Esercizi: MCD, numeri razionali ed equazioni di primo grado

Calcola il MCD di 252 e 105 con l'algoritmo di Euclide delle divisioni successive, scrivendo tutti i passaggi.

Risolvi le equazioni:

1. a) $3x - 7 = 11$

1. b) $\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = 5$

Calcola:

1. a) $\dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{4}$

1. b) $\dfrac{3}{4} : \dfrac{9}{8} \cdot \dfrac{2}{5}$

Risolvi l'equazione fratta e indica le condizioni di esistenza:

$\dfrac{x + 1}{x - 2} - \dfrac{3}{x + 2} = \dfrac{x^2 + 8}{x^2 - 4}$

Due pacchi di pasta pesano 1.260 g e 840 g. Si vuole dividerli in confezioni uguali, di peso massimo possibile, senza avanzi.

1. a) Calcola il peso di ciascuna confezione con l'algoritmo di Euclide.

1. b) Calcola quante confezioni si ottengono in totale.

Marco ha speso un terzo dei suoi soldi in un libro e i due quinti del resto in un biglietto del treno. Gli rimangono 24 €.

1. a) Imposta e risolvi l'equazione per trovare la somma iniziale.

1. b) Calcola quanto ha speso per il libro e per il biglietto.

Risolvi e discuti l'equazione letterale nell'incognita $x$:

$a(x - 1) = 2x + a^2 - 3$

al variare del parametro $a \in \mathbb{R}$, indicando i casi di equazione determinata, impossibile e indeterminata.

1. a) Dimostra che $\text{MCD}(a, b) = \text{MCD}(b, r)$, dove $r$ è il resto della divisione di $a$ per $b$.

1. b) Usa il risultato per calcolare $\text{MCD}(1.071; 462)$.

1. c) Determina il mcm dei due numeri.

Un rubinetto riempie una vasca in 6 ore, un secondo in 4 ore e uno scarico la svuota in 12 ore.

1. a) Imposta e risolvi l'equazione per il tempo $t$ necessario a riempire la vasca con tutti e tre aperti.

1. b) Dopo 2 ore con i soli due rubinetti aperti si apre anche lo scarico: calcola il tempo totale di riempimento.

1. c) Giustifica perché la vasca non si riempirebbe mai se lo scarico svuotasse in 2 ore.