Esercizi: Congruenza e dimostrazioni

Distingui, tra le seguenti affermazioni, assiomi (postulati) e teoremi:

1. a) Per due punti distinti passa una e una sola retta.

1. b) La somma degli angoli interni di un triangolo è $180^\circ$.

1. c) Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono congruenti.

1. d) Per un punto esterno a una retta passa una sola parallela alla retta.

Due triangoli $ABC$ e $DEF$ hanno $AB = DE$, $AC = DF$ e $\hat{A} = \hat{D}$.

1. a) Quale criterio di congruenza si può applicare?

1. b) Che cosa si può concludere sui lati $BC$ e $EF$ e sugli angoli $\hat{B}$ e $\hat{E}$?

Individua, in ciascun caso, se i dati bastano per affermare la congruenza dei triangoli e indica il criterio:

1. a) tre lati rispettivamente congruenti

1. b) due lati e un angolo qualsiasi congruenti

1. c) un lato e i due angoli adiacenti ad esso congruenti

Sia $ABC$ un triangolo isoscele di base $BC$ e sia $M$ il punto medio di $BC$.

Ipotesi: $AB = AC$, $BM = MC$. Tesi: $AM$ è bisettrice di $\hat{A}$ e altezza relativa a $BC$.

Scrivi la dimostrazione, indicando i criteri usati.

Un triangolo rettangolo ha i cateti di 9 m e 12 m.

1. a) Calcola ipotenusa, perimetro e area.

1. b) Calcola l'altezza relativa all'ipotenusa.

1. c) Calcola le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa e verifica il primo teorema di Euclide.

Un parallelogramma $ABCD$ ha diagonali che si intersecano in $O$.

Dimostra che $AO = OC$ e $BO = OD$, usando la congruenza dei triangoli $AOB$ e $COD$ e le proprietà delle rette parallele.

Sia $ABC$ un triangolo con $AB = AC$. Sui lati $AB$ e $AC$ si prendono i punti $D$ e $E$ tali che $AD = AE$. Le rette $BE$ e $CD$ si incontrano in $P$.

1. a) Dimostra che $BE = CD$.

1. b) Dimostra che il triangolo $PBC$ è isoscele.

1. c) Dimostra che $AP$ è bisettrice dell'angolo $\hat{A}$.

In un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa misura 12 cm e una delle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa misura 9 cm.

1. a) Calcola l'altra proiezione, l'ipotenusa e i due cateti.

1. b) Calcola area e perimetro.

1. c) Dimostra, con il secondo teorema di Euclide, che l'altezza è media proporzionale tra le proiezioni.

Un trapezio isoscele ha basi di 20 cm e 8 cm e lati obliqui di 10 cm.

1. a) Calcola l'altezza e l'area.

1. b) Dimostra che le diagonali sono congruenti.

1. c) Calcola la lunghezza di una diagonale.