Rechnen mit Polynomen

In einem Strategiespiel ist dein Inventar auf zwei Truhen verteilt. Der Inhalt der ersten Truhe ist durch das Polynom $P(x) = 5x^2 + 3x - 4$ gegeben und der der zweiten durch $Q(x) = 2x^2 - 5x + 8$, wobei $x$ die Seltenheitsstufe der Gegenstände darstellt. Berechne das Gesamtpolynom, das die Summe der beiden Truhen darstellt: $P(x) + Q(x)$.

Zur Organisation eines E-Sports-Events verwendet ein Unternehmen den Term $G(x) = 10x^2 - 4x + 100$ zur Berechnung seiner Ausgaben und $I(x) = 15x^2 + 2x$ zur Berechnung seiner Einnahmen (wobei $x$ die Anzahl der Sponsoren ist). Bestimme das Polynom, das den Nettogewinn darstellt, wenn du weißt, dass der Gewinn die Differenz aus Einnahmen und Ausgaben ist: $I(x) - G(x)$.

Lea hat in ihrem Heft die folgende Subtraktion von Polynomen gelöst: $(5x^2 - 3x + 4) - (2x^2 - 7x - 1)$. Im letzten Schritt hat sie als Ergebnis $3x^2 - 10x + 3$ geschrieben. Erkläre, welche zwei Vorzeichenfehler sie bei der Anwendung der Regel für die Subtraktion von Polynomen gemacht hat, erläutere, warum sie entstehen, und schreibe die richtige Rechnung Schritt für Schritt bis zum endgültigen zusammengefassten Polynom auf.

Führe die folgende Operation durch, indem du das Monom mit dem Polynom multiplizierst (mit dem Distributivgesetz):

$3x^2 \cdot (2x^3 - 4x + 5)$

Führe die folgenden Multiplikationen von Polynomen durch und fasse gleichartige Terme zusammen:

1. a) $3x \cdot (2x^2 - 5x + 4)$
2. b) $(-2x^2) \cdot (x^3 - 3x^2 + 7)$
3. c) $(x + 3) \cdot (x^2 - 2x + 5)$
4. d) $(2x - 1) \cdot (3x^2 + x - 2)$

Ein junger Designer entwirft ein Logo für sein Modelabel. Das zentrale Logo ist ein Rechteck wie in der Abbildung. Bestimme das Polynom, das den gesamten Flächeninhalt der Figur darstellt.

Berechne den Flächeninhalt der schraffierten Fläche in der folgenden Abbildung. Die Abbildung zeigt eine rechteckige Metallplatte, aus der ein inneres Rechteck herausgeschnitten wurde, um Platz für ein elektronisches Bauteil zu schaffen. Gib das Ergebnis als Polynom in Abhängigkeit von $x$ an.

Zusätzliche Angaben:

• Äußere Breite: $5x + 3$

• Äußere Höhe: $3x$

• Innere Breite: $x + 2$

• Innere Höhe: $x$

In der Mitte eines quadratischen Gartens mit der Seitenlänge $2x + 5$ Meter wurde ein rechteckiges Schwimmbecken angelegt, das $x + 2$ Meter lang und $x - 1$ Meter breit ist. Bestimme das Polynom, das den Flächeninhalt der Rasenfläche (des Teils des Gartens, den das Becken nicht einnimmt) darstellt.

In einem Videospielgeschäft wird der Bestand dreier verschiedener Kategorien durch die folgenden Polynome ausgedrückt, wobei $x$ die Anzahl der Neuerscheinungen dieses Monats darstellt:

• Action: $A(x) = 3x^2 + 5x - 8$

• Abenteuer: $B(x) = -x^2 + 2x + 10$

• Strategie: $C(x) = 2x^2 - 4x + 1$

Berechne die folgenden Terme und vereinfache das Ergebnis:

1. a) Die Gesamtzahl der Videospiele im Geschäft: $A(x) + B(x) + C(x)$
2. b) Die Differenz zwischen den Action- und den Abenteuerspielen: $A(x) - B(x)$
3. c) Wie viele Strategiespiele blieben übrig, wenn die Hälfte einer Lieferung der Größe $4x^2 - 2x$ verkauft wird? Berechne: $C(x) - (2x^2 - x)$

Gegeben ist der folgende kombinierte Term mit Polynomen. Rechne und vereinfache, bis du ein einziges Polynom erhältst, das nach absteigendem Grad geordnet ist:

$P(x) = 2x \cdot (x^2 - 3x + 1) - (x - 4) \cdot (2x + 5)$

Berechne den folgenden Term und fasse das resultierende Polynom so weit wie möglich zusammen. Achte besonders auf die Rangfolge der Rechenoperationen und auf Klammern mit negativem Vorzeichen davor:

$(2x^2 - 5) \cdot (x + 3) - (x - 4)^2 + 3x \cdot (x^2 - 2x + 1)$

Wende die binomischen Formeln an, um die folgenden Terme direkt auszumultiplizieren, ohne die Multiplikation Schritt für Schritt auszuführen:

1. a) $(3x + 4)^2$
2. b) $(5x - 2y)^2$
3. c) $(2x^2 + 1) \cdot (2x^2 - 1)$
4. d) $(\frac{1}{2}x + 6)^2$

Ein Architekt entwirft einen quadratischen Platz mit der Seitenlänge $L = 2x + 5$ Meter. In der Mitte möchte er einen ebenfalls quadratischen Brunnen mit der Seitenlänge $l = x - 3$ Meter platzieren.

1. a) Multipliziere den Term für den Flächeninhalt des Platzes mithilfe der binomischen Formeln aus: $(2x + 5)^2$
2. b) Multipliziere den Term für den Flächeninhalt des Brunnens mithilfe der binomischen Formeln aus: $(x - 3)^2$
3. c) Berechne das Polynom, das die Fläche des Platzes darstellt, die zum Gehen frei bleibt (Flächeninhalt Platz − Flächeninhalt Brunnen).

Wende die binomischen Formeln an, um den folgenden Term auszumultiplizieren und zu vereinfachen:

$3 \cdot (2x + \frac{1}{2})^2 - 2 \cdot (3x - 1) \cdot (3x + 1)$

Klammere in den folgenden einfachen Termen den gemeinsamen Faktor aus:

• a) $4x^2 + 8x$

• b) $5a^3 - 10a^2 + 15a$

Ausklammern ist der umgekehrte Vorgang zum Distributivgesetz. Analysiere die folgenden Terme und klammere alle möglichen gemeinsamen Faktoren aus (Zahlen und Buchstaben):

1. a) $12x^4 - 8x^3 + 4x^2$
2. b) $15a^3b^2 - 10a^2b$
3. c) $9x^2y - 3xy^2 + 6xy$
4. d) $7x^5 - 14x^2$

Vereinfache den folgenden Bruchterm, indem du zuerst im Zähler und im Nenner ausklammerst:

$\frac{12x^4 - 18x^3 + 6x^2}{6x^3 - 6x^2}$

Bestimme die wichtigsten Bestandteile des folgenden Polynoms:

$P(x) = -7x^4 + 2x^3 - x + 12$

• a) Welchen Grad hat es?

• b) Wie lautet der Leitkoeffizient?

• c) Wie lautet das absolute Glied?

• d) Wie viele Terme hat es?

Berechne den Wert des Polynoms $A(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ für die folgenden Fälle:

• a) Für $x = 0$

• b) Für $x = 1$

Betrachte die folgende Skizze einer rechteckigen Skatebahn. Schreibe das zusammengefasste Polynom auf, das den Umfang der Bahn in Abhängigkeit von $x$ darstellt.

Du sollst das Produkt der Polynome $P(x) = 3x^2 - 2$ und $Q(x) = 2x^2 + 5x - 4$ berechnen. Beantworte die folgenden Fragen vor und nach der vollständigen Multiplikation:

1. a) Bestimme, bevor du Term für Term ausmultiplizierst, welchen Grad das Ergebnispolynom $P(x) \cdot Q(x)$ haben muss und wie sein absolutes Glied lauten muss. Erkläre deine Überlegung.
2. b) Deine Mitschülerin Alba behauptet, ohne die Rechnung anzusehen, das Ergebnis sei $6x^5 + 15x^3 - 4x^2 - 10x - 8$. Welche zwei unmittelbaren Gründe, die auf deiner vorherigen Überlegung beruhen, zeigen, dass ihr Ergebnis unmöglich ist, ohne das Produkt auszumultiplizieren?
3. c) Berechne das vollständige Produkt mit dem Distributivgesetz, fasse gleichartige Terme zusammen und überprüfe, ob deine Einschätzung aus Teilaufgabe a) richtig war.

In einem Labor folgt das Wachstum einer Bakterienpopulation $A$ dem Polynom $A(t) = 2t^2 + 10t + 50$, wobei $t$ die Zeit in Stunden ist. Eine andere Population $B$ wächst nach dem Polynom $B(t) = t^2 - 5t$.

Wenn die Wissenschaftler das Verhalten einer Mischkultur kennen müssen, die durch die Operation $C(t) = 3 \cdot A(t) - 2 \cdot B(t)$ definiert ist, wie lautet dann das vereinfachte Polynom, das diese Population $C$ darstellt?

Beim Abwischen der Tafel am Ende der Mathestunde ist das Polynom $P(x)$ verschwunden, das die folgende Gleichung vervollständigte: $(2x^2 - 3x + 5) - P(x) + 3x \cdot (x - 2) = -x^2 + x + 9$.

1. a) Löse algebraisch nach $P(x)$ auf, ohne Zahlen zu raten, sodass es auf einer Seite der Gleichung allein steht.
2. b) Multipliziere die Produkte aus und fasse gleichartige Terme zusammen, um das Polynom $P(x)$ in geordneter und vereinfachter Form zu erhalten.
3. c) Überprüfe, ob deine Antwort richtig ist, indem du das erhaltene Polynom $P(x)$ auf der linken Seite der ursprünglichen Gleichung einsetzt und kontrollierst, dass es mit der rechten Seite übereinstimmt.

Bestimme den Wert des Koeffizienten $k$ im Polynom $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 5x - 4$, wenn du weißt, dass die Berechnung seines Funktionswerts für $x = 2$ das Ergebnis $10$ liefert.