Zinseszins und prozentuale Veränderung

Schreibe den Wachstumsfaktor auf, der zu jeder dieser prozentualen Veränderungen gehört:

1. a) Eine Zunahme um $25\ \%$.

1. b) Eine Abnahme um $15\ \%$.

1. c) Eine Zunahme um $3\ \%$.

1. d) Eine Abnahme um $60\ \%$.

1. e) Eine Zunahme um $130\ \%$.

Welche prozentuale Zunahme oder Abnahme gehört zu jedem dieser Wachstumsfaktoren?

1. a) $1,45$

1. b) $0,82$

1. c) $2,1$

1. d) $0,05$

1. e) $1,06$

Wende den passenden Wachstumsfaktor an, um den Endwert zu berechnen:

1. a) Eine Festivalkarte, die $80\ \text{€}$ kostet, wird um $15\ \%$ teurer.

1. b) Turnschuhe für $64\ \text{€}$ werden um $25\ \%$ reduziert.

1. c) Die Miete von $950\ \text{€}$ pro Monat für ein Ladenlokal steigt um $4\ \%$.

Nach einer Preissenkung von $25\ \%$ kostet ein Mantel $54\ \text{€}$.

1. a) Wie lautet der Wachstumsfaktor der Preissenkung?

1. b) Berechne den Anfangspreis, indem du durch den Wachstumsfaktor teilst.

1. c) Überprüfe das Ergebnis, indem du die Preissenkung auf den von dir erhaltenen Anfangspreis anwendest.

In einem Bekleidungsgeschäft während des Ausverkaufs kostet ein Mantel anfangs $90\ \text{€}$. In der ersten Woche wird ein Rabatt von $20\ \%$ gewährt, und in der zweiten Woche ein zusätzlicher Rabatt von $15\ \%$ auf den bereits reduzierten Preis.

Leon berechnet den Endpreis, indem er beide Prozentsätze addiert: $20\ \% + 15\ \% = 35\ \%$. Er wendet daher einen einzigen Wachstumsfaktor von $1 - 0,35 = 0,65$ an und behauptet, der Mantel koste $90 \cdot 0,65 = 58,50\ \text{€}$.

1. a) Finde und erkläre begründet den begrifflichen Fehler von Leon. Auf welchen Betrag muss der zweite Rabatt tatsächlich angewendet werden?
2. b) Schreibe die Wachstumsfaktoren der einzelnen Preissenkungen auf und berechne mithilfe verketteter Faktoren den richtigen Endpreis des Mantels.
3. c) Begründe, ohne dich nur auf die erhaltene Zahl zu stützen, warum der tatsächliche Preis höher ausfällt, als Leon berechnet hat.

Ein Geschäft erhöht die Preise seiner Produkte um $20\ \%$ und senkt sie einen Monat später um $20\ \%$.

1. a) Kopfhörer kosteten anfangs $50\ \text{€}$. Wie viel kosten sie nach der Erhöhung? Und nach der Senkung?

1. b) Berechne den gesamten Wachstumsfaktor, indem du die Faktoren der einzelnen Veränderungen multiplizierst.

1. c) Sind die Preise wieder auf den Anfangswert zurückgekehrt? Wie groß war die prozentuale Gesamtveränderung?

Die Aktien eines Technologieunternehmens stiegen im ersten Jahr um $40\ \%$, fielen im zweiten Jahr um $30\ \%$ und stiegen im dritten Jahr um $10\ \%$.

1. a) Berechne den Wachstumsfaktor jedes Jahres und den gesamten Wachstumsfaktor der drei Jahre.

1. b) Wenn ein Aktienpaket am Anfang $2.500\ \text{€}$ wert war, wie viel ist es am Ende des dritten Jahres wert?

1. c) Wie groß war die prozentuale Gesamtveränderung? Warum stimmt sie nicht mit der Summe der drei Prozentsätze überein?

Der Preis der Nahverkehrskarte einer Stadt ist durch eine öffentliche Förderung um $20\ \%$ gesunken.

1. a) Wenn der Einzelfahrschein früher $1,55\ \text{€}$ gekostet hat, wie viel kostet er jetzt?

1. b) Die Förderung wird gestrichen und der Preis soll wieder auf den ursprünglichen Wert steigen. Um wie viel Prozent muss der aktuelle Preis steigen, damit der ursprüngliche Preis wieder erreicht wird?

1. c) Begründe mithilfe von Wachstumsfaktoren, warum die Antwort nicht $20\ \%$ lautet, und formuliere die allgemeine Regel: Um wie viel Prozent muss der Preis nach einer Senkung um $r\ \%$ steigen, damit er wieder den Anfangswert erreicht?

Ein Sparer legt $2.000\ \text{€}$ auf einem Konto mit $4\ \%$ jährlichem Zinseszins an, das heißt, jedes Jahr werden die Zinsen zum Kapital addiert und bringen ebenfalls Zinsen.

1. a) Auf wie viel wächst das Kapital am Ende des ersten Jahres?

1. b) Und am Ende des zweiten Jahres?

1. c) Warum ist die Zunahme im zweiten Jahr größer als im ersten, obwohl der Prozentsatz derselbe ist?

Großeltern zahlen für ihre Enkelin $3.000\ \text{€}$ auf ein Sparkonto mit $5\ \%$ jährlichem Zinseszins ein.

1. a) Schreibe den Term auf, der das Endkapital nach $4$ Jahren mithilfe einer Potenz angibt.

1. b) Berechne das Endkapital mit dem Taschenrechner.

1. c) Wie viele Euro entfallen auf Zinsen?

Vergleiche zwei Arten, $1.000\ \text{€}$ über $3$ Jahre mit $6\ \%$ pro Jahr anzulegen, wie in der Abbildung gezeigt:

• Einfache Zinsen: Jedes Jahr entstehen auf das Anfangskapital dieselben Zinsen.

• Zinseszins: Jedes Jahr werden die Zinsen zum Kapital addiert.

1. a) Berechne das Endkapital bei einfachen Zinsen.

1. b) Berechne das Endkapital bei Zinseszins.

1. c) Welchen Unterschied gibt es? Woher kommt dieser Unterschied?

Zwei Banken bieten eine Geldanlage für ein Jahr über $5.000\ \text{€}$ an:

• Bank A: $4,9\ \%$ pro Jahr bei halbjährlicher Zinszahlung (die Hälfte des Zinssatzes pro Halbjahr, also $2,45\ \%$, mit Zinseszins).

• Bank B: $5\ \%$ pro Jahr mit einer einmaligen Zinszahlung am Ende des Jahres.

1. a) Berechne das Endkapital bei Bank A, wobei in jedem Halbjahr $2,45\ \%$ angewendet werden.

1. b) Berechne das Endkapital bei Bank B.

1. c) Der effektive Jahreszins ist der tatsächliche jährliche Prozentsatz, den eine Geldanlage unter Berücksichtigung der Häufigkeit der Zinszahlungen erbringt. Wie hoch ist der effektive Jahreszins bei jedem Angebot? Welche Bank ist besser?