Esercizi: Disequazioni in una incognita

Risolvi la seguente disequazione di primo grado: $3(x - 2) + 4 \leq 5x - 8$. Esprimi la soluzione sotto forma di intervallo.

Risolvi la disequazione con denominatori: $\frac{x}{2} - \frac{x-1}{3} > 1$.

Trova i valori di $x$ che verificano la disequazione di secondo grado, già scomposta in fattori: $(x - 4)(x + 2) < 0$.

Risolvi la seguente disequazione incompleta di secondo grado e rappresenta la sua soluzione sulla retta reale: $2x^2 - 18 \geq 0$.

Determina l'intervallo soluzione della disequazione di secondo grado: $x^2 - 5x + 6 \leq 0$.

Risolvi il seguente sistema di disequazioni in un'incognita ed esprimi la soluzione come un unico intervallo:

$2x - 3 < 5$

$3x + 1 \geq -2$

Risolvi la semplice disequazione razionale studiando il segno del numeratore e del denominatore: $\frac{x-3}{x+1} \leq 0$.

La somma del doppio di un numero naturale e $5$ è strettamente minore di $17$. Imposta la disequazione corrispondente e trova tutti i numeri naturali che la soddisfano.

Marco sta risolvendo la disequazione razionale $\frac{6}{x - 2} \leq 2$. Per eliminare il denominatore, decide di moltiplicare entrambi i membri per $(x - 2)$, ottenendo $6 \leq 2(x - 2)$. Dopo aver svolto i calcoli, conclude che la soluzione è $x \geq 5$, cioè l'intervallo $[5, +\infty)$. a) Individua l'errore concettuale che commette Marco nel primo passaggio e spiega perché non è lecito moltiplicare entrambi i membri di una disequazione per un'espressione algebrica di cui non si conosce il segno. b) Trova un controesempio numerico (un valore di $x$) che verifichi la disequazione originale ma non appartenga alla soluzione di Marco. c) Risolvi correttamente la disequazione portando tutti i termini al primo membro, riducendo a un'unica frazione e studiando i segni risultanti.

Considera la disequazione polinomiale di secondo grado $x^2 - 2x - 8 < 0$. a) Prima di eseguire qualsiasi calcolo algebrico, stima il segno del polinomio valutandolo mentalmente in valori semplici come $x = -3$, $x = 0$ e $x = 5$. Con questa stima, prevedi con ragionamento se l'insieme delle soluzioni sarà un intervallo limitato della forma $(a, b)$ o l'unione di due semirette infinite. b) Risolvi la disequazione passo dopo passo mediante la scomposizione in fattori del polinomio e una tabella dei segni. c) Verifica se l'intervallo trovato coincide con la tua previsione iniziale e spiega se i valori estremi $x = -2$ e $x = 4$ fanno parte o no dell'insieme delle soluzioni.

Risolvi la seguente disequazione prestando attenzione ai segni negativi davanti alle frazioni: $\frac{2x - 1}{4} - \frac{3x + 2}{6} \geq \frac{x - 5}{3} - 1$.

Si vuole costruire un giardino rettangolare in modo che la sua lunghezza sia $4$ metri maggiore della sua larghezza $x$. Se si dispone di concime sufficiente a coprire al massimo $45 \text{ m}^2$, imposta una disequazione e determina i possibili valori che può assumere la larghezza $x$.

Una piccola azienda artigianale ha costi fissi mensili di $300$ euro e produrre ogni braccialetto di cuoio le costa $2$ euro. Se vende ogni braccialetto a $5$ euro, quanti braccialetti deve vendere almeno al mese per iniziare a ottenere un guadagno? Imposta e risolvi la disequazione.

Risolvi la disequazione razionale: $\frac{2x + 1}{x - 2} > 3$. Ricorda di portare tutti i termini a un membro e di svolgere i calcoli per ottenere un unico quoziente prima di studiare i segni.

Risolvi la disequazione polinomiale di grado superiore raccogliendo prima il fattore comune: $x^3 - 4x^2 - 5x \leq 0$.

Risolvi la disequazione con valore assoluto ed esprimi la sua soluzione come unione di intervalli: $|2x - 5| \geq 7$.

Un furgone per le consegne consuma $8$ litri di carburante ogni $100 \text{ km}$ su strada e $12$ litri ogni $100 \text{ km}$ in città. Se in un tragitto di $500 \text{ km}$ in totale ha consumato meno di $45$ litri, quanti chilometri al massimo ha potuto percorrere in città?

Determina per quali valori del parametro $k$ l'equazione di secondo grado $x^2 - kx + 9 = 0$ non ha soluzioni reali. Imposta la disequazione corrispondente utilizzando il discriminante e risolvila.

Una studentessa universitaria di Napoli deve spostarsi ogni giorno verso la sua facoltà utilizzando i mezzi pubblici. Per il percorso che fa, ha due opzioni tariffarie: Opzione A, comprare biglietti singoli a $2,80$ € per ogni tratta; oppure Opzione B, sottoscrivere un abbonamento mensile a viaggi illimitati per $36$ € al mese, a cui deve aggiungere un pagamento una tantum di $4$ € il primo mese per l'emissione fisica della tessera personalizzata. a) Imposta una disequazione di primo grado in un'incognita che determini a partire da quante tratte al mese l'Opzione B risulta strettamente più economica dell'Opzione A durante il primo mese di utilizzo. b) Risolvi la disequazione e interpreta la soluzione indicando il numero intero minimo di viaggi necessari per ammortizzare l'abbonamento. c) Se il mese scolastico ha 21 giorni e lei fa 2 viaggi al giorno (andata e ritorno), calcola quanto denaro risparmia al mese con l'opzione più conveniente rispetto all'altra.

Per risolvere la disequazione con valore assoluto $|2x - 6| \leq 10$, si propongono due strategie diverse: Via 1 (metodo algebrico), trasformare l'espressione nella doppia disuguaglianza simultanea $-10 \leq 2x - 6 \leq 10$ e ricavare $x$; e Via 2 (interpretazione geometrica), raccogliere il fattore comune per scrivere $2 \cdot |x - 3| \leq 10$, semplificare in $|x - 3| \leq 5$ e interpretare la distanza dal valore centrale $3$ sulla retta reale. a) Sviluppa esplicitamente entrambi i procedimenti e verifica che si ottiene esattamente lo stesso intervallo soluzione. b) Giustifica con ragionamento quale dei due metodi ritieni più efficiente e quale riduce al minimo la probabilità di commettere errori con i segni. c) Spiega come si adatterebbe l'impostazione di ciascuna via se la disequazione fosse stretta e di verso opposto: $|2x - 6| > 10$.

Risolvi la disequazione razionale in cui numeratore e denominatore sono polinomi di secondo grado: $\frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 - 9} \leq 0$.

Risolvi il seguente sistema di disequazioni e spiega quale particolarità ha il suo insieme delle soluzioni:

$x^2 - 4x + 4 \leq 0$

$2x - 1 > 0$

Si lancia un razzo ad acqua verticalmente verso l'alto in un esperimento scolastico. La sua altezza $h$ in metri in funzione del tempo $t$ in secondi è data dall'espressione $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Determina algebricamente per quale intervallo di tempo il razzo si troverà sopra i $17 \text{ m}$ di altezza.

Risolvi la disequazione con valore assoluto che contiene espressioni frazionarie: $\left| \frac{3x - 1}{2} \right| < 4$.

I guadagni mensili di una fabbrica di monopattini elettrici, espressi in migliaia di euro, sono dati dalla funzione $B(x) = -x^3 + 10x^2 - 16x$, dove $x$ rappresenta il numero di centinaia di monopattini prodotti. Quanti monopattini devono essere prodotti perché l'azienda non abbia perdite (cioè perché $B(x) \geq 0$)?

In un triangolo isoscele, i lati uguali misurano $x \text{ cm}$ e il lato diverso misura $10 \text{ cm}$. Perché il triangolo possa essere costruito, la somma delle lunghezze di due lati qualsiasi deve essere strettamente maggiore della lunghezza del terzo lato. Inoltre, si desidera che il suo perimetro non superi i $36 \text{ cm}$. Imposta un sistema di disequazioni e trova i possibili valori di $x$.

Studia e risolvi il seguente sistema formato da una disequazione di primo grado e una di secondo grado:

$3x - 5 \leq x + 1$

$x^2 - 7x + 10 > 0$

Risolvi la seguente disequazione razionale, eseguendo le somme algebriche necessarie per esprimerla come un unico quoziente prima di studiare i segni: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} \geq \frac{3}{4}$.

Si vuole costruire una disequazione razionale in una incognita il cui insieme esatto delle soluzioni sia $(-3, 2] \cup (5, +\infty)$. a) Costruisci una disequazione della forma $\frac{P(x)}{Q(x)} \geq 0$, in cui sia il numeratore $P(x)$ sia il denominatore $Q(x)$ siano polinomi scomposti in binomi monici di primo grado. Giustifica passo dopo passo, basandoti sullo studio dei segni per tratti, la posizione di ciascun fattore al numeratore o al denominatore. b) Spiega in dettaglio perché i numeri $-3$ e $5$ devono comparire con intervallo aperto (parentesi tonda) nella soluzione, mentre $2$ resta chiuso (con parentesi quadra). c) Senza rifare tutta la tabella dei segni, spiega quale trasformazione elementare dovresti applicare alla tua disequazione perché la soluzione diventi $(-\infty, -3) \cup [2, 5)$.

Un produttore di componenti per l'automotive in Piemonte progetta un sensore termico la cui resistenza elettrica di funzionamento $R$ (in ohm) dipende dalla temperatura esterna $t$ (in gradi Celsius) secondo l'espressione $R(t) = t^2 - 2(k - 1)t + (k + 5)$, dove $k$ è un parametro reale di calibrazione. Per rigide norme di sicurezza, il dispositivo funziona correttamente solo se la resistenza è strettamente positiva ($R(t) > 0$) per qualsiasi temperatura $t \in \mathbb{R}$. a) Interpreta il grafico di $y = R(t)$ come una parabola e deduci quale condizione geometrica rispetto all'asse delle ascisse e quale condizione algebrica sul suo discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ devono essere soddisfatte per garantire tale funzionamento. b) Imposta e risolvi la disequazione di secondo grado nell'incognita $k$ che risulta dalla condizione precedente, indicando l'intervallo di valori validi per la calibrazione del sensore. c) Se in fabbrica si commette un errore e il parametro viene regolato su $k = 4$, giustifica quale anomalia si verificherà e determina a quale temperatura esatta $t$ il sensore smetterà di funzionare perché la sua resistenza si annulla.