Esercizi: Punto medio di un segmento

Calcola le coordinate del punto medio del segmento i cui estremi sono i punti $A(2, 4)$ e $B(6, 10)$.

Il punto medio del segmento $AB$ è $M(3, 5)$. Se l'estremo $A$ ha coordinate $(1, 2)$, trova le coordinate dell'estremo $B$.

Determina le coordinate del punto medio del segmento i cui estremi sono i punti $P(-4, -6)$ e $Q(2, -8)$.

Trova il punto simmetrico di $A(5, -3)$ rispetto all'origine delle coordinate $O(0,0)$.

Calcola il punto medio del segmento che unisce i punti $C\left(\frac{1}{2}, 3\right)$ e $D\left(\frac{3}{2}, -1\right)$.

Verifica analiticamente se il punto $M(-1, 2)$ è il punto medio del segmento di estremi $E(-4, 5)$ e $F(2, -1)$.

I punti $A(0, 4)$ e $B(4, 0)$ formano un segmento nel piano cartesiano. Calcola le coordinate del suo punto medio.

Dato il segmento di estremi $G(-3, 7)$ e $H(-3, -1)$, trova il suo punto medio e indica su quale asse o retta parallela agli assi si trova tale segmento.

Marco deve calcolare il punto medio del segmento che unisce i punti $A(-4, 7)$ e $B(2, -1)$. Sul suo quaderno scrive quanto segue:

Individua l'errore concettuale commesso da Marco, spiegando con quale altra formula o procedimento di geometria analitica si è confuso. Poi ragiona perché il suo risultato è visivamente impossibile in base alla posizione dei punti e calcola la soluzione corretta.

Considera il segmento di estremi $A(-9, 2)$ e $B(3, 10)$.

1. a) Prima di eseguire qualsiasi calcolo algebrico, stima con ragionamento in quale quadrante del piano cartesiano deve trovarsi il punto medio $M$ e prevedi il segno della sua ascissa e della sua ordinata, confrontando i valori assoluti degli estremi.
2. b) Applica la formula del punto medio per calcolare le coordinate esatte di $M$.
3. c) Verifica se il risultato ottenuto conferma la tua stima e giustifica perché l'ascissa di $M$ dista esattamente la stessa quantità da $-9$ e da $3$.

Una motovedetta di salvataggio naviga in linea retta dal punto $A(-15, 20)$ al punto $B(45, -10)$ (coordinate in metri). Se deve lasciare una boa di segnalazione esattamente a metà del suo percorso, in quali coordinate lo farà?

Gli estremi di un diametro di una circonferenza sono i punti $P(-3, 5)$ e $Q(7, -1)$. Calcola le coordinate del centro della circonferenza e la misura del suo raggio.

Due antenne di telefonia sono situate nelle coordinate $T_1(4,5; 8,2)$ e $T_2(-1,5; 3,4)$ su una mappa topografica in scala. Si vuole installare un ripetitore esattamente nel punto medio tra le due. Calcola le coordinate esatte in cui deve essere collocato il ripetitore.

Un raggio laser incide su una lente situata nel punto $L(2, 5)$. Se il punto di origine del laser è $O(-3, 1)$ e la lente agisce come punto di simmetria centrale, calcola le coordinate del punto $P$ in cui colpirà il laser dopo aver attraversato la lente, assumendo che mantenga la sua traiettoria rettilinea.

Dato il triangolo di vertici $A(-2, 1)$, $B(4, 5)$ e $C(2, -3)$, trova le coordinate del punto medio del lato $BC$ e, successivamente, calcola la lunghezza della mediana che parte dal vertice $A$.

Il punto medio del segmento $AB$ è $M(a, 3)$. Se conosciamo le coordinate degli estremi $A(-2, 5)$ e $B(6, b)$, imposta le equazioni corrispondenti e calcola i valori dei parametri $a$ e $b$.

In un programma di disegno al computer si traccia un segmento da $P_1(-4, -2)$ a $P_2(8, 6)$. Il progettista deve collocare tre punti sul segmento che lo dividano in quattro parti esattamente uguali. Calcola le coordinate del punto centrale di questi tre punti di divisione.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Verifica se il quadrilatero di vertici $A(-1, 2)$, $B(3, 4)$, $C(4, 0)$ e $D(0, -2)$ è un parallelogramma. Per farlo, calcola i punti medi delle sue due diagonali e verifica se coincidono.

Si vuole costruire un segmento rettilineo nel piano cartesiano in modo che il suo punto medio esatto sia $M(4, -3)$.

1. a) Determina le coordinate degli estremi $A$ e $B$ sapendo che il punto $A$ è situato obbligatoriamente sull'asse delle ascisse ($y = 0$) e il punto $B$ sull'asse delle ordinate ($x = 0$).
2. b) Imposta il sistema di equazioni corrispondente e giustifica con un ragionamento se questa coppia di punti $(A, B)$ è unica o se possono esistere altre soluzioni che soddisfino entrambe le condizioni.
3. c) Scrivi le coordinate di un'altra coppia distinta di estremi, $C$ e $D$, il cui punto medio sia ancora $M$, ma con la condizione che nessuno dei due appartenga agli assi coordinati.

Nel Parco Nazionale delle Alpi, il servizio di soccorso alpino deve installare un ripetitore di telecomunicazioni nel punto medio esatto della linea che unisce il Rifugio A, situato nelle coordinate $(12, 18)$, e il Rifugio B, situato in $(36, 6)$ (coordinate espresse in chilometri).

1. a) Modella la situazione nel piano e calcola le coordinate di posizione del ripetitore principale.
2. b) Per ragioni di sicurezza nel protocollo di collegamento, devono essere posizionate anche due segnalatori secondari: il segnalatore $S_1$ nel punto medio tra il Rifugio A e il ripetitore principale, e il segnalatore $S_2$ nel punto medio tra il ripetitore principale e il Rifugio B. Ottieni le coordinate di entrambi i segnalatori utilizzando la tecnica dei punti medi successivi.
3. c) Interpreta la suddivisione del percorso: in quante parti di uguale lunghezza è stato diviso il tratto originale tra i due rifugi?

Il progetto di un ponte strallato colloca gli ancoraggi di un cavo nei punti $A(2k, -4)$ e $B(6, k+2)$, dove $k$ è un parametro incognito. Il punto medio del cavo deve poggiare su un pilone verticale situato esattamente sull'asse delle ascisse (cioè la sua ordinata è $y=0$). Calcola il valore di $k$ e le coordinate esatte del punto di appoggio.

Tre vertici consecutivi di un terreno topografico a forma di parallelogramma sono $A(-3, -1)$, $B(2, -2)$ e $C(5, 2)$. Utilizzando la proprietà geometrica per cui le diagonali di un parallelogramma si incontrano nel loro punto medio, calcola le coordinate del quarto vertice $D$.

Il segmento $AB$ ha il punto medio in $M(4, 3)$. Sapendo che l'estremo $A$ si trova sull'asse delle ascisse (asse X) e l'estremo $B$ si trova sull'asse delle ordinate (asse Y), imposta le equazioni corrispondenti e determina le coordinate esatte di $A$ e di $B$.

Un braccio robotico sposta un pezzo in linea retta dal punto $P_1(-8, 4)$ a $P_2(2, -6)$, e fa una pausa nel punto medio $M_1$. Poi sposta il pezzo da $M_1$ a $P_3(10, 8)$, facendo una nuova pausa nel punto medio $M_2$ del segmento $M_1 P_3$. Calcola le coordinate esatte di $M_2$.

Due masse puntiformi uguali si spostano in modo tale che in un istante $t$ (in secondi) si trovano nelle posizioni $A(t, 2t-1)$ e $B(3t+2, -t+5)$. Trova l'espressione delle coordinate del centro di massa (punto medio $M$) in funzione del tempo. In quale istante $t$ il centro di massa attraversa l'asse delle ordinate ($x=0$)?

Si vuole dividere il segmento di estremi $A(-5, 1)$ e $B(7, 9)$ in quattro parti di uguale lunghezza utilizzando esclusivamente il calcolo dei punti medi. Descrivi il procedimento e calcola le coordinate dei tre punti che dividono tale segmento.

Dato il triangolo di vertici $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ e $C(2, 6)$, calcola i punti medi dei suoi tre lati ($M_1$, $M_2$, $M_3$). Poi dimostra analiticamente, calcolando le distanze, che il perimetro del triangolo formato dai punti medi è esattamente la metà del perimetro del triangolo originale.

Un segmento nel piano cartesiano ha per estremi i punti generici $A(a, b)$ e $B(b, a)$, con $a \neq b$. Dimostra algebricamente che il punto medio di tale segmento appartiene sempre alla retta bisettrice del primo e terzo quadrante (la cui equazione è $y = x$), indipendentemente dai valori numerici assunti da $a$ e $b$.

Sono noti tre vertici consecutivi di un terreno a forma di parallelogramma $ABCD$: $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ e $C(6, 9)$. Per trovare le coordinate del quarto vertice $D$, due disegnatori propongono strade diverse:

• Metodo 1: Usare l'equipollenza dei vettori uguagliando le componenti di $\vec{AB}$ e $\vec{DC}$.

• Metodo 2: Calcolare il punto medio della diagonale nota $AC$ e usare il fatto che deve coincidere con il punto medio dell'altra diagonale, $BD$.

1. a) Sviluppa completamente entrambi i metodi e verifica che portano allo stesso risultato numerico per $D$.
2. b) Se la mappa topografica richiedesse anche di trovare il centro di simmetria del terreno (il punto centrale in cui si incrociano le recinzioni diagonali), confronta l'efficienza dei due metodi e giustifica quale dei due fa risparmiare operazioni.
3. c) Se non fosse specificato che i vertici $A$, $B$ e $C$ sono consecutivi in ordine alfabetico, ragiona su quanti parallelogrammi distinti si potrebbero costruire con quegli stessi tre punti come vertici.

In un triangolo di vertici $A(-1, 3)$, $B(5, 7)$ e $C(3, -1)$:

1. a) Calcola le coordinate del punto medio $M$ del lato $BC$ e ottieni le componenti del vettore che va dal vertice $A$ a tale punto medio (segmento che definisce la mediana del triangolo).
2. b) Il baricentro $G$ di un triangolo è il punto che si trova su ciascuna mediana a due terzi della distanza dal vertice corrispondente al lato opposto, e soddisfa la relazione vettoriale $\vec{AG} = 2\cdot \vec{GM}$. Calcola le coordinate esatte di $G$ per questo triangolo e dimostra algebricamente che tali coordinate coincidono con la media aritmetica delle coordinate dei suoi tre vertici: $\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\ \frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$.
3. c) Se completiamo un parallelogramma che abbia come lati consecutivi i segmenti $AB$ e $AC$, ragiona senza calcolare distanze se il baricentro $G$ può coincidere con il punto di intersezione delle diagonali di tale parallelogramma.