Dreieckskonstruktionen
Jonas baut aus drei Holzleisten ein Dreieck für ein Windspiel. Seine Leisten sind $3\text{ cm}$, $4\text{ cm}$ und $5\text{ cm}$ lang. Kann er daraus ein Dreieck bauen? Gibt es dann nur eine einzige Form oder mehrere? Und was passiert bei Leisten mit $3\text{ cm}$, $4\text{ cm}$ und $8\text{ cm}$? Das klären wir auf dieser Seite.
Dreiecke aus drei Seiten (SSS)
Bezeichnungen
Damit alle dasselbe meinen, benennen wir ein Dreieck $ABC$ immer so: Die Ecken heißen $A$, $B$, $C$ (gegen den Uhrzeigersinn). Die Seite $a$ liegt der Ecke $A$ gegenüber, ebenso $b$ der Ecke $B$ und $c$ der Ecke $C$. Der Winkel $\alpha$ liegt bei $A$, $\beta$ bei $B$ und $\gamma$ bei $C$.
Die Angaben, mit denen ein Dreieck festgelegt wird, nennt man Bestimmungsstücke: Seitenlängen und Winkel.
Alle drei Seiten sind gegeben
Wenn alle drei Seiten bekannt sind, schneiden sich zwei Kreisbögen in der dritten Ecke. Das Dreieck ist dadurch bis auf die Lage auf dem Blatt festgelegt.
Geht das immer? Die Dreiecksungleichung
Nein. Zwei Leisten müssen zusammen länger sein als die dritte, sonst reichen sie nicht von Ecke zu Ecke. Das gilt für jede Seite.
Der Grund: Der direkte Weg von $A$ nach $B$ ist immer kürzer als der Umweg über $C$. Bei $a + b = c$ liegen alle drei Punkte auf einer Geraden, die Kreisbögen berühren sich nur. Das Dreieck ist „platt“ und zählt nicht.
Jonas' Leisten: $3 + 4 > 5$, also geht es. Bei $3\text{ cm}$, $4\text{ cm}$, $8\text{ cm}$ gilt $3 + 4 = 7 < 8$: Die Leisten reichen nie zusammen.
Konstruiere mit Zirkel und Lineal das Dreieck $ABC$ mit $c = 6\text{ cm}$, $b = 5\text{ cm}$ und $a = 4\text{ cm}$ (SSS). Beschreibe die Konstruktionsschritte in der…
Konstruiere mit Zirkel und Lineal das Dreieck $ABC$ mit $c = 6\text{ cm}$, $b = 5\text{ cm}$ und $a = 4\text{ cm}$ (SSS).
Beschreibe die Konstruktionsschritte in der richtigen Reihenfolge.
Untersuche, ob ein Dreieck mit den folgenden Seitenlängen konstruierbar ist. Begründe mit der Dreiecksungleichung. a) $a = 3\text{ cm}$, $b = 4\text{ cm}$,…
Untersuche, ob ein Dreieck mit den folgenden Seitenlängen konstruierbar ist. Begründe mit der Dreiecksungleichung.
- a) $a = 3\text{ cm}$, $b = 4\text{ cm}$, $c = 8\text{ cm}$
- b) $a = 5\text{ cm}$, $b = 7\text{ cm}$, $c = 12\text{ cm}$
- c) $a = 6\text{ cm}$, $b = 7\text{ cm}$, $c = 12\text{ cm}$
Zwei Seiten und ein Winkel dazwischen (SWS), eine Seite und zwei Winkel (WSW)
SWS
Der Winkel liegt hier zwischen den beiden gegebenen Seiten (er „wird von ihnen eingeschlossen“). Dann zeichnest du die beiden Schenkel einfach an.
WSW
Hier ist eine Seite und die beiden Winkel an ihren Enden gegeben. Die zwei Winkel zeichnest du an den Enden der Seite an, die Schenkel schneiden sich in $C$.
Oft ist nicht der dritte, sondern nur ein Winkel an der Seite gegeben. Dann hilft der Winkelsummensatz: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$. Daraus berechnest du den fehlenden Winkel.
Pläne im Maßstab
Konstruktionen sind auch bei Plänen nützlich. Beim Maßstab $1:1000$ entspricht $1\text{ cm}$ im Plan $1000\text{ cm} = 10\text{ m}$ in Wirklichkeit. Also: $40\text{ m}$ werden zu $4\text{ cm}$, $55\text{ m}$ zu $5{,}5\text{ cm}$. Der Winkel bleibt unverändert.
Konstruiere das Dreieck $ABC$ mit $c = 7\text{ cm}$, $b = 4{,}5\text{ cm}$ und $\alpha = 50^\circ$ (SWS). Nenne, welche Seite und welcher Winkel zuerst gezeichnet werden.
Konstruiere das Dreieck $ABC$ mit $c = 7\text{ cm}$, $b = 4{,}5\text{ cm}$ und $\alpha = 50^\circ$ (SWS).
Nenne, welche Seite und welcher Winkel zuerst gezeichnet werden.
Konstruiere das Dreieck $ABC$ mit $c = 6\text{ cm}$, $\alpha = 45^\circ$ und $\beta = 60^\circ$ (WSW). Wie groß ist der Winkel $\gamma$?
Konstruiere das Dreieck $ABC$ mit $c = 6\text{ cm}$, $\alpha = 45^\circ$ und $\beta = 60^\circ$ (WSW).
Wie groß ist der Winkel $\gamma$?
Ein Grundstück in Münster hat die Form eines Dreiecks. Zwei Grenzen messen $40\text{ m}$ und $55\text{ m}$, der Winkel dazwischen beträgt $70^\circ$. Du zeichnest einen…
Ein Grundstück in Münster hat die Form eines Dreiecks. Zwei Grenzen messen $40\text{ m}$ und $55\text{ m}$, der Winkel dazwischen beträgt $70^\circ$. Du zeichnest einen Plan im Maßstab $1:1000$.
- a) Berechne die Seitenlängen im Plan in cm.
- b) Beschreibe die Konstruktion des Plans.
Von einem Dreieck $ABC$ sind $c = 8\text{ cm}$, $\alpha = 55^\circ$ und $\gamma = 65^\circ$ bekannt. a) Berechne $\beta$. b) Erkläre, wie du das Dreieck mit dem…
Von einem Dreieck $ABC$ sind $c = 8\text{ cm}$, $\alpha = 55^\circ$ und $\gamma = 65^\circ$ bekannt.
- a) Berechne $\beta$.
- b) Erkläre, wie du das Dreieck mit dem WSW-Verfahren konstruierst, und führe die Konstruktion durch.
Zwei Seiten und ein Winkel gegenüber (SsW): Eindeutigkeit prüfen
Liegt der gegebene Winkel nicht zwischen den beiden Seiten, sondern gegenüber einer von ihnen, ist es kein SWS. Man schreibt SsW, wobei das kleine s die Seite ist, die dem Winkel gegenüberliegt, und das große S die andere gegebene Seite.
Warum manchmal zwei Lösungen? Der Kreisbogen kann den Strahl zweimal treffen. Das hängt davon ab, ob die dem Winkel gegenüberliegende Seite länger oder kürzer ist als die andere gegebene Seite.
Warum? Ist die gegenüberliegende Seite die längere, ist der Bogen so groß, dass er den Strahl nur auf der richtigen Seite trifft. Ist sie kürzer, kann der Bogen den Strahl zweimal schneiden, oder gar nicht (zu kurz), oder gerade berühren.
Ein Dreieck $ABC$ hat $a = 5\text{ cm}$, $b = 6\text{ cm}$ und $\beta = 40^\circ$ (die Seite $b$ liegt gegenüber von $\beta$). a) Gib an, welche Angaben gegeben sind…
Ein Dreieck $ABC$ hat $a = 5\text{ cm}$, $b = 6\text{ cm}$ und $\beta = 40^\circ$ (die Seite $b$ liegt gegenüber von $\beta$).
- a) Gib an, welche Angaben gegeben sind (Seiten und Winkel) und warum es sich nicht um SWS handelt.
- b) Konstruiere das Dreieck. Wie viele verschiedene Dreiecke sind möglich?
Gegeben sind $a = 4\text{ cm}$, $c = 7\text{ cm}$ und $\gamma = 30^\circ$ (der Winkel liegt der längeren Seite gegenüber). a) Konstruiere das Dreieck $ABC$. b) Wie viele…
Gegeben sind $a = 4\text{ cm}$, $c = 7\text{ cm}$ und $\gamma = 30^\circ$ (der Winkel liegt der längeren Seite gegenüber).
- a) Konstruiere das Dreieck $ABC$.
- b) Wie viele Lösungen gibt es? Begründe.
- c) Untersuche, was sich ändert, wenn stattdessen $a = 7\text{ cm}$, $c = 4\text{ cm}$ und $\gamma = 30^\circ$ gegeben sind.
Drei Winkel (WWW) genügen nicht
Gegeben sind nur die Winkel, zum Beispiel $50^\circ$, $60^\circ$, $70^\circ$. Zuerst prüfst du die Winkelsumme: $50^\circ + 60^\circ + 70^\circ = 180^\circ$. Das passt, also gibt es solche Dreiecke.
Aber wie groß sind sie? Du kannst eine beliebige Seite zeichnen und die Winkel anlegen. Mit $c = 4\text{ cm}$ entsteht ein kleines Dreieck, mit $c = 8\text{ cm}$ ein doppelt so großes mit denselben Winkeln. Beide haben die gleiche Form, aber nicht die gleiche Größe. Man nennt sie ähnlich, nicht kongruent (deckungsgleich).
Zwei Dreiecke sollen konstruiert werden. a) Begründe, warum man mit drei gegebenen Winkeln ($\alpha = 50^\circ$, $\beta = 60^\circ$, $\gamma = 70^\circ$) kein…
Zwei Dreiecke sollen konstruiert werden.
- a) Begründe, warum man mit drei gegebenen Winkeln ($\alpha = 50^\circ$, $\beta = 60^\circ$, $\gamma = 70^\circ$) kein eindeutiges Dreieck konstruieren kann.
- b) Für $\alpha = 50^\circ$, $\beta = 70^\circ$ und $\gamma = 70^\circ$ ist $a = 5\text{ cm}$ gegeben. Prüfe, ob die Angaben konsistent sind. Falls ja, konstruiere das Dreieck; falls nein, begründe, warum es kein solches Dreieck gibt.
- c) Gib zwei verschiedene Dreiecke an, die dieselben drei Winkel haben.
Vuelve zu Jonas: Mit $3\text{ cm}$, $4\text{ cm}$ und $5\text{ cm}$ gilt $3 + 4 > 5$, also lässt sich ein Dreieck bauen, und zwar nur eines (SSS). Mit $3\text{ cm}$, $4\text{ cm}$ und $8\text{ cm}$ geht es nicht, weil $3 + 4 < 8$.