo la regola di Ruffini disegnando la tabella con i coefficienti».

• Carlo dice: «Usiamo direttamente il teorema del resto sostituendo $x = -1$».

1. a) Confronta i tre metodi spiegando perché le proposte di Andrea e Bea risultano estremamente inefficienti e soggette a errori di calcolo in questo esercizio specifico.
2. b) Giustifica qual è il metodo più adatto e applicalo per trovare il resto della divisione.
3. c) Alla luce del valore ottenuto, concludi in modo motivato se il polinomio $P(x)$ è divisibile per $(x + 1)$ e quale significato geometrico o algebrico ha questo fatto rispetto alla radice $x = -1$.

Un'azienda di spedizioni urgenti con sede in un centro logistico di Bologna progetta scatole di cartone rinforzato per spedizioni ecologiche. Le misure interne di ciascuna scatola (in decimetri) sono: lunghezza $(2x + 1)$, larghezza $(x + 3)$ e altezza $(x - 1)$, con $x > 1$.

1. a) Modella mediante un polinomio sviluppato e ordinato $V(x)$ il volume interno totale della scatola in $\text{dm}^3$.
2. b) Per sigillare il pacco si applica un nastro continuo lungo il contorno orizzontale (perimetro della base, formato da lunghezza e larghezza) e un altro lungo il contorno verticale trasversale (perimetro formato da larghezza e altezza). Esprimi mediante un polinomio ridotto $L(x)$ la lunghezza totale di nastro necessaria (senza sovrapposizioni).
3. c) Se le specifiche di progetto fissano $x = 5\text{ dm}$, calcola il volume in litri ($1\text{ dm}^3 = 1\text{ litro}$) e la lunghezza del nastro in centimetri. Verifica se il pacco rispetta la normativa standard dei corrieri in Italia, che richiede che la somma delle sue tre dimensioni non superi i $25\text{ dm}$.

Trova i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché il polinomio $P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 6$ sia esattamente divisibile per $(x - 2)$ e, allo stesso tempo, dia resto $-12$ se diviso per $(x + 1)$.

Una pista di atletica è formata da una regione rettangolare centrale di lunghezza $3x$ e larghezza $2x$, completata da due semicerchi alle estremità di diametro $2x$. Esprimi l'area totale e il perimetro esterno della pista come polinomi dipendenti da $x$ (lascia indicato il numero $\pi$ nei coefficienti).

Dimostra algebricamente che, per qualsiasi numero reale $x > 1$, le espressioni $a = x^2 - 1$, $b = 2x$ e $c = x^2 + 1$ formano sempre i lati di un triangolo rettangolo (cioè soddisfano il teorema di Pitagora). Verifica il risultato valutando i polinomi per $x = 4$.

Una startup stima che i suoi ricavi mensili seguano il polinomio $I(x) = -2x^3 + 75x^2$ e che i suoi costi di gestione siano $C(x) = 15x^2 + 400x$, dove $x$ è il numero di mesi trascorsi dalla sua nascita.

Trova il polinomio del guadagno $B(x)$. Sapendo che nel mese $x = 10$ il guadagno è esattamente zero (punto di pareggio), scomponi in fattori il polinomio $B(x)$ per determinare in quale altro mese il guadagno torna a essere zero.

Esegui le operazioni e semplifica la seguente espressione algebrica, scomponendo in fattori il risultato finale se possibile:

$\frac{(2x - y)^3 - (2x + y)^3}{-2y}$

Successivamente, calcola il valore del polinomio ottenuto per $x = 2$ e $y = -1$.

Determina i valori dei coefficienti $m$ e $n$ affinché la divisione del polinomio $D(x) = 4x^4 - 2x^3 + mx^2 + nx - 5$ per il divisore $d(x) = 2x^2 - x + 3$ sia esatta.

Un serbatoio d'acqua ha forma cilindrica con raggio di base di $(x + 2)$ metri e altezza di $(2x - 1)$ metri. Al suo interno viene immerso un blocco cubico pieno di spigolo $x$ metri. Esprimi mediante un polinomio ordinato il volume d'acqua necessario per riempire lo spazio libero del serbatoio. Lascia indicata la costante $\pi$ nei coefficienti che la richiedono.

Un polinomio $P(x)$ di grado 3 ha come radici $x = 1$, $x = -2$ e $x = 4$. Sapendo inoltre che il valore numerico del polinomio per $x = 0$ è uguale a $16$, trova l'espressione sviluppata di $P(x)$ (cioè nella forma $ax^3 + bx^2 + cx + d$).

Un polinomio $P(x)$ di terzo grado ha come coefficiente direttivo $3$. Si conoscono i seguenti dati sulle sue divisioni:

• È divisibile esattamente per $(x - 2)$ e per $(x + 1)$.

• Dividendo $P(x)$ per $(x - 1)$, il resto ottenuto è $12$.

1. a) Utilizzando il teorema del resto e la relazione fondamentale tra divisori, fattori e radici, imposta la struttura fattorizzata di $P(x)$ in funzione di una sola radice incognita $c$, giustificando perché non è necessario impostare un sistema di quattro equazioni lineari in quattro incognite.
2. b) Determina il valore esatto della radice $c$ a partire dal resto della divisione per $(x - 1)$.
3. c) Scrivi l'espressione sviluppata di $P(x)$ nella forma $ax^3 + bx^2 + cx + d$ e, applicando la regola di Ruffini, calcola il resto della divisione di tale polinomio per $(x + 2)$, verificando che coincide con il valore numerico $P(-2)$.

In un consorzio di irrigazione della Puglia viene installato un sistema automatizzato di pompaggio solare. Il costo di manutenzione annuo (in euro) è modellizzato dal polinomio $C(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 8$, dove $x$ rappresenta il numero di settori di pompaggio attivi ($x \ge 2$). Tale costo viene ripartito in parti uguali tra i settori di irrigazione, il cui numero è dato da $S(x) = x - 2$.

1. a) Utilizza la regola di Ruffini per calcolare il polinomio $Q(x)$ che rappresenta il costo annuo per settore e il costo residuo $R$ che rimane nel fondo di riserva comune senza essere assegnato. Ricorda di completare tutti i gradi nella tabella e scrivi la relazione $C(x) = S(x)\cdot Q(x) + R$.
2. b) Un agricoltore afferma che, se la rete viene ampliata a più settori (facendo crescere il valore di $x$), l'importo del fondo di riserva $R$ aumenterà perché l'impianto è più grande. Confuta la sua affermazione in modo motivato utilizzando la definizione formale dell'algoritmo della divisione e il teorema del resto, spiegando quale grado deve necessariamente avere $R(x)$.
3. c) Il consorzio riceve un contributo del Piano di ammodernamento degli impianti irrigui che riduce il costo totale secondo l'espressione $A(x) = x^4 - (x^2 - 1)^2$. Semplifica algebricamente il polinomio del contributo $A(x)$ mediante i prodotti notevoli e deduci il nuovo resto residuo non ripartito $R_{\text{nuovo}}$ dopo aver applicato l'aiuto, giustificando il calcolo mediante il teorema del resto senza ripetere l'intera tabella di Ruffini.