Kongruenzsätze
Ein Zimmerer in Köln baut für ein Gartenhaus zwei Dachbinder, also zwei Dreiecke aus Holzbalken, die genau gleich aussehen müssen. Muss er dafür alle sechs Größen eines Dreiecks nachmessen, nämlich drei Seiten und drei Winkel? Oder reichen weniger Angaben? Genau das klären die Kongruenzsätze.
Was bedeutet „kongruent"?
Zwei Figuren sind kongruent (deckungsgleich), wenn man die eine so verschieben, drehen oder spiegeln kann, dass sie genau auf der anderen liegt. Form und Größe sind dann gleich. Nur die Lage ist verschieden.
Man schreibt $\triangle ABC \cong \triangle DEF$. Die Reihenfolge der Buchstaben ist wichtig: $A$ entspricht $D$, $B$ entspricht $E$, $C$ entspricht $F$.
Zum Nachweis brauchst du nicht alle sechs Übereinstimmungen zu prüfen. Wenige Angaben genügen, und das ist der Inhalt der Kongruenzsätze.
Erkläre in eigenen Worten, was es bedeutet, dass zwei Dreiecke kongruent sind. Nenne die vier Kongruenzsätze (SSS, SWS, WSW, SsW).
Erkläre in eigenen Worten, was es bedeutet, dass zwei Dreiecke kongruent sind. Nenne die vier Kongruenzsätze (SSS, SWS, WSW, SsW).
Die vier Kongruenzsätze
Du kennst das aus der Konstruktion: Wenn du drei passende Stücke eines Dreiecks vorgibst, ist das Dreieck bis auf Kongruenz festgelegt. Jeder andere, der dieselben Stücke benutzt, zeichnet ein deckungsgleiches Dreieck.
| Satz | Gegeben | Beispiel |
|---|---|---|
| SSS | $a$, $b$, $c$ | $4\ \text{cm}$, $5\ \text{cm}$, $6\ \text{cm}$ |
| SWS | $a$, $\gamma$, $b$ | $a = 3\ \text{cm}$, $\gamma = 40^\circ$, $b = 5\ \text{cm}$ |
| WSW | $\alpha$, $c$, $\beta$ | $\alpha = 40^\circ$, $c = 6\ \text{cm}$, $\beta = 70^\circ$ |
| SsW | $c$, $a$, $\gamma$ mit $c > a$ | $c = 8\ \text{cm}$, $a = 5\ \text{cm}$, $\gamma = 80^\circ$ |
Der Winkel $\gamma$ liegt der Seite $c$ gegenüber, denn $c$ ist die Seite, die $\gamma$ nicht berührt. Mit dem großen „S" in SsW ist die längere Seite gemeint.
Warum gelten die Sätze? Bei SSS legen drei Seiten die Form fest, denn du kannst das Dreieck mit dem Zirkel nur auf eine Weise bauen. Bei SWS legt der eingeschlossene Winkel fest, wie weit die beiden Seiten auseinanderstehen. Bei WSW treffen sich die beiden freien Schenkel in genau einem Punkt.
Zwei Dreiecke haben jeweils die Seitenlängen $4\text{ cm}$, $5\text{ cm}$ und $6\text{ cm}$. Sind sie kongruent? Nenne den passenden Kongruenzsatz.
Zwei Dreiecke haben jeweils die Seitenlängen $4\text{ cm}$, $5\text{ cm}$ und $6\text{ cm}$. Sind sie kongruent? Nenne den passenden Kongruenzsatz.
Dreieck $ABC$ hat $a = 3\text{ cm}$, $b = 5\text{ cm}$, $\gamma = 40^\circ$. Dreieck $DEF$ hat $d = 3\text{ cm}$, $e = 5\text{ cm}$, $\zeta = 40^\circ$. Sind die…
Dreieck $ABC$ hat $a = 3\text{ cm}$, $b = 5\text{ cm}$, $\gamma = 40^\circ$. Dreieck $DEF$ hat $d = 3\text{ cm}$, $e = 5\text{ cm}$, $\zeta = 40^\circ$. Sind die Dreiecke kongruent? Begründe.
Entscheide für jedes Paar, ob die Dreiecke kongruent sind, und nenne gegebenenfalls den Kongruenzsatz. a) $a = 5$, $b = 7$, $\gamma = 60^\circ$ und $a' = 5$, $b' = 7$,…
Entscheide für jedes Paar, ob die Dreiecke kongruent sind, und nenne gegebenenfalls den Kongruenzsatz.
- a) $a = 5$, $b = 7$, $\gamma = 60^\circ$ und $a' = 5$, $b' = 7$, $\gamma' = 60^\circ$
- b) $c = 6$, $\alpha = 40^\circ$, $\beta = 70^\circ$ und $c' = 6$, $\alpha' = 40^\circ$, $\gamma' = 70^\circ$
- c) $\alpha = 30^\circ$, $\beta = 60^\circ$ und $\alpha' = 30^\circ$, $\beta' = 60^\circ$ (keine Seitenlängen gegeben)
Wann reichen drei Angaben nicht?
Nicht jede Kombination aus drei Stücken legt ein Dreieck fest.
Drei Winkel (WWW): Alle Dreiecke mit den Winkeln $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ haben dieselbe Form, aber sie können beliebig groß sein. Ebenso haben ein Dreieck mit den Seiten $3\ \text{cm}$, $4\ \text{cm}$, $5\ \text{cm}$ und eines mit $6\ \text{cm}$, $8\ \text{cm}$, $10\ \text{cm}$ dieselben Winkel (etwa $37^\circ$, $53^\circ$, $90^\circ$), sind aber verschieden groß. Man nennt solche Dreiecke ähnlich, nicht kongruent. WWW ist also kein Kongruenzsatz.
Zwei Seiten und ein Winkel (SsW): Hier kommt es darauf an, welcher Seite der Winkel gegenübersteht.
Beispiel: $a = 5\ \text{cm}$, $b = 8\ \text{cm}$, $\alpha = 30^\circ$. Hier liegt $\alpha$ der kleineren Seite $a$ gegenüber. Zeichne $\alpha$ bei $A$, trage $b = 8\ \text{cm}$ auf dem einen Schenkel ab und schlage um $C$ einen Kreis mit Radius $a = 5\ \text{cm}$.
Der Kreis schneidet den Schenkel in zwei Punkten $B_1$ und $B_2$. Beide Dreiecke $AB_1C$ und $AB_2C$ haben $a = 5\ \text{cm}$, $b = 8\ \text{cm}$ und $\alpha = 30^\circ$. Misst du in einer genauen Zeichnung, so ist $c$ einmal etwa $9{,}9\ \text{cm}$ und einmal etwa $3{,}9\ \text{cm}$ lang. Die Dreiecke sind nicht kongruent.
Warum klappt es, wenn $\alpha$ der größeren Seite gegenüberliegt? Ist $a \ge b$, liegt der Punkt $A$ innerhalb oder auf dem Kreis um $C$ mit Radius $a$. Der Schenkel von $A$ aus schneidet den Kreis dann nur an einer Stelle. Das Dreieck ist eindeutig.
Zwei Dreiecke stimmen in $c = 8\text{ cm}$, $a = 5\text{ cm}$ und $\gamma = 80^\circ$ überein. a) Gib an, welche Seite dem Winkel $\gamma$ gegenüberliegt und ob der…
Zwei Dreiecke stimmen in $c = 8\text{ cm}$, $a = 5\text{ cm}$ und $\gamma = 80^\circ$ überein.
- a) Gib an, welche Seite dem Winkel $\gamma$ gegenüberliegt und ob der Winkel der größeren Seite gegenüberliegt.
- b) Sind die Dreiecke kongruent? Nenne den Satz.
Zwei Dreiecke stimmen in zwei Seiten und einem Winkel überein, aber sie sind nicht kongruent. a) Gib ein Beispiel mit konkreten Zahlen an ($a = 5\text{ cm}$,…
Zwei Dreiecke stimmen in zwei Seiten und einem Winkel überein, aber sie sind nicht kongruent.
- a) Gib ein Beispiel mit konkreten Zahlen an ($a = 5\text{ cm}$, $b = 8\text{ cm}$ und $\alpha = 30^\circ$) und beschreibe die beiden Dreiecke.
- b) Erkläre, warum der Satz SsW nur gilt, wenn der Winkel der größeren Seite gegenüberliegt.
Kongruenzsätze beim Beweisen
Mit den Kongruenzsätzen kann man Eigenschaften von Figuren beweisen. Der Weg ist immer ähnlich:
-
Voraussetzung: Was ist gegeben?
-
Behauptung: Was soll gezeigt werden?
-
Beweis: Suche zwei Dreiecke, zeige mit einem Kongruenzsatz, dass sie kongruent sind, und folgere daraus, dass entsprechende Seiten oder Winkel gleich sind.
Ein wichtiger Gedanke: Sind zwei Dreiecke kongruent, sind auch alle entsprechenden Seiten und Winkel gleich, also auch diejenigen, die du nicht vorher kanntest.
Gleichschenklige Dreiecke und Nebenwinkel
Im gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Basiswinkel gleich groß. Das zeigst du mit einem Kongruenzsatz, indem du das Dreieck an einer Hilfslinie in zwei Teildreiecke zerlegst. Außerdem brauchst du: Zwei Nebenwinkel ergeben zusammen $180^\circ$. Sind zwei Nebenwinkel gleich groß, ist jeder von ihnen $90^\circ$.
In einem Parallelogramm $ABCD$ ist $M$ der Schnittpunkt der Diagonalen. Es gilt $\overline{AM} = \overline{CM}$ und $\overline{BM} = \overline{DM}$. a) Zeige, dass die…
In einem Parallelogramm $ABCD$ ist $M$ der Schnittpunkt der Diagonalen. Es gilt $\overline{AM} = \overline{CM}$ und $\overline{BM} = \overline{DM}$.
- a) Zeige, dass die Dreiecke $ABM$ und $CDM$ kongruent sind. Nenne den Satz.
- b) Welche Aussage über die Seiten $AB$ und $CD$ folgt daraus?
Beweise: Die Diagonale $AC$ eines Rechtecks $ABCD$ zerlegt es in zwei kongruente Dreiecke $ABC$ und $CDA$. Schreibe den Beweis mit Voraussetzung, Behauptung und…
Beweise: Die Diagonale $AC$ eines Rechtecks $ABCD$ zerlegt es in zwei kongruente Dreiecke $ABC$ und $CDA$. Schreibe den Beweis mit Voraussetzung, Behauptung und Begründung.
Beweise mit Kongruenzsätzen: In einem gleichschenkligen Dreieck $ABC$ mit $\overline{AC} = \overline{BC}$ ist $M$ der Mittelpunkt der Basis $AB$. Zeige, dass…
Beweise mit Kongruenzsätzen: In einem gleichschenkligen Dreieck $ABC$ mit $\overline{AC} = \overline{BC}$ ist $M$ der Mittelpunkt der Basis $AB$. Zeige, dass $\alpha = \beta$ gilt und dass $CM$ senkrecht auf $AB$ steht.
Zurück zum Anfang: Der Zimmerer muss nicht alle sechs Größen messen. Haben seine beiden Dachbinder zum Beispiel dieselben drei Seitenlängen, sind sie nach SSS kongruent. Drei passende Angaben genügen.