Esercizi: Funzioni, proporzionalità e grafici

Data la funzione $f(x) = 3x - 5$, calcola:

1. a) $f(0)$, $f(2)$ e $f(-1)$

1. b) il valore di $x$ per cui $f(x) = 10$

Determina il dominio (campo di esistenza) delle seguenti funzioni:

1. a) $f(x) = \dfrac{5}{x - 3}$

1. b) $g(x) = \sqrt{x + 4}$

Considera le funzioni $f(x) = |x|$ e $g(x) = x^2$.

1. a) Completa una tabella di valori per $x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$ per ciascuna delle due funzioni.

1. b) Indica per quali valori di $x$ le due funzioni assumono lo stesso valore.

Un treno regionale viaggia da Bologna a Firenze a velocità costante. In 20 minuti percorre 24 km.

1. a) Scrivi la funzione che esprime la distanza $d$ (in km) in funzione del tempo $t$ (in minuti) e dì di che tipo di proporzionalità si tratta.

1. b) Calcola quanti minuti servono per percorrere i 100 km del tragitto complessivo.

1. c) Se la velocità fosse doppia, quanto tempo servirebbe per i 100 km? Che relazione c'è tra velocità e tempo a parità di distanza?

Date $f(x) = 2x + 1$ e $g(x) = x^2 - 3$, determina:

1. a) $(g \circ f)(x)$ e $(f \circ g)(x)$

1. b) $(g \circ f)(2)$ e $(f \circ g)(2)$

1. c) i valori di $x$ per cui $(g \circ f)(x) = 6$

Sei operai di un cantiere a Napoli completano un lavoro in 15 giorni, tutti con lo stesso ritmo.

1. a) Scrivi la funzione che lega il numero $n$ di operai al numero di giorni $g$ e disegna a parole l'andamento del suo grafico (tipo di curva, asintoti).

1. b) Quanti giorni servono con 10 operai?

1. c) Quanti operai servono per finire in 5 giorni?

Sia $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$.

1. a) Determina il dominio di $f$.

1. b) Dimostra che $f$ è invertibile sul suo dominio e calcola $f^{-1}(x)$, indicandone il dominio.

1. c) Verifica che $(f \circ f^{-1})(x) = x$.

Considera la funzione $f(x) = |x - 2| - 1$.

1. a) Scrivi $f$ come funzione definita a tratti.

1. b) Rappresenta il grafico descrivendone vertice e intersezioni con gli assi.

1. c) Determina per quali valori del parametro $k$ l'equazione $f(x) = k$ ha due soluzioni, una soluzione, nessuna soluzione.

Sia $f(x) = x^2$ con dominio $\mathbb{R}$.

1. a) Spiega perché $f$ non è iniettiva su $\mathbb{R}$.

1. b) Restringi il dominio in modo che $f$ sia invertibile e determina la funzione inversa con il suo grafico (simmetria rispetto alla bisettrice $y = x$).

1. c) Data $h(x) = \dfrac{12}{x}$, trova i punti di intersezione tra il grafico di $h$ e quello di $y = x^2 - 4x$... in particolare verifica se il punto $(3; 4)$ appartiene a entrambi e giustifica la risposta.