Esercizi: Distanza tra due punti

Calcola la distanza esatta tra i punti $A(2, 3)$ e $B(5, 7)$ nel piano cartesiano.

Una barca si trova nelle coordinate $P(-4, 1)$ e un faro in $Q(2, -7)$. Se ogni unità del piano equivale a un chilometro, a quale distanza in linea retta si trova la barca dal faro?

Trova la lunghezza del segmento i cui estremi sono l'origine delle coordinate $O(0, 0)$ e il punto $M(-8, 6)$.

I vertici di un triangolo sono $A(1, 1)$, $B(4, 1)$ e $C(1, 5)$. Calcola il perimetro di questo triangolo sommando le lunghezze dei suoi tre lati.

Sullo schermo di un radar bidimensionale, due aerei si trovano nei punti $R(-3, -2)$ e $S(9, 3)$. Determina la distanza in linea retta tra i due nelle unità del radar.

Calcola la lunghezza della diagonale di un rettangolo sapendo che due suoi vertici opposti hanno coordinate $V_1(-1, 4)$ e $V_2(5, -4)$.

Verifica matematicamente se i segmenti $\overline{AB}$ e $\overline{CD}$ hanno esattamente la stessa lunghezza, essendo le coordinate dei punti $A(0, 2)$, $B(3, 6)$, $C(-2, -1)$ e $D(2, 2)$.

Un topografo segna due punti su un terreno pianeggiante: $T_1(12, 5)$ e $T_2(24, 10)$. Se le coordinate sono espresse in metri, quanti metri di cavo servono per collegarli in linea retta?

Marco vuole calcolare la distanza tra i punti $A(-1, 5)$ e $B(3, 2)$ in un piano cartesiano. Sul quaderno scrive il seguente svolgimento:

1. a) Indica con precisione l'errore concettuale e algebrico che commette Marco nell'ultimo passaggio e spiega perché la radice quadrata di una somma non è uguale alla somma delle radici.
2. b) Correggi il procedimento e calcola il valore numerico esatto della distanza euclidea tra $A$ e $B$.

Considera i punti $A(1, 2)$ e $B(7, 10)$ nel piano cartesiano.

1. a) Prima di applicare la formula della distanza, analizza gli spostamenti orizzontale ($\Delta x = |7 - 1| = 6$) e verticale ($\Delta y = |10 - 2| = 8$). Spiega perché il valore di $d(A,B)$ deve essere necessariamente maggiore di $8$ e minore di $14$, basandoti sulle proprietà geometriche dei cateti e dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo (disuguaglianza triangolare).
2. b) Calcola ora il valore analitico esatto di $d(A,B)$ e verifica se la tua stima e gli intervalli iniziali erano corretti.

La distanza tra i punti $A(1, 2)$ e $B(x, 5)$ è esattamente di $5$ unità. Trova i due possibili valori della coordinata $x$.

Un fattorino in bicicletta parte dal negozio situato in $O(0,0)$, va in linea retta fino alla prima consegna in $A(6, 8)$ e poi cambia direzione per dirigersi alla seconda consegna in $B(15, -4)$. Se ogni unità del piano rappresenta $100$ metri, qual è la distanza totale percorsa in chilometri?

Nella pianta di un edificio, tre colonne principali verranno collocate nelle coordinate $P(-2, 1)$, $Q(2, 4)$ e $R(5, 0)$. Dimostra matematicamente se il triangolo formato da queste tre colonne è isoscele.

Un'antenna per telecomunicazioni ha una portata circolare massima di $10\text{ km}$. Se l'antenna si trova nel punto $C(3, -2)$ di una mappa (dove $1$ unità di coordinata equivale a $1\text{ km}$), scopri se un utente che si trova nella posizione $U(-4, 5)$ è all'interno dell'area di copertura.

Trova le coordinate di tutti i punti situati sull'asse delle ascisse (asse X) che si trovano a distanza esattamente $10$ unità dal punto $M(-6, 8)$.

In uno schema di gioco provato di calcio, un giocatore situato in $J_1(10, 20)$ fa un passaggio rasoterra al compagno in $J_2(34, 27)$, che senza fermare il pallone tira direttamente verso il centro della porta in $P(50, 15)$. Calcola la distanza totale percorsa dal pallone. (Le coordinate sono date in metri).

Dimostra, calcolando le lunghezze dei tre lati e usando il teorema di Pitagora, che il triangolo di vertici $A(2, 1)$, $B(6, 1)$ e $C(2, 4)$ è un triangolo rettangolo.

La stazione a valle di una funivia è in $B(0, 0)$ e la cima della montagna in $C(120, 50)$ in un piano bidimensionale. Occorre installare una torre di sostegno esattamente nel punto medio del percorso rettilineo. Calcola le coordinate di tale punto medio e la distanza dalla stazione a valle alla torre.

Progetta le coordinate di tre punti distinti del piano cartesiano, $A$, $B$ e $C$, situati tutti nel primo quadrante e con coordinate intere non nulle, che soddisfino contemporaneamente le seguenti condizioni:

1. La distanza tra $A$ e $B$ deve essere esattamente $\sqrt{13}$ unità.

2. La distanza tra $B$ e $C$ deve essere esattamente $\sqrt{52}$ unità.

3. I tre punti devono essere allineati, verificando la relazione $d(A,B) + d(B,C) = d(A,C)$.

Spiega il ragionamento seguito per costruire le loro coordinate e dimostra analiticamente, calcolando la distanza $d(A,C)$, che i punti sono effettivamente allineati senza basarti su un disegno.

Il centro di coordinamento della Guardia Costiera di Messina monitora due imbarcazioni in emergenza nello Stretto. Sullo schermo del radar (dove ogni unità della griglia rappresenta $1\text{ miglio nautico}$), un peschereccio in avaria si trova nella posizione $P(2, 5)$ e una barca a vela in $V(8, -3)$. Una motovedetta veloce di soccorso si trova sulla costa nel punto $C(2, -1)$.

1. a) Se la motovedetta naviga in linea retta a velocità costante, determina quale delle due imbarcazioni soccorrerà per prima. Giustifica la tua conclusione calcolando le distanze esatte da $C$ a ciascuna di esse.
2. b) Un'imbarcazione di appoggio si trova nel punto intermedio $M(5, 1)$. Verifica numericamente, applicando la condizione metrica di allineamento dei punti, se tale imbarcazione si trova esattamente sulla rotta diretta che unisce il peschereccio $P$ con la barca a vela $V$.

Trova le coordinate di un punto $P$ situato sulla bisettrice del primo quadrante (la retta $y = x$) che sia equidistante dai punti fissi $A(2, 0)$ e $B(0, 4)$.

I punti $A(-1, 3)$, $B(4, 5)$ e $C(2, -2)$ sono tre vertici consecutivi di un parallelogramma $ABCD$. Trova le coordinate del quarto vertice $D$ e calcola la lunghezza esatta di entrambe le diagonali del parallelogramma.

In un simulatore di volo spaziale 3D, una nave si muove dalla coordinata $P_1(2, -1, 4)$ alla stazione orbitale in $P_2(5, 3, 16)$. Calcola la distanza in linea retta esatta percorsa dalla nave nello spazio.

Una tubatura rettilinea deve collegare un pozzo situato nel punto $A(-3, 2)$ con una pompa dell'acqua $P$ che deve obbligatoriamente essere installata sull'asse delle ordinate (asse Y). Se per vincoli di pressione la lunghezza della tubatura deve essere esattamente di $\sqrt{29}$ unità, trova le possibili coordinate per la pompa $P$.

I vertici di un terreno di forma triangolare sono $A(-4, -2)$, $B(2, 6)$ e $C(6, 3)$. Dimostra prima che il terreno forma un triangolo rettangolo e poi calcola il suo perimetro e la sua area esatta.

Un sistema di irrigazione automatizzato è composto da un irrigatore circolare con centro in $C(x, y)$ che deve innaffiare in modo uguale tre alberi situati nelle coordinate $T_1(0, 0)$, $T_2(6, 0)$ e $T_3(0, 8)$. Determina le coordinate in cui deve essere collocato l'irrigatore $C$ e quale sarà il suo raggio d'azione esatto.

Determina se i punti $A(-2, 1)$, $B(1, 3)$ e $C(7, 7)$ sono perfettamente allineati. Per farlo, calcola le distanze $d(A,B)$, $d(B,C)$ e $d(A,C)$, e verifica se vale l'uguaglianza $d(A,B) + d(B,C) = d(A,C)$.

Un'azienda di telecomunicazioni vuole installare un cavo in fibra ottica che colleghi due edifici $E_1(0, 0)$ e $E_2(21, 0)$. Il costo di installazione è di $150\text{ \euro}$ per ogni unità di lunghezza. Se decidono di aggiungere un nodo intermedio in $N(16, 12)$ e di collegare $E_1$ con $N$, e poi $N$ con $E_2$, quanto denaro in più costerà questa deviazione rispetto al collegamento diretto tra i due edifici?

Per verificare se i punti $A(-1, -2)$, $B(1, 2)$ e $C(3, 6)$ sono allineati sulla stessa retta, si propongono due strategie matematiche diverse:

• Metodo 1 (Metrico): Calcolare le tre distanze $d(A,B)$, $d(B,C)$ e $d(A,C)$ mediante il modulo degli spostamenti e verificare se la somma delle due minori è uguale alla maggiore.

• Metodo 2 (Vettoriale): Calcolare le componenti dei vettori $\vec{AB}$ e $\vec{BC}$ e verificare se sono direttamente proporzionali.

1. a) Applica il Metodo 1 semplificando al massimo i radicali per operare con valori esatti.
2. b) Applica il Metodo 2.
3. c) Confronta i due percorsi e argomenta quale dei due è preferibile dal punto di vista dell'economia di calcolo e della sicurezza nell'evitare errori di arrotondamento quando le distanze risultano essere numeri irrazionali.

Un'azienda di telecomunicazioni progetta di installare una torre ripetitrice per dare copertura a due paesi rurali rappresentati su una mappa comprensoriale dai punti $A(-3, 2)$ e $B(5, 6)$ (coordinate misurate in chilometri). Per motivi tecnici di accesso, la stazione deve essere costruita lungo una strada rettilinea il cui tracciato risponde all'equazione $y = 3x - 4$. Inoltre, per equilibrare la potenza del segnale ricevuto nei due comuni, la stazione $P(x, y)$ deve essere equidistante da entrambi ($d(P,A) = d(P,B)$).

1. a) Modella la condizione di equidistanza sviluppando l'uguaglianza $d(P,A)^2 = d(P,B)^2$ e ricava l'equazione lineare generale della retta asse del segmento che unisce i due paesi.
2. b) Imposta e risolvi il sistema di equazioni per trovare le coordinate esatte della posizione dell'antenna.
3. c) Calcola la distanza esatta in chilometri dall'antenna a ciascuno dei due comuni verificando che coincidono.