Zusammengesetzte Figuren und Messaufgaben

Die Abbildung zeigt ein Haus, das aus einem Rechteck von $8$ m Breite und $5$ m Höhe und einem dreieckigen Dach von $3$ m Höhe besteht.

1. a) Berechne den Flächeninhalt des rechteckigen Teils.
2. b) Berechne den Flächeninhalt des dreieckigen Daches.
3. c) Wie groß ist der gesamte Flächeninhalt der Fassade?

Ein riesiger Buchstabe „T" für eine Fotowand besteht aus zwei Rechtecken: dem oberen Querbalken von $120$ cm Länge und $30$ cm Höhe und dem senkrechten Balken von $90$ cm Höhe und $30$ cm Breite, der unten mittig angesetzt ist.

1. a) Berechne den gesamten Flächeninhalt des Schildes.
2. b) Wenn das Material $8,50\ \text{€}$ pro Quadratmeter kostet, wie viel kostet das Schild? Gib den Flächeninhalt zuvor in $\text{m}^2$ an.

Ein pfeilförmiges Schild besteht aus einem Rechteck von $30$ cm Länge und $12$ cm Höhe (dem Schaft) und einem Dreieck mit der Grundseite $12$ cm und der Höhe $9$ cm (der Spitze).

1. a) Zeichne eine Skizze des Schildes in dein Heft.
2. b) Berechne den gesamten Flächeninhalt des Schildes.
3. c) Wenn die Vinylfolie zum Bedrucken $15\ \text{€}$ pro Quadratmeter kostet, wie viel kostet das Material für das Schild? Gib den Flächeninhalt zuvor in $\text{m}^2$ an.

Du kannst es auf Papier lösen und ein Foto deiner Antwort schicken.

Der Rahmen in der Abbildung ist ein Rechteck von $30$ cm mal $24$ cm, und das darin enthaltene Foto misst $24$ cm mal $18$ cm.

1. a) Berechne den Flächeninhalt des äußeren Rechtecks und den des Fotos.
2. b) Wie groß ist der Flächeninhalt des Rahmens (der orange Bereich)?
3. c) Wie breit ist der Rahmen oben? Begründe, wie du es berechnet hast.

Eine rechteckige Wand von $5$ m Breite und $2,5$ m Höhe mit einem Fenster von $1,5$ m mal $1,2$ m soll gestrichen werden.

1. a) Wie groß ist die Fläche, die gestrichen werden muss?
2. b) Ein Eimer Farbe reicht für $10\ \text{m}^2$ und kostet $24,90\ \text{€}$. Wie viele Eimer werden für zwei Anstriche benötigt? Wie viel kosten sie?

Um den Flächeninhalt der Fassade eines Hauses zu bestimmen, die aus einem Rechteck von $8$ m Breite und $5$ m Höhe mit einem dreieckigen Dach von $3$ m Höhe besteht, hat eine Schülerin $8 \cdot 5 + 8 \cdot 3 = 64$ gerechnet und $64\ \text{m}^2$ geantwortet.

1. a) Erkläre, welchen Fehler sie bei der Berechnung des Daches gemacht hat.
2. b) Berechne den richtigen Flächeninhalt der Fassade.
3. c) Die Fassade hat außerdem eine Tür von $2$ m mal $1$ m und ein quadratisches Fenster mit $1,5$ m Seitenlänge. Wie groß ist die Fläche, die gestrichen werden muss?

Um einen Wanderweg zu markieren, entwirft Lea ein Holzschild, indem sie zwei Teile ohne Überlappung zusammensetzt: ein Quadrat mit $10\text{ cm}$ Seitenlänge und auf dessen oberer Seite ein gleichseitiges Dreieck, ebenfalls mit $10\text{ cm}$ Seitenlänge.

Um ein Metallband zu bestellen, das den gesamten äußeren Rand schützt, rechnet Lea Folgendes:

„Umfang des Quadrats = $4 \cdot 10 = 40\text{ cm}$. Umfang des Dreiecks = $3 \cdot 10 = 30\text{ cm}$. Also brauche ich $40 + 30 = 70\text{ cm}$ Metallband."

1. a) Erkläre begründet, welchen Denkfehler Lea gemacht hat und welchen Teil der Figuren sie zu viel gezählt hat.
2. b) Wie viele Zentimeter Metallband werden tatsächlich benötigt, um den äußeren Rand des Schildes zu umrunden?
3. c) Wenn die Höhe des gleichseitigen Dreiecks ungefähr $8,7\text{ cm}$ beträgt, berechne den gesamten Flächeninhalt des Holzes, das das Schild hat.

Ein rechteckiger Raum von $4,5$ m mal $3,2$ m hat zwei Türen von je $0,9$ m Breite und einen Einbauschrank, der $1,8$ m einer Wand einnimmt.

1. a) Berechne den Umfang des Raumes.
2. b) Wie viele Meter Sockelleiste werden benötigt? Denke daran, dass an den Türöffnungen und dort, wo der Schrank steht, keine Sockelleiste angebracht wird.
3. c) Die Sockelleiste kostet $6,75\ \text{€}$ pro Meter und wird nur in Stangen von $2$ m verkauft. Wie viele Stangen müssen gekauft werden und wie viel kosten sie?

Der abgebildete Garten ist ein Rechteck von $12$ m mal $8$ m mit einem kreisförmigen Schwimmbecken mit $2$ m Radius im Inneren.

1. a) Berechne den Flächeninhalt des gesamten Gartens.
2. b) Berechne den Flächeninhalt des Schwimmbeckens (verwende $\pi \approx 3,14$).
3. c) Wie groß ist die verbleibende Rasenfläche?
4. d) Wie viele Meter Zaun werden benötigt, um den ganzen Garten zu umzäunen?

Die Abbildung zeigt eine Laufbahn, die aus zwei geraden Abschnitten von $80$ m und zwei Halbkreisen mit $20$ m Radius an den Enden besteht.

1. a) Wie lang ist jeder der beiden gekrümmten Abschnitte? Denke daran, dass zwei gleiche Halbkreise einen ganzen Kreis ergeben (verwende $\pi \approx 3,14$).
2. b) Berechne die Gesamtlänge einer vollständigen Runde auf der Bahn entlang des inneren Randes.
3. c) Die Bahnen sind $1,22$ m breit. Läuft eine Läuferin auf der Innenbahn dieselbe Strecke wie auf der Außenbahn? Begründe deine Antwort ohne Rechnung.

In einer Schule soll ein rechteckiger Erdhof von $24\text{ m}$ Länge und $16\text{ m}$ Breite zu einer Grünfläche mit Naturrasen umgestaltet werden. Innerhalb dieses Geländes müssen drei Bereiche ohne Rasen bleiben:

• Ein kreisförmiger Bereich um einen hundertjährigen Olivenbaum mit einem Radius von $3\text{ m}$.

• Zwei gleiche quadratische Bereiche für Schachtische mit je $4\text{ m}$ Seitenlänge.

(Verwende $\pi \approx 3,14$).

1. a) Modelliere die Situation und berechne die Nettofläche, die mit Rasen bedeckt wird.
2. b) Um den Rand des Kreises um den Olivenbaum und der beiden quadratischen Bereiche wird eine Schutzkante aus Gummi gelegt, die die Erde vom Rasen trennt. Wie viele laufende Meter Kante werden mindestens benötigt? Runde auf den nächsten ganzen Meter auf.
3. c) Es liegen zwei Angebote von Firmen aus der Region vor:

• Firma VerdeSur: berechnet eine Pauschale von $750\text{ €}$ für Transport und Planieren des Bodens, dazu $8,50\text{ €}$ pro Quadratmeter verlegten Rasen.

• Firma EcoJardín: berechnet keine Pauschale, stellt aber $11,00\text{ €}$ pro Quadratmeter verlegten Rasen in Rechnung.

Welche der beiden Firmen ist für die Schule günstiger? Begründe deine Entscheidung, indem du die Gesamtbeträge beider Angebote vergleichst.

Im Gitter der Abbildung stellt jedes Quadrat $1\ \text{cm}^2$ dar. Die blaue Linie ist der Rand eines kleinen Sees.

1. a) Zähle die Quadrate, die vollständig im See liegen.
2. b) Zähle die Quadrate, die der See nur teilweise berührt.
3. c) Gib eine Schätzung des Flächeninhalts des Sees an und erkläre, nach welchem Kriterium du vorgegangen bist.

Im Fach Biologie und Geologie haben sie auf einem karierten Plan einen kleinen Teich für Amphibien im Schulgarten entworfen. Auf dem Plan stellt jedes Quadrat des Gitters $1\text{ m}^2$ dar.

Der Teich hat eine unregelmäßige Form und liegt vollständig innerhalb eines rechteckigen Bereichs von $5\text{ m}$ Länge und $4\text{ m}$ Breite. Beim Zählen auf dem Plan bedeckt der Teich $9$ ganze Quadrate vollständig und berührt oder bedeckt teilweise weitere $8$ Quadrate.

1. a) Schätze zuerst: Ist es möglich, dass der Flächeninhalt des Teichs $22\text{ m}^2$ beträgt? Begründe deine Antwort, indem du nur das Rechteck betrachtest, das ihn enthält.
2. b) Gib an, zwischen welchen zwei Werten (Minimum und Maximum) der tatsächliche Flächeninhalt des Teichs mit Sicherheit liegt.
3. c) Wende das Kriterium an, zu den vollständigen Quadraten die Hälfte der teilweise bedeckten Quadrate zu addieren, um eine Schätzung des Flächeninhalts zu erhalten. Beurteile, ob das Ergebnis zu deiner Überlegung in Teil a) passt.

Auf ein kariertes Papier mit Quadraten von $1\ \text{cm}^2$ ist ein Tintenfleck gefallen. Beim genauen Zählen bedeckt der Fleck $14$ Quadrate vollständig und berührt teilweise weitere $18$.

1. a) Zwischen welchen zwei Werten liegt der Flächeninhalt des Flecks sicher? Begründe deine Antwort.
2. b) Gib eine vernünftige Schätzung des Flächeninhalts an und erkläre, nach welchem Kriterium du vorgegangen bist.
3. c) Wie groß kann der Fehler deiner Schätzung höchstens sein?

An einer Wand soll ein Wandbild in Form des Buchstabens „L" entstehen, das aus zwei Rechtecken besteht: einem senkrechten von $3$ m Höhe und $0,8$ m Breite und einem waagerechten von $1,6$ m Länge und $0,8$ m Höhe, das am unteren Ende des ersten nach rechts abgeht, ohne sich mit ihm zu überlappen.

1. a) Fertige eine Skizze an und berechne den gesamten Flächeninhalt des Wandbildes.
2. b) Die Farbe für das Wandbild wird in Eimern gekauft, die jeweils $2\ \text{m}^2$ abdecken. Wie viele Eimer werden benötigt?
3. c) Wie groß ist der äußere Umfang des Wandbildes?

Du kannst es auf Papier lösen und ein Foto deiner Antwort schicken.

Der Gemeinschaftshof eines Wohnhauses hat die Form eines „L". Man kann ihn geometrisch als großes Rechteck von $12\text{ m}$ Länge und $8\text{ m}$ Breite beschreiben, dem an einer Ecke eine rechteckige Aussparung von $5\text{ m}$ Länge und $3\text{ m}$ Breite fehlt, die vom Zählerhäuschen eingenommen wird.

1. a) Methode 1 (durch Subtraktion): Berechne den Flächeninhalt des Hofes, indem du den Flächeninhalt der Aussparung vom Flächeninhalt des großen Rechtecks abziehst.
2. b) Methode 2 (durch Zerlegung): Teile den Hof in Gedanken durch einen geraden Schnitt in zwei Rechtecke. Schreibe die Maße der beiden gewählten Rechtecke auf, berechne ihre Flächeninhalte getrennt und addiere sie, um zu prüfen, dass du dasselbe Ergebnis erhältst.
3. c) Wenn du den äußeren Umfang des ganzen Hofes berechnen solltest, hilft dir dann eine der bisherigen Flächenberechnungen direkt weiter oder musst du anders vorgehen? Begründe, welche Methode dir für den Flächeninhalt am bequemsten erschien und warum.

Die Gemeinde will den Belag der Skaterbahn des Sportzentrums erneuern. Die Bahn besteht aus einem mittleren Rechteck von $25\text{ m}$ Länge und $12\text{ m}$ Breite und zwei halbkreisförmigen Flächen, die an den beiden kürzeren Seiten anschließen (jeder Halbkreis hat einen Durchmesser von $12\text{ m}$, also einen Radius von $6\text{ m}$).

Zum Schutz des Bodens wird ein Kunstharz mit den folgenden technischen Angaben aufgetragen:

• Pro Quadratmeter Bahn werden $0,4\text{ kg}$ Harz benötigt.

• Das Produkt wird nur in Fässern zu $10\text{ kg}$ verkauft.

• Jedes Fass kostet $45,80\text{ €}$.

(Verwende $\pi \approx 3,14$).

1. a) Welche vollständige geometrische Figur bilden die beiden halbkreisförmigen Enden zusammen? Berechne den gesamten Flächeninhalt der Skaterbahn.
2. b) Wie viele Kilogramm Harz werden mindestens benötigt, um die ganze Fläche zu bedecken?
3. c) Wie viele ganze Fässer muss die Gemeinde kaufen und wie hoch sind die Gesamtkosten für die Farbe?

Ein rechteckiges Schwimmbecken von $10$ m Länge und $4$ m Breite ist von einem $1,5$ m breiten Gehweg umgeben.

1. a) Wie lang und wie breit ist die gesamte Anlage (Becken plus Gehweg)? Fertige eine Skizze in deinem Heft an.
2. b) Berechne den Flächeninhalt des Gehwegs.
3. c) Die Gehwegplatten kosten verlegt $32,90\ \text{€}$ pro Quadratmeter. Wie viel kostet es, den Gehweg zu pflastern?
4. d) Aus Sicherheitsgründen soll der gesamte äußere Rand eingezäunt werden. Wenn der Zaun $14,50\ \text{€}$ pro Meter kostet, wie hoch sind die Gesamtkosten der Arbeiten (Pflaster plus Zaun)?

Du kannst es auf Papier lösen und ein Foto deiner Antwort schicken.

Ein trapezförmiger Park hat eine lange Grundseite von $50$ m, eine kurze Grundseite von $30$ m und eine Höhe von $24$ m. In seinem Inneren befindet sich ein dreieckiger Spielbereich mit $18$ m Grundseite und $12$ m Höhe; der Rest ist Rasen.

1. a) Berechne den gesamten Flächeninhalt des Parks.
2. b) Berechne den Flächeninhalt der Rasenfläche.
3. c) Zum Aussäen des Rasens braucht man $1$ kg Saatgut pro $40\ \text{m}^2$, und das Saatgut wird in Säcken zu $5$ kg für $22,40\ \text{€}$ pro Sack verkauft. Wie viele Säcke müssen gekauft werden und wie viel kosten sie?

Ein Renovierungsbetrieb will die Fassade einer landwirtschaftlichen Halle streichen. Die Fassade besteht aus einer rechteckigen Wand von $10\text{ m}$ Breite und $4\text{ m}$ Höhe, die oben von einem dreieckigen Giebel mit der Grundseite $10\text{ m}$ und der unbekannten Höhe $h$ abgeschlossen wird.

In der rechteckigen Wand befinden sich eine Eingangstür von $3\text{ m}$ Breite und $3\text{ m}$ Höhe und zwei quadratische Lüftungsfenster mit je $1,5\text{ m}$ Seitenlänge. Weder die Tür noch die Fenster werden gestrichen.

1. a) Schreibe einen vereinfachten Term auf, der den zu streichenden Nettoflächeninhalt in Abhängigkeit von der Höhe $h$ des dreieckigen Daches darstellt.
2. b) Auf der Schlussrechnung steht, dass genau $46,5\text{ m}^2$ Fassade gestrichen wurden. Stelle mithilfe deines Terms eine Gleichung auf und berechne die Höhe $h$ des dreieckigen Giebels.
3. c) Zum Abschluss der Arbeiten wird an den beiden schrägen Seiten des dreieckigen Daches eine Metallrinne angebracht. Wenn jede dieser Seiten $6,4\text{ m}$ lang ist, wie groß ist dann der gesamte äußere Umfang der fertigen Fassade?

Aus einem quadratischen Stück Karton mit $8$ cm Seitenlänge wird ein kleines Quadrat mit $2$ cm Seitenlänge ausgeschnitten.

1. a) Berechne den Flächeninhalt der entstehenden Figur. Hängt er davon ab, wo der Ausschnitt gemacht wird?
2. b) Berechne den Umfang der entstehenden Figur in jedem dieser drei Fälle: Der Ausschnitt befindet sich an einer Ecke, in der Mitte einer Seite und im Inneren des Kartons (ein Loch).
3. c) Ein Schüler behauptet: „Wenn man von einer Figur ein Stück wegnimmt und der Flächeninhalt dadurch kleiner wird, wird auch der Umfang immer kleiner." Stimmt das? Begründe mit deinen Ergebnissen aus Teil b).

Themenprojekt. Entwirf deine Traumecke! Du planst den Umbau deines Zimmers oder eines Raumes in deinem Zuhause und wendest dabei die ebene Geometrie auf eine reale Situation an.

1. Echte Messung: Miss mit einem Maßband die Länge und die Breite des Raumes (nimm an, er sei rechteckig) und bestimme genau seinen Umfang und seinen gesamten Flächeninhalt in $\text{m}^2$.

2. Maßstabsgetreuer Entwurf: Zeichne in GeoGebra oder auf kariertem Papier die neue Einteilung. Du musst unbedingt Folgendes einbauen: einen dreieckigen Tisch, einen viereckigen Teppich und einen Sitzsack oder eine Lampe mit kreisförmiger oder halbkreisförmiger Grundfläche.

3. Geometrische Berechnungen: Bestimme den Umfang und den Flächeninhalt jedes ebenen Elements. Ermittle anschließend die freie begehbare Fläche, indem du die Aufgabe zu zusammengesetzten Figuren löst (Möbel von der Gesamtfläche abziehen).

4. Kostenplan und Bericht: Suche auf der Website eines Baumarkts den Preis pro $\text{m}^2$ für einen Vinylboden (zum Beispiel $8,95\text{ €/m}^2$) und berechne die Kosten, die freie Fläche damit zu belegen. Verfasse einen kurzen einseitigen Bericht mit dem Plan und den begründeten Berechnungen.

Bewertet wird:

• Richtigkeit beim Erfassen der realen Maße und bei der Anwendung der Formeln für Umfang und Flächeninhalt mit den passenden Einheiten.

• Passende und begründete Konstruktion von Dreiecken, Vierecken und Kreisen.

• Korrekte Berechnung des zusammengesetzten Flächeninhalts und der Schätzung der Endkosten.