Satz des Thales
Auf einem Spielplatz in Köln soll ein runder Sandkasten mit einer dreieckigen Sonnensegel-Ecke überspannt werden. Zwei Pfosten stehen an gegenüberliegenden Punkten des Randes, ein dritter irgendwo auf dem Rand. Welchen Winkel bilden die Seile am dritten Pfosten? Überraschend: Es ist immer derselbe, egal wo der Pfosten steht.
Der Satz des Thales
Zeichne einen Kreis mit dem Durchmesser $AB$. Wähle einen Punkt $C$ auf dem Kreis (nicht $A$ oder $B$). Miss den Winkel bei $C$. Probiere es mit mehreren Punkten.
Die Umkehrung gilt auch: Ist ein Dreieck $ABC$ bei $C$ rechtwinklig, so liegt $C$ auf dem Thaleskreis über der Hypotenuse $AB$. Der Mittelpunkt des Kreises ist die Mitte der Hypotenuse, der Radius ist $r = \frac{c}{2}$.
Formuliere den Satz des Thales. Zeichne gedanklich einen Halbkreis über der Strecke $AB$ mit $\overline{AB} = 10\text{ cm}$ und einem Punkt $C$ auf dem Halbkreis. Wie…
Formuliere den Satz des Thales. Zeichne gedanklich einen Halbkreis über der Strecke $AB$ mit $\overline{AB} = 10\text{ cm}$ und einem Punkt $C$ auf dem Halbkreis. Wie groß ist der Winkel bei $C$?
Der Thaleskreis über $AB$ hat den Radius $r = 4{,}5\text{ cm}$. Wie lang ist $AB$? Wo liegt der Mittelpunkt?
Der Thaleskreis über $AB$ hat den Radius $r = 4{,}5\text{ cm}$. Wie lang ist $AB$? Wo liegt der Mittelpunkt?
Winkel und Seiten berechnen
Mit dem rechten Winkel kannst du Winkelsumme (180°) und den Satz des Pythagoras nutzen. Den Radius liefert die Hälfte des Durchmessers.
Ein Dreieck $ABC$ liegt mit $A$ und $B$ an den Enden eines Kreisdurchmessers, $C$ liegt auf dem Kreis. Es ist $\alpha = 35^\circ$. Berechne $\beta$ und $\gamma$.
Ein Dreieck $ABC$ liegt mit $A$ und $B$ an den Enden eines Kreisdurchmessers, $C$ liegt auf dem Kreis. Es ist $\alpha = 35^\circ$. Berechne $\beta$ und $\gamma$.
Auf einem Spielplatz in Köln liegt ein kreisförmiger Sandkasten mit dem Durchmesser $6\text{ m}$. Die Punkte $A$ und $B$ liegen gegenüber auf dem Rand, $C$ ebenfalls auf…
Auf einem Spielplatz in Köln liegt ein kreisförmiger Sandkasten mit dem Durchmesser $6\text{ m}$. Die Punkte $A$ und $B$ liegen gegenüber auf dem Rand, $C$ ebenfalls auf dem Rand mit $\overline{AC} = 3{,}6\text{ m}$.
- a) Welchen Winkel bilden $AC$ und $BC$?
- b) Berechne $\overline{BC}$.
Konstruieren mit dem Thaleskreis
Mit dem Thaleskreis konstruierst du rechtwinklige Dreiecke, wenn die Hypotenuse bekannt ist.
Auch Koordinaten lassen sich prüfen: Der Thaleskreis über $P(0|0)$ und $Q(8|0)$ hat den Mittelpunkt $M(4|0)$ und $r = 4$. Ein Punkt liegt auf dem Kreis, wenn sein Abstand zu $M$ gleich $4$ ist. Für $R(4|4)$: Abstand $4$, also auf dem Kreis. Für $S(6|3)$: $\sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \approx 3{,}6 \ne 4$, also nicht auf dem Kreis.
Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck $ABC$ mit der Hypotenuse $c = 8\text{ cm}$ und $a = 3\text{ cm}$ mithilfe des Thaleskreises. Beschreibe die Konstruktion und…
Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck $ABC$ mit der Hypotenuse $c = 8\text{ cm}$ und $a = 3\text{ cm}$ mithilfe des Thaleskreises. Beschreibe die Konstruktion und berechne $b$ auf eine Dezimalstelle genau.
Von $P(0|0)$ und $Q(8|0)$ ist der Thaleskreis über $PQ$ bekannt. a) Gib den Mittelpunkt und den Radius an. b) Prüfe, ob $R(4|4)$ und $S(6|3)$ auf dem Kreis liegen.
Von $P(0|0)$ und $Q(8|0)$ ist der Thaleskreis über $PQ$ bekannt.
- a) Gib den Mittelpunkt und den Radius an.
- b) Prüfe, ob $R(4|4)$ und $S(6|3)$ auf dem Kreis liegen.
Beweis und Umkehrung
Warum gilt der Satz? Sei $M$ der Mittelpunkt von $AB$. Dann ist $\overline{MA} = \overline{MB} = \overline{MC} = r$.
Anwendung: Tangenten. Von einem Punkt $P$ außerhalb eines Kreises (Mittelpunkt $M$) legst du den Thaleskreis über $PM$. Seine Schnittpunkte mit dem Kreis sind die Berührpunkte $T$. Da $\angle PTM = 90^\circ$ ist, steht die Tangente senkrecht auf dem Radius. Bei $r = 3\text{ cm}$ und $PM = 8\text{ cm}$ ist $\overline{PT} = \sqrt{8^2 - 3^2} = \sqrt{55} \approx 7{,}4\text{ cm}$.
Prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist: Mit den Seiten $5$, $12$ und $13$ gilt $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$. Nach der Umkehrung des Satzes des Pythagoras ist das Dreieck rechtwinklig, die längste Seite $13$ ist der Durchmesser des Umkreises. Der Umkreisradius ist $6{,}5$, der Mittelpunkt liegt in der Mitte der Hypotenuse.
Beweise den Satz des Thales. Verwende dazu den Mittelpunkt $M$ von $AB$ und die gleichschenkligen Dreiecke $AMC$ und $BMC$ sowie die Winkelsumme im Dreieck.
Beweise den Satz des Thales. Verwende dazu den Mittelpunkt $M$ von $AB$ und die gleichschenkligen Dreiecke $AMC$ und $BMC$ sowie die Winkelsumme im Dreieck.
Gegeben sind ein Punkt $P$ und ein Kreis mit Mittelpunkt $M$ und Radius $r = 3\text{ cm}$, wobei $\overline{PM} = 8\text{ cm}$ ist. Beschreibe, wie man mit dem…
Gegeben sind ein Punkt $P$ und ein Kreis mit Mittelpunkt $M$ und Radius $r = 3\text{ cm}$, wobei $\overline{PM} = 8\text{ cm}$ ist. Beschreibe, wie man mit dem Thaleskreis die Tangenten von $P$ an den Kreis konstruiert, und berechne die Länge der Tangentenabschnitte von $P$ bis zum Berührpunkt.
Ein Dreieck $ABC$ hat die Seiten $\overline{AB} = 13\text{ cm}$, $\overline{AC} = 5\text{ cm}$ und $\overline{BC} = 12\text{ cm}$. a) Zeige, dass das Dreieck…
Ein Dreieck $ABC$ hat die Seiten $\overline{AB} = 13\text{ cm}$, $\overline{AC} = 5\text{ cm}$ und $\overline{BC} = 12\text{ cm}$.
- a) Zeige, dass das Dreieck rechtwinklig ist.
- b) Welchen Radius hat der Umkreis? Begründe mit dem Satz des Thales.
- c) Wo liegt der Mittelpunkt des Umkreises?