Sachaufgaben zu Gleichungen

Wenn du zu einer Zahl ihre Nachfolgerzahl (die Zahl direkt danach) addierst, ist das Ergebnis $43$. Stelle eine Gleichung auf, um herauszufinden, um welche Zahl es sich handelt.

Eine Gruppe von Freunden kauft eine Familienpizza, die $12$ € kostet. Wenn ihnen nach dem Bezahlen noch $8$ € von dem gesammelten Geld übrig bleiben, wie viel Geld hatten sie am Anfang? Bezeichne den Anfangsbetrag mit dem Buchstaben $x$.

In einer Klassenarbeit in Klasse 7 muss Hugo diese Aufgabe lösen: „Die Summe dreier aufeinanderfolgender ganzer Zahlen ist $48$. Welche drei Zahlen sind das?" Hugo schreibt Folgendes auf sein Blatt:

„Ich nenne die erste Zahl $x$. Da sie aufeinanderfolgend sind, sind die drei Zahlen $x$, $2x$ und $3x$.

Gleichung: $x + 2x + 3x = 48 \implies 6x = 48 \implies x = 8$.

Antwort: Die Zahlen sind $8$, $16$ und $24$."

1. a) Finde und erkläre begründet den inhaltlichen Fehler, den Hugo beim Übersetzen des Ausdrucks „drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen" gemacht hat.
2. b) Schreibe die richtige Gleichung auf und lege dabei genau fest, was die Variable $x$ darstellt.
3. c) Löse die Gleichung, gib die drei richtigen Zahlen an und überprüfe, dass ihre Summe gleich $48$ ist.

Amina ist $3$ Jahre älter als ihr kleiner Bruder. Wenn beide zusammen $19$ Jahre alt sind, wie alt ist jeder? Bezeichne das Alter des kleinen Bruders mit $x$.

Marcos spielt ein Videospiel und hat im aktuellen Level doppelt so viele Punkte erzielt wie im vorherigen Level. Wenn er in beiden Levels zusammen $150$ Punkte hat, wie viele Punkte hat er in jedem Level erreicht? Bezeichne die Punkte des ersten Levels mit $x$.

Drei Freunde vergleichen, wie viele Lieder sie in ihrer Lieblingsplaylist haben. Lea hat doppelt so viele Lieder wie Marcos, und Sarah hat 15 Lieder mehr als Marcos. Wenn sie zusammen 155 Lieder haben, wie viele Lieder hat jeder in seiner Playlist? Stelle eine Gleichung auf, in der $x$ die Anzahl der Lieder von Marcos ist.

Hektor ist 5 Jahre älter als seine Schwester Mia. In 8 Jahren beträgt die Summe ihrer Alter 41 Jahre. Wie alt ist jeder der beiden jetzt?

(Denke daran, zum Alter jedes Kindes 8 Jahre zu addieren, um die zukünftige Summe aufzustellen.)

Salmas Mutter ist derzeit dreimal so alt wie sie. In $12$ Jahren ist die Mutter nur noch doppelt so alt wie Salma. Wie alt sind die beiden jetzt? Nutze eine Tabelle, um die Daten für die Gegenwart und die Zukunft zu ordnen.

Im Naturwissenschaftslabor haben wir eine Waage im Gleichgewicht, wie die Abbildung zeigt. In der linken Waagschale liegen $2$ gleiche Kisten (die jeweils $x$ kg wiegen) und ein Gewicht von $1$ kg. In der rechten Waagschale liegt ein Gewicht von $7$ kg. Schreibe die Gleichung auf, die dieses Gleichgewicht darstellt, und berechne, wie schwer jede Kiste ist.

Wir entwerfen ein Logo für ein E-Sports-Team in Form eines gleichschenkligen Dreiecks. Der Umfang soll $30$ cm betragen. Wenn die Basis $10$ cm misst und die beiden anderen Seiten gleich lang sind, wie lang muss jede dieser Seiten ($x$) sein?

Wir wollen einen kleinen rechteckigen Gemüsegarten einzäunen, um Tomaten anzubauen. Die Länge des Gartens ist doppelt so groß wie die Breite. Wenn wir $18$ Meter Zaun verwendet haben, um ihn ganz zu umgeben (Umfang), wie lang und wie breit ist der Garten?

Um im Naturwissenschaftslabor eine Waage ins Gleichgewicht zu bringen, haben wir auf die linke Waagschale einen Stein gelegt, der ein unbekanntes Gewicht $x$ hat, und ein Gewicht von $12$ Gramm. Auf die rechte Waagschale mussten wir vier gleiche Gewichte legen, damit Gleichgewicht herrscht; jedes davon hat dasselbe Gewicht $x$ wie der ursprüngliche Stein. Wie schwer ist der Stein?

Der Umfang eines Technologieparks in Form eines gleichschenkligen Dreiecks beträgt $110$ Meter. Jeder der gleich langen Schenkel ist $10$ Meter länger als das Doppelte der Basis. Berechne die Länge jeder der drei Seiten des Parks, indem du eine Gleichung aufstellst.

In einem Regal eines Comicladens stehen dreimal so viele Action-Mangas wie Krimi-Mangas. Wenn es insgesamt $48$ Comics aus beiden Genres gibt, wie viele sind es von jeder Sorte? Bezeichne die Krimi-Comics mit $x$.

Zu Adrians Geburtstag wurden zwei Arten von Einladungen verteilt: digitale und auf Papier. Es gab dreimal so viele digitale Einladungen wie Papiereinladungen. Wenn insgesamt 48 Einladungen verschickt wurden, wie viele Personen haben die Einladung auf Papier und wie viele digital erhalten?

Marta hat ein Videospiel im Angebot und einen neuen Controller gekauft. Der Controller hat $25$ € weniger gekostet als das Videospiel. Wenn sie insgesamt $89$ € für beide Dinge bezahlt hat, wie hoch ist der ursprüngliche Preis jedes Artikels, ohne weitere Rabatte zu berücksichtigen?

Der Sportlehrer hat drei Kisten Tennisbälle gekauft. In der zweiten Kiste sind doppelt so viele Bälle wie in der ersten, und in der dritten sind $10$ Bälle mehr als in der zweiten. Wenn insgesamt $85$ Bälle vorhanden sind, wie viele Bälle enthält jede Kiste?

In einer Spardose befinden sich $0,50$-€- und $1$-€-Münzen. Insgesamt sind es $35$ Münzen mit einem Gesamtwert von $26$ €. Wie viele Münzen jeder Sorte befinden sich in der Spardose? (Tipp: Wenn du die Anzahl der $1$-€-Münzen mit $x$ bezeichnest, ist die Anzahl der $0,50$-€-Münzen $35 - x$.)

Drei Geschwister, Albert, Berta und Karl, wollen ein Geschenk für ihre Eltern kaufen, das $105$ € kostet. Albert steuert einen Geldbetrag bei, Berta gibt doppelt so viel wie Albert und Karl gibt $15$ € weniger als Berta. Wie viel Geld steuert jeder bei, damit es genau für das Geschenk reicht?

Im Schreibwarenladen im Viertel kaufst du für das Schuljahr einen Ordner und $3$ gleiche Hefte. Der Ordner kostet genau doppelt so viel wie ein Heft, und an der Kasse zahlst du insgesamt $12,50$ €.

1. a) Überlege, bevor du eine Gleichung aufstellst, ob es möglich ist, dass jedes Heft $3$ € kostet. Schätze schnell, zwischen welchen zwei ganzen Euro-Werten der Preis eines Hefts liegen muss.
2. b) Lege die Variable $x$ mit ihren Einheiten fest, stelle eine lineare Gleichung auf und berechne den genauen Preis eines Hefts und des Ordners.
3. c) Überprüfe die erhaltene Lösung am Aufgabentext und erkläre, ob deine Schätzung aus Teilaufgabe a) richtig war.

Auf dem Parkplatz eines Einkaufszentrums stehen insgesamt $32$ Fahrzeuge, Autos und Motorräder. Zählt man alle Räder (ohne Ersatzräder), erhält man insgesamt $94$ Räder. Berechne, wie viele Autos und wie viele Motorräder auf dem Parkplatz stehen.

(Tipp: Wenn wir die Anzahl der Autos mit $x$ bezeichnen, ist die Anzahl der Motorräder $32 - x$.)

Der Verkehrsverbund einer deutschen Stadt bietet zwei Tarife für junge Schülerinnen und Schüler an:

• Jugendtarif: Man zahlt einen festen Monatsbeitrag von $10$ € und jede Fahrt kostet $0,40$ €.

• Einzelfahrschein: Es wird kein fester Monatsbeitrag gezahlt, aber jede Fahrt kostet $0,90$ €.

1. a) Modelliere die Situation mathematisch: Lege die Variable $x$ mit ihrer Bedeutung fest und stelle eine Gleichung auf, die ausdrückt, bei welcher Anzahl monatlicher Fahrten die Gesamtkosten beider Tarife genau gleich sind.
2. b) Löse die aufgestellte Gleichung und gib die genaue Anzahl der Fahrten am Gleichgewichtspunkt an.
3. c) Deute das Ergebnis: Wenn eine Schülerin weiß, dass sie im Monat $25$ Fahrten zur Schule und zu ihren sportlichen Aktivitäten machen wird, welcher der beiden Tarife ist für sie günstiger? Begründe deine Antwort, indem du ihre Ausgaben bei jeder Option berechnest.

Stell dir vor, du gehörst zum Lehrerteam und sollst eine Geometrieaufgabe für die nächste Klassenarbeit in Klasse 7 entwerfen. Die Aufgabe soll vom Umfang eines rechteckigen Grundstücks handeln und muss genau diese drei Bedingungen erfüllen:

1. Die Grundseite des Grundstücks muss $4\text{ m}$ mehr als das Dreifache seiner Höhe messen.

2. Die Variable $x$ soll die Höhe des Grundstücks in Metern darstellen.

3. Beim Lösen der Umfangsgleichung muss die Lösung zwingend $x = 6\text{ m}$ sein.

1. a) Schreibe den vereinfachten Term der Grundseite in Abhängigkeit von $x$ und den vereinfachten Term des gesamten Umfangs des Rechtecks auf.
2. b) Nutze den Wert $x = 6\text{ m}$, um zu bestimmen, welche Zahl als Gesamtumfang im Aufgabentext stehen muss.
3. c) Formuliere den endgültigen Aufgabentext so, wie ihn deine Mitschüler in der Arbeit lesen würden, und gib die Daten und die abschließende Frage klar an.

In einer Familienwohnung in Essen besteht die monatliche Stromrechnung aus einem Grundpreis von $14$ € (für die vertraglich vereinbarte Leistung) und einem variablen Anteil von $0,18$ € pro $\text{kWh}$. Im Januar belief sich der Gesamtbetrag der Rechnung vor Steuern auf $64,40$ €.

1. a) Bevor du mit Algebra rechnest, schätze im Kopf begründet: Lag der Verbrauch eher bei $200\text{ kWh}$, bei $300\text{ kWh}$ oder bei $400\text{ kWh}$? Begründe, wie du darauf kommst, indem du im Kopf Näherungswerte berechnest.
2. b) Lege die Variable $x$ mit ihren Einheiten fest, stelle eine lineare Gleichung auf und berechne den genauen Verbrauch in $\text{kWh}$ im Januar.
3. c) Im Frühjahr spart die Familie und senkt ihren Verbrauch auf genau die Hälfte von $\text{kWh}$ im Januar, bei gleicher vertraglicher Leistung. Ein Familienmitglied behauptet: „Da wir halb so viel Strom verbraucht haben, ist die Rechnung diesen Monat genau halb so hoch ($32,20$ €)." Stelle den Term für die neuen Kosten auf und begründe algebraisch, warum diese Aussage falsch ist. Erkläre dabei, welche Rolle der Grundpreis für die Proportionalität der Rechnung spielt.

Projekt zum Thema. Welcher Tarif lohnt sich bei uns zu Hause? Untersuche und optimiere die Stromrechnung deiner Familie mithilfe linearer Gleichungen.

1. Datenerhebung: Sieh dir eine echte Stromrechnung von zu Hause an oder informiere dich im Internet bei der Bundesnetzagentur oder einem Vergleichsportal. Notiere den monatlichen Grundpreis und den Preis pro kWh (zum Beispiel $0,14$ €/kWh). Wähle anschließend einen alternativen Tarif eines anderen Anbieters mit anderem Grundpreis und anderem Arbeitspreis.

2. Algebraische Modellierung: Stelle eine Aufgabe und ihre lineare Gleichung auf, um herauszufinden, bei welchem monatlichen Verbrauch in kWh ($x$) beide Optionen genau gleich viel kosten: $F_1 + V_1 \cdot x = F_2 + V_2 \cdot x$. Löse die Gleichung und begründe dabei jeden algebraischen Schritt.

3. Simulation und Empfehlung: Erstelle in einer Tabellenkalkulation eine Tabelle, die beide Tarife für verschiedene Verbräuche ($100$, $200$ und $300$ kWh) vergleicht, und überprüfe deine Lösung. Verfasse einen kurzen Bericht, in dem du je nach tatsächlichem Verbrauch deines Haushalts begründet die beste Option empfiehlst.

Bewertet wird:

• Angemessene Entnahme und Ordnung realer Verbrauchs- und Tarifdaten.

• Korrektes Aufstellen und schrittweises Lösen der linearen Gleichung.

• Einsatz der Tabellenkalkulation, um Lösungen zu überprüfen und Szenarien zu simulieren.

• Schlüssige und kritische Begründung der abschließenden Sparempfehlung.

Bei einer wissenschaftlichen Expedition am Amazonas verbraucht das Team am ersten Tag $\frac{1}{4}$ seiner Wasservorräte. Am zweiten Tag verbraucht es $\frac{2}{5}$ von dem, was im Tank übrig war. Wenn nach diesen zwei Tagen noch $135$ Liter übrig sind, wie viele Liter Wasser hatten sie zu Beginn der Expedition?

In einem Videospielladen wurde von einem Abenteuerspiel dreimal so oft verkauft wie von einem Sportspiel. Außerdem wurden von einem Jump-and-Run-Spiel $15$ Stück weniger verkauft als vom Abenteuerspiel. Wenn insgesamt $125$ Videospiele von den drei Titeln verkauft wurden, wie viele Exemplare wurden von jedem verkauft?

Ein Content-Creator hat seine monatlichen Statistiken überprüft. Das Comedy-Video hat doppelt so viele Aufrufe wie das Technik-Video, und das Reisevideo hat $4000$ Aufrufe mehr als das Comedy-Video. Wenn alle drei zusammen $24000$ Aufrufe haben, wie viele Aufrufe hat jedes Video?

Eine Olivenölgenossenschaft in Jaén verteilt $45\,000$ € Jahresgewinn auf ihre drei Gründungsmitglieder. Entsprechend seinem Einsatz erhält das zweite Mitglied doppelt so viel wie das erste, und das dritte Mitglied erhält genau die Hälfte der Summe dessen, was die beiden anderen zusammen bekommen.

Um zu berechnen, wie viel Geld jedem zusteht, wählen zwei Schülerinnen unterschiedliche Wege:

• Lenas Weg: Sie bezeichnet den Betrag, den das erste Mitglied erhält, mit $x$, drückt damit aus, was die beiden anderen erhalten, und stellt die Gleichung auf, indem sie die drei Anteile addiert.

• Annas Weg: Sie bezeichnet den Betrag, den das dritte Mitglied erhält, mit $y$ und folgert, dass die Summe des ersten und zweiten Mitglieds gleich $2y$ ist.

1. a) Stelle die Gleichung nach Lenas Methode auf und löse sie. Gib Schritt für Schritt den Betrag an, der jedem Mitglied zusteht.
2. b) Stelle die Gleichung nach Annas Methode auf und löse sie. Überprüfe, ob sich für jede Person dieselben Endbeträge ergeben.
3. c) Vergleiche beide Methoden und überlege: Welchen mathematischen Vorteil bietet Annas Ansatz beim Lösen der ersten Gleichung? Welche der beiden Methoden hältst du für anschaulicher und direkter, um Blockaden zu vermeiden, wenn man den versteckten Zusammenhang zwischen den Teilen nicht entdeckt? Begründe deine Antwort.