Simulation mit digitalen Medien
Ein Bäcker in Dortmund sagt: „Jedes fünfte Brötchen hat eine Sonderfüllung.“ Stimmt das? Du kannst nicht tausend Brötchen kaufen. Aber du kannst den Zufall am Computer nachbauen. Wie das geht und wie verlässlich es ist, klärst du in diesem Abschnitt.
Was ist eine Simulation?
Bei einer Simulation bildest du ein Zufallsexperiment mit Zufallszahlen nach. Der Computer wirft für dich „Würfel“, in Sekunden und beliebig oft.
In einer Tabellenkalkulation (z. B. Excel oder LibreOffice Calc) gibt es dafür zwei wichtige Funktionen:
| Funktion | Ergebnis |
|---|---|
ZUFALLSZAHL() |
Zufallszahl $z$ mit $0 \le z < 1$ |
ZUFALLSBEREICH(1;6) |
ganze Zufallszahl von $1$ bis $6$ |
ZUFALLSBEREICH(1;6) simuliert einen Würfelwurf. Jede Zahl von $1$ bis $6$ kommt mit gleicher Wahrscheinlichkeit vor, es ist also ein Laplace-Experiment. Bei jeder Neuberechnung der Tabelle (z. B. mit F9 oder nach einer Eingabe) wird neu „gewürfelt“. Deshalb ändern sich die Zahlen ständig.
Ein Würfel wird mit einer Tabellenkalkulation simuliert, die Funktion ZUFALLSBEREICH(1;6) liefert eine Zahl von $1$ bis $6$. Erkläre, was ein Aufruf der Funktion…
Ein Würfel wird mit einer Tabellenkalkulation simuliert, die Funktion ZUFALLSBEREICH(1;6) liefert eine Zahl von $1$ bis $6$. Erkläre, was ein Aufruf der Funktion simuliert und warum sich die Ergebnisse bei jeder Neuberechnung ändern.
Auswerten: relative Häufigkeit
Nach der Simulation zählst du, wie oft ein Ereignis eintritt. Die relative Häufigkeit ist
$$h_n(A) = \frac{H_n(A)}{n}$$Dabei ist $n$ die Zahl der Versuche und $H_n(A)$ die absolute Häufigkeit des Ereignisses $A$. In der Tabellenkalkulation zählt ZÄHLENWENN(A1:A50;6) die Sechsen.
Du wirfst $50$-mal einen Würfel digital und erhältst $9$-mal die Sechs. Berechne die relative Häufigkeit der Sechs und vergleiche sie mit der theoretischen…
Du wirfst $50$-mal einen Würfel digital und erhältst $9$-mal die Sechs. Berechne die relative Häufigkeit der Sechs und vergleiche sie mit der theoretischen Wahrscheinlichkeit.
Eine Münze wird $200$-mal simuliert, Kopf erscheint $108$-mal. Berechne die relative Häufigkeit für Kopf in Prozent.
Eine Münze wird $200$-mal simuliert, Kopf erscheint $108$-mal. Berechne die relative Häufigkeit für Kopf in Prozent.
Das Gesetz der großen Zahlen
Je mehr Versuche du simulierst, desto näher liegt die relative Häufigkeit an der Wahrscheinlichkeit. Das nennt man das empirische Gesetz der großen Zahlen.
| Würfe $n$ | 10 | 100 | 1.000 | 10.000 |
|---|---|---|---|---|
| $h_n(\text{Kopf})$ | 0,6 | 0,53 | 0,507 | 0,4989 |
Die Werte pendeln sich bei $0{,}5$ ein. Die Schwankungen werden mit wachsendem $n$ kleiner.
Das gilt auch für Experimente, bei denen du die Wahrscheinlichkeit nicht berechnen kannst. Dann dient $h_n$ bei großem $n$ als Schätzwert für $P$.
Bei einer Simulation werden $10$, $100$, $1.000$ und $10.000$ Münzwürfe durchgeführt. Die relativen Häufigkeiten für Kopf sind $0{,}7$; $0{,}54$; $0{,}512$ und…
Bei einer Simulation werden $10$, $100$, $1.000$ und $10.000$ Münzwürfe durchgeführt. Die relativen Häufigkeiten für Kopf sind $0{,}7$; $0{,}54$; $0{,}512$ und $0{,}4968$.
- a) Stelle die Werte als Tabelle dar und beschreibe die Entwicklung.
- b) Welches Gesetz wird dadurch veranschaulicht?
Komplexere Experimente simulieren
Nicht jedes Experiment ist ein einfacher Würfel. So kommst du trotzdem zum Ziel.
Glücksrad mit ungleichen Sektoren
Mit ZUFALLSZAHL() zerlegst du das Intervall von $0$ bis $1$ in Teilstücke. Ihre Längen sind die Wahrscheinlichkeiten.
(Die Farben der Figur dienen nur zur Unterscheidung der Bereiche.)
Ja-Nein-Ereignis mit Wahrscheinlichkeit $p$
Der Test ZUFALLSZAHL()<0,2 ist mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}2$ wahr. Damit simulierst du ein Ereignis mit $20\,\%$, z. B. ein Brötchen mit Sonderfüllung. Für $10$ Brötchen kopierst du die Formel in $10$ Zellen und zählst die Treffer.
Der Erwartungswert der Trefferzahl ist $10 \cdot 0{,}2 = 2$.
Zwei Würfel und das Gegenereignis
Die Summe $7$ mit zwei Würfeln hat $6$ günstige von $36$ möglichen Ergebnissen: $P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$. Für „mindestens eine Sechs“ nutzt du das Gegenereignis: $P(\text{keine Sechs}) = \frac{25}{36}$, also $P(\text{mindestens eine Sechs}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \approx 0{,}306$.
Wartezeit bis zur ersten Sechs
Ein Versuch heißt: Würfle so lange, bis eine Sechs kommt, und zähle die Würfe. In der Tabelle schreibst du in jede Zeile mehrere Würfe nebeneinander und suchst die erste Sechs, z. B. mit VERGLEICH(6;A1:Z1;0). Den Mittelwert vieler Versuche vergleichst du mit dem Erwartungswert $6$.
Ein Glücksrad hat drei Sektoren: Rot ($50\,\%$), Blau ($30\,\%$), Grün ($20\,\%$). Du möchtest das Rad mit einer Zufallszahl $z$ zwischen $0$ und $1$ simulieren. a) Lege…
Ein Glücksrad hat drei Sektoren: Rot ($50\,\%$), Blau ($30\,\%$), Grün ($20\,\%$). Du möchtest das Rad mit einer Zufallszahl $z$ zwischen $0$ und $1$ simulieren.
- a) Lege fest, welche Werte von $z$ zu welcher Farbe gehören. Ordne die Farben dabei ab $z = 0$ in der Reihenfolge Rot, Blau, Grün zu.
- b) Welche Farbe erhältst du bei $z = 0{,}74$?
Eine Simulation von $1000$ Würfen mit zwei Würfeln liefert die Augensumme $7$ genau $158$-mal. a) Berechne die relative Häufigkeit der Summe $7$. b) Berechne die…
Eine Simulation von $1000$ Würfen mit zwei Würfeln liefert die Augensumme $7$ genau $158$-mal.
- a) Berechne die relative Häufigkeit der Summe $7$.
- b) Berechne die theoretische Wahrscheinlichkeit.
- c) Erkläre die Abweichung.
Ein Bäcker in Dortmund behauptet, dass $20\,\%$ seiner Brötchen eine Sonderfüllung haben. Du simulierst, wie viele von $10$ Brötchen eine Füllung haben, mit…
Ein Bäcker in Dortmund behauptet, dass $20\,\%$ seiner Brötchen eine Sonderfüllung haben. Du simulierst, wie viele von $10$ Brötchen eine Füllung haben, mit ZUFALLSZAHL()<0,2 für jedes Brötchen.
- a) Erkläre, wie die Simulation aufgebaut wird.
- b) Bei $20$ Wiederholungen ergeben sich diese Anzahlen: 2, 1, 3, 2, 0, 2, 4, 1, 2, 3, 2, 2, 1, 5, 2, 3, 0, 2, 1, 2. Bestimme den Mittelwert und vergleiche ihn mit der theoretisch zu erwartenden Anzahl (Erwartungswert).
- c) Wie viele Wiederholungen sind sinnvoll, um verlässlichere Ergebnisse zu bekommen? Begründe.
Bei einem Spiel gewinnt man, wenn man mit zwei Würfeln mindestens einmal die Sechs wirft. Eine Simulation mit $500$ Spielen ergibt $138$ Gewinne. a) Berechne die…
Bei einem Spiel gewinnt man, wenn man mit zwei Würfeln mindestens einmal die Sechs wirft. Eine Simulation mit $500$ Spielen ergibt $138$ Gewinne.
- a) Berechne die relative Häufigkeit des Gewinns.
- b) Berechne die theoretische Wahrscheinlichkeit mit dem Gegenereignis.
- c) Beurteile, ob das Simulationsergebnis plausibel ist.
Du sollst simulieren, wie oft man würfeln muss, bis die erste Sechs erscheint. Drei Schülerinnen und Schüler simulieren je $100$ Versuche und erhalten die Mittelwerte…
Du sollst simulieren, wie oft man würfeln muss, bis die erste Sechs erscheint. Drei Schülerinnen und Schüler simulieren je $100$ Versuche und erhalten die Mittelwerte $5{,}4$; $6{,}3$ und $5{,}9$ Würfe.
- a) Beschreibe, wie ein einzelner Versuch in der Tabellenkalkulation simuliert wird.
- b) Berechne den Gesamtmittelwert der drei Simulationen.
- c) Vergleiche mit dem theoretischen Erwartungswert $6$ und erkläre die Abweichungen.
Zurück zum Bäcker: Aus $20$ Wiederholungen berechnest du den Mittelwert der Trefferzahlen. Liegt er nahe bei $2$, passt die Behauptung „$20\,\%$“ zur Simulation. Mit noch mehr Wiederholungen wird der Vergleich verlässlicher.