Zinsrechnung mit Tabellenkalkulation

Eine Formel in der Tabelle

Eine Tabellenkalkulation besteht aus Zellen. Jede Zelle hat einen Namen aus Spalte (Buchstabe) und Zeile (Zahl): B1 ist die Zelle in Spalte B, Zeile 1.

Eine Formel beginnt immer mit einem Gleichheitszeichen. Statt Zahlen kannst du Zellnamen verwenden: =B1*1,03 rechnet den Wert aus B1 mal $1{,}03$. (In deutschsprachigen Programmen schreibst du das Dezimalkomma; in manchen Programmen wird die Formel mit Punkt angezeigt.)

Warum $1{,}03$? Bei $3\,\%$ Zinsen wächst das Kapital um $3\,\%$. Der Wachstumsfaktor ist $q = 1 + \frac{3}{100} = 1{,}03$. Das Kapital nach einem Jahr ist also $K_1 = K_0 \cdot q$.

Formeln nach unten kopieren und feste Bezüge

Der große Vorteil: Du schreibst die Formel einmal und ziehst sie nach unten. Das Programm passt die Zellnamen dabei automatisch an. Aus =C2*1,03 in C3 wird in C4 die Formel =C3*1,03. Das nennt man einen relativen Bezug: Er „wandert“ mit.

Meistens soll der Zinssatz aber in einer eigenen Zelle stehen, damit man ihn leicht ändern kann. Dann darf dieser Bezug nicht wandern. Dafür setzt man vor Spalte und Zeile ein Dollarzeichen: $B$1. Das ist ein absoluter Bezug.

Beim Kopieren nach unten ändert sich C4 zu C5, C6 usw. (relativ), aber $B$1 bleibt immer gleich (absolut).

Zinseszins in der Tabelle

Beim Zinseszins werden die Zinsen mit verzinst. Jedes Jahr wird das Kapital mit demselben Faktor $q$ multipliziert:

Bei einfachen Zinsen werden die Zinsen dagegen jedes Jahr entnommen. Es kommen jedes Jahr gleich viele Euro dazu: $Z = K_0 \cdot \frac{p}{100}$.

In der Tabelle: Für A schreibst du =C4*(1+$B$1) und kopierst nach unten. Für B schreibst du in der Spalte D =D4+$B$2*$B$1, wobei B2 das Startkapital und B1 der Zinssatz ist. Nur diese beiden Zellen ($B$2 und $B$1) sind absolut, denn die Zinsen beziehen sich immer auf das Startkapital. Der Bezug auf die Vorzeile (D4) bleibt relativ, denn er wandert beim Kopieren nach unten mit.

Probieren: Wie lange dauert es?

Wie lange braucht Mia, bis aus $1.000\text{ €}$ bei $3\,\%$ mindestens $1.200\text{ €}$ geworden sind? Die Gleichung $1000 \cdot 1{,}03^n = 1200$ kannst du in Klasse 8 noch nicht nach $n$ auflösen. Aber mit einer Tabelle kannst du $n$ systematisch probieren: Du berechnest $K_n$ für viele $n$ und suchst die erste Zeile, in der das Ziel erreicht ist.

Nach 6 Jahren fehlen noch knapp $6\text{ €}$, nach 7 Jahren ist das Ziel erreicht. Antwort: Nach 7 Jahren hat Mia mehr als $1.200\text{ €}$.

Auch der Zinssatz lässt sich so eingrenzen: Du testest z. B. $2\,\%$, $3\,\%$, $4\,\%$ und stellst fest, zwischen welchen zwei Werten das Ziel erreicht wird. Danach probierst du feinere Schritte (z. B. $3{,}1\,\%$, $3{,}2\,\%$ …).

Regelmäßig einzahlen

Oft kommt jedes Jahr noch eine Einzahlung dazu. Dann gilt für das Kapital am Ende eines Jahres: erst verzinsen, dann die Einzahlung addieren.

Zurück zum Anfang: Mias $1.000\text{ €}$ bei $3\,\%$ verdoppeln sich nach 24 Jahren. Mit einer Tabelle erkennst du das durch Probieren: $1000 \cdot 1{,}03^{23} \approx 1.973{,}59$, $1000 \cdot 1{,}03^{24} \approx 2.032{,}79$.

Auf einen Blick

• Formeln beginnen mit =; Zellnamen wie B1 stehen für Zahlen.

• Beim Kopieren nach unten wandern relative Bezüge mit; mit $B$1 bleibt ein Bezug fest.

• Zinseszins: $K_n = K_0 \cdot q^n$ mit $q = 1 + \frac{p}{100}$. In der Tabelle: =C2*(1+$B$1).

• Einfache Zinsen: jedes Jahr dieselben Zinsen $Z = K_0 \cdot \frac{p}{100}$.

• Laufzeit $n$ und Zinssatz $p$ findest du durch systematisches Probieren; antworte mit dem ersten vollen Jahr, in dem das Ziel erreicht ist.

• Bei jährlicher Einzahlung: $K_{n+1} = K_n \cdot q + E$.