Boxplots

Die Noten einer Gruppe von $9$ Schülerinnen und Schülern in einer Mathematikarbeit sind: $3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10$.

Bestimme den Minimalwert, das untere Quartil ($Q_1$), den Median ($Me$), das obere Quartil ($Q_3$) und den Maximalwert, um einen Boxplot zu zeichnen.

Die Preise (in Euro) von $11$ Büchern in einem Regal sind: $12, 15, 15, 18, 20, 21, 24, 25, 28, 30, 35$.

Berechne die fünf Werte, die man zum Zeichnen des Boxplots braucht.

Die folgende Häufigkeitstabelle zeigt die Anzahl der Geschwister der Schülerinnen und Schüler einer Klasse:

• $0$ Geschwister: $6$ Schüler

• $1$ Geschwister: $10$ Schüler

• $2$ Geschwister: $8$ Schüler

• $3$ Geschwister: $4$ Schüler

• $4$ Geschwister: $2$ Schüler

Bestimme das Minimum, $Q_1$, $Me$, $Q_3$ und das Maximum, um den zugehörigen Boxplot zeichnen zu können.

Der folgende Boxplot zeigt das Alter der Besucherinnen und Besucher eines Museums an einem Vormittag.

Gib anhand des Diagramms das Mindestalter, das untere Quartil, den Median, das obere Quartil und das Höchstalter der Besucher an.

Die Fünf-Zahlen-Zusammenfassung der Gewichte (in kg) der in einer Tierarztpraxis behandelten Hunde lautet: Minimum = $5$, $Q_1 = 12$, Median = $18$, $Q_3 = 24$, Maximum = $35$.

Berechne die Spannweite der Verteilung und den Interquartilsabstand (IQA).

In einem Boxplot, der die Zeit (in Minuten) darstellt, die Schülerinnen und Schüler zur Schule brauchen, ist das untere Quartil $15$ und das obere Quartil $30$.

Wie viel Prozent der Schülerinnen und Schüler brauchen genau zwischen $15$ und $30$ Minuten zur Schule?

Eine Basketballmannschaft hat in ihren letzten $15$ Spielen die folgenden Punkte erzielt:

$65, 72, 78, 81, 82, 85, 88, 90, 92, 95, 98, 101, 105, 108, 112$.

Bestimme die Fünf-Zahlen-Zusammenfassung und berechne den Interquartilsabstand.

Ein Boxplot zeigt, dass der Abstand zwischen dem unteren Quartil und dem Median $2$ Einheiten beträgt, während der Abstand zwischen dem Median und dem oberen Quartil $10$ Einheiten beträgt.

Was sagt dieser Unterschied über die Verteilung und die Konzentration der Daten im mittleren Bereich aus?

In einem Boxplot ist der linke Whisker (vom Minimum bis zu $Q_1$) sehr kurz, während der rechte Whisker (von $Q_3$ bis zum Maximum) extrem lang ist.

Was bedeutet das für die Streuung der Daten an den Rändern der Verteilung?

Die folgende Grafik zeigt die Boxplots der Akkulaufzeit (in Stunden) zweier Smartphone-Marken, Alpha und Beta.

1. a) Welche Marke hat den höheren Median bei der Akkulaufzeit?
2. b) Welche der beiden Marken weist im mittleren $50\%$ ihrer Daten die größere Streuung auf (größerer Interquartilsabstand)?

In einem Boxplot der Einkommen einer Bevölkerung erkennt man, dass der Abstand von $Q_1$ zum Median $500$ € beträgt, während er vom Median bis $Q_3$ $2500$ € beträgt. Außerdem ist der obere Whisker deutlich länger als der untere.

Welche Beziehung erwartest du zwischen dem arithmetischen Mittel und dem Median (welcher Wert ist größer)? Begründe deine Antwort anhand der Asymmetrie der Box.

In einer Studie zur Anzahl der Pulsschläge pro Minute einer Gruppe von Sportlerinnen und Sportlern in Ruhe ergab sich die folgende Zusammenfassung: $Q_1 = 48$, $Me = 52$, $Q_3 = 58$.

Einer der Sportler hatte $75$ Pulsschläge pro Minute. Entscheide mithilfe des mathematischen Kriteriums des Interquartilsabstands $IQR$ (ein Wert ist ein Ausreißer, wenn er größer als $Q_3 + 1,5 \cdot IQR$ ist), ob dieser Wert im Boxplot als Ausreißer dargestellt werden muss.

Gegeben ist der folgende geordnete Datensatz zur Reaktionszeit (in Millisekunden) bei einem Experiment: $120, 135, 140, 145, 150, 160, 170, x$.

Bestimme den kleinsten Wert, den die Unbekannte $x$ haben muss, damit sie im Boxplot als oberer Ausreißer gilt. (Denke daran, dass für diese Rechnung $N=8$ gilt.)

Für die Höchsttemperaturen einer Stadt im Juli wurde ein Boxplot erstellt, mit $Q_1 = 28^\circ \text{C}$, $Me = 31^\circ \text{C}$ und $Q_3 = 35^\circ \text{C}$.

Wenn im folgenden Jahr aufgrund einer Hitzewelle alle gemessenen Höchsttemperaturen um genau $3^\circ \text{C}$ steigen, wie lauten dann die neuen Werte von $Q_1$, $Me$ und $Q_3$? Ändert sich der Wert des Interquartilsabstands?

Ein Datensatz hat die folgende Fünf-Zahlen-Zusammenfassung: Minimum = $10$, $Q_1 = 20$, $Me = 25$, $Q_3 = 35$, Maximum = $50$.

Auf alle Daten wird die lineare Transformation $y = -2x + 100$ angewendet.

Berechne die neue Fünf-Zahlen-Zusammenfassung für die Variable $y$ und bestimme den neuen Interquartilsabstand. Achte besonders auf die Reihenfolge der Quartile bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl.

Die Gehälter (in Tausend Euro) von $200$ Beschäftigten sind in die folgenden Klassen eingeteilt:

• $[10;20)$: $40$ Beschäftigte

• $[20;30)$: $80$ Beschäftigte

• $[30;40)$: $60$ Beschäftigte

• $[40;50)$: $20$ Beschäftigte

Schätze die Werte von $Q_1$, $Me$ und $Q_3$ mithilfe linearer Interpolation innerhalb der Klassen, um den zugehörigen Boxplot skizzieren zu können.

Herausforderung des Themas. Beeinflussen Bildschirme unseren Lebensstil? Als angehender Datenanalyst bzw. angehende Datenanalystin untersuchst du in einem kurzen statistischen Bericht den Zusammenhang zwischen Handynutzung und Sport in deinem Umfeld.

1. Grundgesamtheit und Stichprobe: Lege die Grundgesamtheit der Untersuchung fest und befrage eine Stichprobe von mindestens 15 Mitschülerinnen und Mitschülern oder Familienmitgliedern. Erhebe pro Person zwei Daten: tägliche Bildschirmzeit in Stunden und ob die Person regelmäßig Sport treibt (Ja/Nein).

2. Vierfeldertafel: Fasse die Stunden in zwei Gruppen zusammen (zum Beispiel $\le 3,5$ h und $> 3,5$ h) und erstelle eine Kontingenztafel, die beide Merkmale in Beziehung setzt.

3. Kennwerte und Boxplot: Gib die stetigen Stundendaten in eine Tabellenkalkulation oder GeoGebra ein. Berechne arithmetisches Mittel, Median, Modalwert, Varianz und Standardabweichung. Erstelle den Boxplot und kennzeichne den Interquartilsabstand und mögliche Ausreißer.

4. Begründete Auswertung: Verfasse einen kurzen Bericht, in dem du die Streuung, die Repräsentativität der Stichprobe und einen möglichen Zusammenhang zwischen beiden Merkmalen deutest.

Bewertet wird:

• Richtige Bestimmung von Grundgesamtheit und Stichprobe sowie sorgfältige Erstellung der Kontingenztafel.

• Genauigkeit bei der digitalen Berechnung der Lagemaße (arithmetisches Mittel, Median, Modalwert) und Streuungsmaße (Varianz, Standardabweichung).

• Korrekte Erstellung und Interpretation des Boxplots.

• Sorgfalt und kritisches Urteilsvermögen bei den Schlussfolgerungen im Abschlussbericht.