Esercizi: Espressioni algebriche

Individua il coefficiente, la parte letterale e il grado del seguente monomio: $M(x,y) = -\frac{2}{3}x^4y^2$.

Calcola il valore numerico del polinomio $P(x) = 3x^2 - 5x + 2$ per $x = -2$.

Esprimi in linguaggio algebrico il seguente enunciato: "Il cubo di un numero meno il quadrato di un altro numero diverso".

Indica quali delle seguenti espressioni algebriche sono polinomi e giustifica la risposta:

• $A(x) = 3x^2 - \frac{5}{x}$

• $B(x) = \sqrt{2}x^3 - x$

• $C(x) = 4x^{1/2} + 1$

Esegui la seguente somma algebrica di monomi simili e semplifica il risultato: $3x^2y - 5x^2y + 8x^2y$.

Esegui la moltiplicazione dei seguenti monomi: $(-3a^2b^3) \cdot (4ab^4)$.

Determina il valore di $k$ affinché il valore numerico del polinomio $P(x) = 2x^3 - kx + 4$ in $x = 1$ sia uguale a $5$.

Scrivi l'espressione algebrica che rappresenta il perimetro di un rettangolo la cui base misura $3x$ e la cui altezza misura $x + 2$.

Marco deve semplificare in un compito in classe l'espressione algebrica $E(x, y) = 4x^3y^2 + 2x^3y^2 - 3x \cdot (2x^2y^2)$. Sul foglio scrive il seguente svolgimento:

Passaggio 1: $4x^3y^2 + 2x^3y^2 = 6x^6y^4$.

Passaggio 2: $3x \cdot (2x^2y^2) = 6x^2y^2$.

Passaggio 3: $6x^6y^4 - 6x^2y^2 = 0x^4y^2 = 0$.

1. a) Individua e spiega in modo motivato gli errori concettuali che commette Marco in ciascuno dei tre passaggi, indicando quali proprietà delle operazioni con i monomi ha violato.
2. b) Esegui la semplificazione corretta passo dopo passo, indica se il risultato ottenuto è un monomio o un polinomio e determina il suo grado complessivo.

Si vuole determinare la formula di un monomio in due variabili della forma $M(x, y) = c \cdot x^{a+2} y^{3a-1}$, dove $c$ è un numero reale e $a$ è un numero naturale.

1. a) Sapendo che il grado complessivo del monomio è $9$, imposta un'equazione di primo grado nell'incognita $a$ e trova il suo valore.
2. b) Con il valore di $a$ trovato, calcola il coefficiente $c$ sapendo che il valore numerico del monomio per $x = -1$ e $y = 2$ è uguale a $-64$.
3. c) Se mantieni il valore di $y = 2$ ma triplichi il valore di $x$ rendendolo $x = -3$, spiega per quale fattore risulta moltiplicato il risultato finale senza dover ricalcolare tutte le potenze dall'inizio.

Un negozio di abbigliamento offre uno sconto del $20\%$ su tutti i suoi articoli. Se compri $x$ camicie che originariamente costano $25$ euro ciascuna e $y$ pantaloni che costano $40$ euro ciascuno, scrivi l'espressione algebrica del costo totale dell'acquisto. Calcola il costo se compri $3$ camicie e $2$ pantaloni.

L'energia cinetica di un corpo in movimento è data dall'espressione $E_c = \frac{1}{2}mv^2$, dove $m$ è la massa in chilogrammi e $v$ la velocità in metri al secondo. Calcola l'energia cinetica di un veicolo di $800$ kg che viaggia a $20$ m/s.

La figura mostra un quadrato di lato $2x$ che contiene al suo interno un cerchio di raggio $x$. Scrivi l'espressione algebrica che rappresenta l'area della regione colorata (la parte del quadrato esterna al cerchio).

Calcola il valore numerico dell'espressione algebrica $P(x,y) = \frac{x^2 - 2xy + y^2}{x - y}$ per $x = \frac{1}{2}$ e $y = -\frac{3}{2}$. Suggerimento: semplifica l'espressione prima di sostituire i valori.

Una compagnia telefonica applica un canone fisso mensile di $15$ euro, più $0,12$ euro per ogni minuto di chiamata $m$ e $0,05$ euro per ogni megabyte consumato $d$. Scrivi l'espressione algebrica della fattura mensile e calcola il suo importo per un mese in cui sono stati consumati $100$ minuti e $500$ megabyte.

Trova i valori dei parametri $a$ e $b$ nel polinomio $P(x) = ax^2 + bx - 5$ sapendo che il suo valore numerico per $x = 1$ è $-2$ e per $x = -1$ è $-4$.

Un serbatoio cilindrico ha raggio di base $r = x$ e altezza $h = 3x$. Scrivi le espressioni algebriche che rappresentano il suo volume e la sua area laterale in funzione di $x$.

Esegui la seguente divisione di monomi e indica il coefficiente, la parte letterale e il grado del monomio risultante: $\frac{-24x^5y^4z}{6x^2y^3}$.

Una cooperativa di corrieri sostenibili in bicicletta di Napoli offre alle piccole imprese una tariffa mensile composta da una quota fissa di $35$ euro, più $2,40$ euro per ogni consegna standard (meno di $3$ kg) e $4,50$ euro per ogni consegna urgente o voluminosa. Inoltre, per incentivare il commercio di prossimità, se in un mese vengono effettuate più di $80$ consegne in totale, si applica uno sconto del $15\%$ esclusivamente sul costo delle spedizioni (la quota fissa non viene ridotta).

1. a) Definisci le due variabili coinvolte e scrivi il polinomio che esprime il costo mensile $C_1(x, y)$ di un'impresa che non supera le $80$ consegne totali. Indica qual è il termine noto e spiega il suo significato pratico.
2. b) Scrivi il polinomio semplificato $C_2(x, y)$ che rappresenta il costo mensile se l'impresa supera le $80$ consegne nel mese.
3. c) Una libreria del centro ha effettuato il mese scorso $50$ consegne standard e $40$ consegne urgenti. Giustifica quale formula devi applicare, calcola l'importo totale della fattura e interpreta quale percentuale della spesa totale è stata dovuta alla quota fissa.

In un centro di controllo ambientale del Piemonte si modellizza la concentrazione di un inquinante nell'aria (in $\mu\text{g}/\text{m}^3$) durante una giornata di $8$ ore mediante il polinomio $C(t) = -0,25 t^3 + 2,4 t^2 - 3,5 t + 18$, dove $t$ rappresenta il tempo in ore trascorso dalle 08:00 ($0 \leq t \leq 8$). Si vuole conoscere la concentrazione alle 12:00 ($t = 4$).

1. a) Prima di operare con esattezza, fai una stima arrotondando all'intero più vicino i coefficienti decimali (in caso di pareggio, come per $-3,5$, arrotonda a $-4$) e calcola mentalmente se il valore di $C(4)$ sarà superiore o inferiore alla concentrazione iniziale $C(0) = 18\,\mu\text{g}/\text{m}^3$. Giustifica la tua previsione.
2. b) Calcola il valore numerico esatto di $C(4)$ rispettando la priorità delle operazioni e la regola dei segni.
3. c) Determina l'errore assoluto commesso nella tua stima ($|\text{valore esatto} - \text{valore stimato}|$) e spiega, in base ai segni dei monomi del polinomio, quali termini hanno fatto aumentare l'inquinante e quale ne ha frenato la crescita.

Si vuole costruire una scatola senza coperchio a partire da un foglio di cartone rettangolare di $40$ cm di lunghezza per $30$ cm di larghezza. Per farlo, si ritagliano quadrati di lato $x$ in ciascuno dei quattro angoli e si piegano le alette verso l'alto. Scrivi l'espressione algebrica del volume della scatola in funzione di $x$ e calcola tale volume se $x = 5$ cm.

Dimostra algebricamente che la differenza tra i quadrati di due numeri dispari consecutivi è sempre un multiplo di $8$. (Ricorda che un numero dispari si può esprimere nella forma $2n+1$).

Data l'espressione algebrica $E(a,b) = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}$, semplificala al massimo eseguendo la divisione e usa il risultato per calcolare mentalmente il suo valore numerico quando $a = 4,5$ e $b = 1,5$.

In un circuito elettrico, la resistenza equivalente $R_{eq}$ di tre resistenze $R_1$, $R_2$ e $R_3$ collegate in parallelo si ottiene dalla formula $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$. Ricava $R_{eq}$ e scrivi la sua espressione algebrica come un'unica frazione in funzione di $R_1$, $R_2$ e $R_3$.

Un giardino rettangolare ha dimensioni di $a$ metri di lunghezza per $b$ metri di larghezza. Si costruiscono due viali perpendicolari di larghezza $x$ paralleli ai lati del giardino, a formare una croce. Scrivi l'espressione algebrica scomposta in fattori dell'area della zona verde rimanente.

Due agenzie di noleggio auto offrono tariffe diverse. L'agenzia A applica una quota fissa di $30$ euro più $0,20$ euro per ogni chilometro percorso. L'agenzia B applica $50$ euro fissi più $0,15$ euro per chilometro. Scrivi l'espressione algebrica che rappresenta la differenza di costo tra l'agenzia A e l'agenzia B per un tragitto di $k$ chilometri e determina per quanti chilometri il costo è esattamente lo stesso.

Scrivi l'espressione algebrica che fornisce la somma dei primi $n$ multipli interi positivi di $3$, sapendo che la somma dei primi $n$ numeri naturali è $\frac{n(n+1)}{2}$. Usa tale espressione per calcolare la somma dei primi $50$ multipli di $3$.

Un agricoltore dispone di $L$ metri di recinzione per recintare un terreno rettangolare adiacente a un fiume rettilineo. Poiché il fiume funge da barriera naturale, non ha bisogno di recinzione su quel lato. Se chiamiamo $x$ la larghezza del terreno (la dimensione perpendicolare al fiume), scrivi l'espressione algebrica dell'area del recinto in funzione di $L$ e $x$. Qual è l'area se dispone di $100$ metri di recinzione e la larghezza è di $20$ metri?

Si vuole calcolare il valore numerico dell'espressione algebrica razionale $E(x, y) = \dfrac{20x^5y^3 - 8x^3y^5 + 16x^4y^4}{4x^2y^2}$ per i valori $x = 2,5$ e $y = -2$. Per risolverlo, due studenti propongono strade diverse:

• Metodo di Sergio: sostituire direttamente i valori $x = 2,5$ e $y = -2$ nel numeratore e nel denominatore, calcolare le potenze di esponente $5$, $4$ e $3$, eseguire le moltiplicazioni e le somme, e infine dividere il numeratore ottenuto per il denominatore.

• Metodo di Alba: dividere prima ogni termine del numeratore per il monomio del denominatore applicando le regole della divisione tra monomi per ottenere un polinomio semplificato, e sostituire i valori numerici soltanto nell'espressione risultante.

1. a) Sviluppa per intero il metodo di Alba fino a ottenere il polinomio ridotto e calcola il suo valore numerico per i valori indicati.
2. b) Analizza il numero di operazioni con potenze di esponente alto e di moltiplicazioni decimali che richiede il metodo di Sergio rispetto a quello di Alba. Giustifica in modo critico quale dei due metodi è più conveniente in una prova senza calcolatrice per ridurre al minimo il tempo e il rischio di errore.
3. c) Il metodo di Alba sarebbe valido se i valori assegnati fossero $x = 0$ o $y = 0$? Motiva la risposta basandoti sulla definizione dell'espressione originale.

Siano $P(x)$ e $Q(x)$ due polinomi non nulli in una variabile, con gradi rispettivi $\operatorname{gr}(P) = m$ e $\operatorname{gr}(Q) = n$, tali che $m > n \geq 1$.

1. a) Si formano i polinomi $A(x) = [P(x)]^2 \cdot Q(x)$ e $B(x) = P(x) \cdot [Q(x)]^2$. Sapendo che il grado di $A(x)$ è $11$ e il grado di $B(x)$ è $10$, imposta un sistema di due equazioni lineari nelle incognite $m$ e $n$ a partire dalle proprietà del grado del prodotto e della potenza di polinomi, e deduci i gradi originali di $P(x)$ e $Q(x)$.
2. b) Considera il polinomio $C(x) = P(x) - k \cdot x^{m-n} \cdot Q(x)$, dove $k$ è una costante reale diversa da zero. Si può sempre affermare che il grado di $C(x)$ è uguale a $m$? Giustifica teoricamente la risposta e fornisci un controesempio numerico concreto con polinomi semplici in cui $\operatorname{gr}(C) < m$, indicando quale condizione matematica precisa deve soddisfare $k$ rispetto ai coefficienti principali di $P(x)$ e $Q(x)$ affinché si verifichi tale riduzione di grado.