Laplace-Experiment

Berechne die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses und gib die günstigen und die möglichen Fälle an:

1. a) Beim Münzwurf Kopf werfen.
2. b) Beim Würfeln eine $3$ würfeln.
3. c) Beim Münzwurf Zahl werfen.

Wir werfen einen Würfel mit $6$ Flächen. Wir berechnen Schritt für Schritt die Wahrscheinlichkeit für „eine Zahl größer als $4$ würfeln“:

1. a) Wie viele mögliche Ergebnisse hat das Zufallsexperiment? Schreibe sie auf.
2. b) Welche Ergebnisse sind günstig für das Ereignis „größer als $4$“?
3. c) Wende die Laplace-Regel an und schreibe die Wahrscheinlichkeit als Bruch.

In einem Beutel liegen $4$ rote und $6$ blaue Kugeln, alle gleich. Wir ziehen zufällig eine Kugel.

1. a) Wie viele Kugeln sind insgesamt im Beutel?
2. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen?
3. c) Und eine blaue Kugel?
4. d) Überprüfe, dass die beiden Wahrscheinlichkeiten die Summe $1$ ergeben.

Aus dem abgebildeten Beutel, der $10$ Kugeln in drei Farben enthält, wird zufällig eine Kugel gezogen.

1. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, eine rote, eine blaue und eine grüne Kugel zu ziehen.
2. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel nicht rot ist?
3. c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine gelbe Kugel zu ziehen? Wie nennt man diese Art von Ereignis?

Aus der abgebildeten Urne, die $10$ von $1$ bis $10$ nummerierte Chips enthält, wird zufällig ein Chip gezogen.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dieser Ereignisse:

1. a) Eine gerade Zahl ziehen.
2. b) Ein Vielfaches von $3$ ziehen.
3. c) Eine Zahl ziehen, die größer als $7$ ist.
4. d) Eine einstellige Zahl ziehen.

Das abgebildete Glücksrad hat $8$ gleich große Sektoren, die von $1$ bis $8$ nummeriert sind. Es wird einmal gedreht.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dieser Ereignisse:

1. a) Die Zahl $5$ erscheint.
2. b) Eine gerade Zahl erscheint.
3. c) Eine Zahl erscheint, die größer als $5$ ist.
4. d) Die $8$ erscheint nicht.

Zwei ideale $1$-Euro-Münzen werden geworfen. Wir wollen die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$: „mindestens einmal Kopf“ berechnen. Drei Schüler der Klasse 7 schlagen verschiedene Lösungswege vor:

• Albas Methode: „Es gibt drei mögliche Ergebnisse nach der Anzahl der Köpfe: $0$ Köpfe, $1$ Kopf oder $2$ Köpfe. Da wir mindestens einen Kopf suchen, gibt es zwei günstige Fälle ($1$ Kopf oder $2$ Köpfe). Nach der Laplace-Regel gilt $P(A) = \frac{2}{3}$.“

• Brunos Methode: „Ich schreibe die Ergebnismenge auf und unterscheide dabei jede Münze: $\{KK, KZ, ZK, ZZ\}$. Es gibt $4$ mögliche Fälle, und alle sind gleich wahrscheinlich. Die günstigen Fälle mit mindestens einem Kopf sind $\{KK, KZ, ZK\}$, das sind $3$. Nach der Laplace-Regel gilt $P(A) = \frac{3}{4}$.“

• Claras Methode: „Ich berechne die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses: Das Gegenteil von ‚mindestens einmal Kopf‘ ist ‚keinmal Kopf‘ (also zweimal Zahl, $ZZ$). Da es nur $1$ Fall von $4$ möglichen gibt, gilt $P(\text{keine Kopfseite}) = \frac{1}{4}$. Dann ziehe ich von der Gewissheit ab: $P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.“

1. a) Analysiere Albas Vorschlag: Erkläre genau, warum ihre Anwendung der Laplace-Regel falsch ist und welche grundlegende Bedingung an die möglichen Fälle sie missachtet hat.
2. b) Vergleiche die Methoden von Bruno und Clara. Wenn statt $2$ Münzen gleichzeitig $6$ Münzen geworfen würden: Welche der beiden Methoden wäre zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal Kopf zu erhalten, viel effizienter? Begründe deine Antwort und erkläre, welche Schwierigkeit die andere Methode hätte.
3. c) Verwende die günstigere der beiden Methoden, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, mindestens einmal Kopf zu erhalten, wenn man $3$ ideale Münzen wirft.

In einer Kiste liegen $10$ Sammelbilder: $4$ von Spielern und $6$ von Wappen. Wenn wir zufällig ein Bild ziehen:

1. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es ein Spieler ist?
2. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es ein Wappen ist?
3. c) Welche Art von Bild wird eher gezogen? Warum?

In einer Klasse 7 wird eine Verlosung mit einer Urne veranstaltet, die $5$ grüne, $7$ blaue und $8$ weiße Lose enthält, alle gleich groß und mit gleicher Beschaffenheit.

Hugo möchte die Wahrscheinlichkeit berechnen, zufällig ein grünes Los zu ziehen, und schreibt an die Tafel:

Als die Lehrerin nachfragt, begründet Hugo seine Rechnung so: „Es gibt $5$ günstige Fälle, nämlich die grünen Lose, und $15$ mögliche Fälle, nämlich die $7$ blauen und die $8$ weißen, die nicht grün sind.“

1. a) Erkläre, welchen Fehler Hugo bei der Bestimmung der „möglichen Fälle“ macht und warum seine Überlegung die Laplace-Regel nicht beachtet.
2. b) Korrigiere seine Lösung: Bestimme die richtige Anzahl möglicher Fälle und berechne die tatsächliche Wahrscheinlichkeit, ein grünes Los zu ziehen. Gib das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
3. c) Wenn wir nach der Wahrscheinlichkeit fragen, aus derselben Urne zufällig ein rotes Los zu ziehen: Welchen Zahlenwert hat sie? Wie nennt man diese Art von Ereignis?

Aus einem spanischen Kartenspiel mit $40$ Karten ($10$ je Farbe: Münzen, Kelche, Schwerter und Stäbe) wird zufällig eine Karte gezogen. Denke daran: In jeder Farbe gibt es $7$ Karten, die von $1$ bis $7$ nummeriert sind, und $3$ Bildkarten (Bube, Reiter und König).

Berechne die Wahrscheinlichkeit dieser Ereignisse und gib den vollständig gekürzten Bruch an:

1. a) Eine Münzen-Karte ziehen.
2. b) Ein Ass ziehen.
3. c) Eine Bildkarte ziehen.
4. d) Eine Karte ziehen, die kein Kelch ist.

In einem Beutel befinden sich $12$ Kugeln, rote und blaue. Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit, zufällig eine rote Kugel zu ziehen, $\frac{1}{3}$ beträgt.

1. a) Wie viele rote Kugeln sind im Beutel? Und wie viele blaue?
2. b) Wie viele blaue Kugeln müsste man in den Beutel legen, damit die Wahrscheinlichkeit, eine rote zu ziehen, $\frac{1}{4}$ beträgt?
3. c) Was ist im Ausgangsfall, ohne Kugeln hinzuzufügen oder wegzunehmen, wahrscheinlicher: eine rote Kugel zu ziehen oder keine? Berechne beide Wahrscheinlichkeiten.

Auf dem Jahrmarkt gibt es ein Glücksrad mit $4$ Farben, aber seine Sektoren sind nicht gleich groß, wie man in der Abbildung sieht.

Ein Schüler behauptet: „Weil es $4$ Farben gibt, beträgt die Wahrscheinlichkeit jeder Farbe $\frac{1}{4}$.“

1. a) Erkläre, warum seine Überlegung falsch ist. Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit man die Laplace-Regel anwenden kann?
2. b) Schätze anhand der Sektoren die Wahrscheinlichkeit jeder Farbe und gib sie als Bruch an.
3. c) Überprüfe, dass die vier Wahrscheinlichkeiten, die du angegeben hast, zusammen $1$ ergeben.