Volumen

Für ein Klassenprojekt sollst du abschätzen, wie viel Wasser in deinen Schulrucksack passt. Angenommen, dein Rucksack hat ein Fassungsvermögen von $18.500 \text{ cm}^3$. Wie viele Liter Wasser könnte er enthalten, wenn er völlig wasserdicht wäre?

Denke daran, dass $1 \text{ dm}^3$ gleichbedeutend mit $1 \text{ Liter}$ ist.

Du hast beschlossen, für ein Naturwissenschaftsprojekt eine Ameisenfarm aus Gel zu bauen. Der Behälter hat die Form eines Quaders mit den Maßen $25\text{ cm}$ Länge, $10\text{ cm}$ Breite und $18\text{ cm}$ Höhe. Wenn das Gel in Dosen zu $0,5\text{ Liter}$ verkauft wird, wie viele volle Dosen musst du kaufen, um die Ameisenfarm bis zu einer Höhe von $15\text{ cm}$ zu füllen?

Ein städtisches Schwimmbecken in Form eines Quaders hat ein Fassungsvermögen von $1200\text{ m}^3$. Wir wissen, dass das Becken $50\text{ Meter}$ lang und $12\text{ Meter}$ breit ist. Berechne die Tiefe (Höhe) des Beckens. Wenn die Stadt aus Sicherheitsgründen beschließt, es nur bis zu $4/5$ seines Fassungsvermögens zu füllen, wie viele Liter Wasser sind dann im Becken?

Du hast ein neues Smartphone gekauft und möchtest das Volumen der Verpackung berechnen, um zu wissen, wie viel Platz sie in deinem Regal einnimmt. Die Verpackung ist ein Quader mit den folgenden Maßen: $16 \text{ cm}$ lang, $9 \text{ cm}$ breit und $5 \text{ cm}$ hoch. Berechne ihr Volumen in $\text{cm}^3$.

Du bist mit deinen Freunden zelten und ihr habt ein Zelt in Form eines geraden dreiseitigen Prismas. Die Grundfläche des Zeltes (der Boden) ist ein Dreieck mit der Grundseite $2 \text{ m}$ und der Höhe $1,5 \text{ m}$. Das Zelt hat eine Länge (Tiefe) von $3 \text{ m}$. Wie groß ist das Luftvolumen im Zelt?

Für einen Skate-Park soll eine Betonrampe gebaut werden. Die Rampe hat die Form eines geraden Prismas, dessen Grundfläche ein rechtwinkliges Trapez ist. Die parallelen Seiten des Trapezes messen $3\text{ m}$ und $1\text{ m}$, seine Höhe (Länge der Rampe am Boden) beträgt $5\text{ m}$. Wenn die Breite der Rampe $4\text{ m}$ beträgt, berechne, wie viele Kubikmeter Beton benötigt werden und wie hoch die Gesamtkosten sind, wenn der Preis $95\text{ €/m}^3$ beträgt.

Eine Zerspanungswerkstatt soll massive Bronzeteile in Form eines geraden Prismas mit regelmäßig sechseckiger Grundfläche herstellen. Die Höhe des Teils beträgt $15\text{ cm}$, die Seitenlänge des Sechsecks der Grundfläche misst $8\text{ cm}$ und die Apothema der Grundfläche misst etwa $6,93\text{ cm}$. Zwei Praktikanten schlagen zwei Methoden vor, um das Metallvolumen zu berechnen:

• Methode 1 (Markus): Er berechnet den Flächeninhalt des Sechsecks mit der üblichen Formel für regelmäßige Vielecke ($A = \frac{perímetro \cdot apotema}{2}$) und multipliziert ihn mit der Höhe des Prismas.

• Methode 2 (Sarah): Sie zerlegt das sechseckige Prisma gedanklich in $6$ identische gerade dreiseitige Prismen, deren Grundfläche ein Dreieck mit der Grundseite $8\text{ cm}$ und der Höhe $6,93\text{ cm}$ ist, berechnet das Volumen eines davon und multipliziert es mit $6$.

1. a) Wende beide Methoden numerisch an und prüfe, ob sie genau zum selben Ergebnis führen.
2. b) Begründe algebraisch, warum beide Methoden mathematisch gleichwertig sind, indem du ihre allgemeinen Formeln untersuchst.
3. c) Im endgültigen Entwurf wird beschlossen, das Teil von oben nach unten mit einer zentralen zylindrischen Bohrung mit dem Durchmesser $4\text{ cm}$ zu durchbohren, um Gewicht zu sparen. Welche der beiden Methoden lässt sich am besten anpassen, um das Volumen des verbleibenden Metalls zu berechnen? Erkläre deine Wahl und berechne das Endvolumen des durchbohrten Teils (verwende $\pi \approx 3,14$).

Eine bekannte Limonadenmarke verwendet zylinderförmige Dosen für ihre Getränke. Der Radius der Grundfläche der Dose beträgt $3 \text{ cm}$ und ihre Höhe beträgt $12 \text{ cm}$. Berechne das Volumen an Limonade, das in die Dose passt. (Verwende $\pi \approx 3,14$.)

Das Prinzip von Cavalieri besagt: Zwei Körper mit derselben Höhe, deren Querschnitte in gleichem Abstand von der Grundfläche denselben Flächeninhalt haben, besitzen dasselbe Volumen. Vergleiche ein regelmäßiges sechsseitiges Prisma mit der Höhe $20\text{ cm}$ und dem Grundflächeninhalt $30\text{ cm}^2$ mit einem Zylinder mit derselben Höhe und demselben Grundflächeninhalt. Wenn wir in jeden $0,5\text{ Liter}$ Wasser gießen, welcher füllt sich zuerst? Begründe deine Antwort, indem du das Volumen beider Körper berechnest.

Ein industrielles Stahlteil hat die Form eines Quaders mit den Maßen $10\text{ cm} \times 8\text{ cm} \times 6\text{ cm}$. Um sein Gewicht zu verringern, wurde eine zylindrische Bohrung angebracht, die das Teil über seine größte Fläche von oben nach unten durchdringt. Der Radius des Zylinders beträgt $2\text{ cm}$. Die Dichte von Stahl beträgt $7,85\text{ g/cm}^3$. Berechne die Gesamtmasse des Teils in Kilogramm. (Verwende $\pi \approx 3,14$.)

Für eine Geburtstagsparty wurden Partyhüte aus Karton in Kegelform hergestellt. Jeder Hut hat einen Radius von $8 \text{ cm}$ und eine Höhe von $15 \text{ cm}$. Welches Luftvolumen ist im Hut „eingeschlossen“, wenn jemand ihn aufhat? (Verwende $\pi \approx 3,14$.)

Ein Parfümhersteller bringt einen Duft in einem Flakon in Form eines geraden Kegels auf den Markt. Der Radius der Grundfläche beträgt $3\text{ cm}$ und die Mantellinie misst $5\text{ cm}$. Berechne das Volumen des Parfüms, das in den Flakon passt, in Kubikzentimetern. Hilfe: Du musst zuerst die Höhe des Kegels mit dem Satz des Pythagoras bestimmen.

Berechne das Volumen einer geraden sechseckigen Pyramide, deren Seitenkante $13\text{ cm}$ misst und deren Grundseite $10\text{ cm}$ misst. Denke daran, dass in einem regelmäßigen Sechseck der Umkreisradius gleich der Seitenlänge ist. Gib das Ergebnis in $cm^3$ an und runde auf ganze Zahlen.

Ein Tischtennisball hat einen Radius von $2 \text{ cm}$. Berechne das Volumen des Tischtennisballs in $\text{cm}^3$. (Verwende die Formel für das Kugelvolumen $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ und setze $\pi \approx 3,14$.)

In einem Wissenschaftsmuseum gibt es eine interaktive Ausstellung mit einer Glaskugel, die mit einem Edelgas gefüllt ist. Wenn der Durchmesser der Kugel $60\text{ cm}$ beträgt, wie groß ist das Gasvolumen in ihrem Inneren? Gib das Ergebnis in Kubikmetern ($m^3$) an.

Im Physiklabor tauchen die Schülerinnen und Schüler eine Bleikugel vollständig in ein zylindrisches Gefäß, das bis zur Hälfte mit Wasser gefüllt ist. Der Radius des Gefäßes beträgt $10\text{ cm}$. Beim Eintauchen der Kugel steigt der Wasserspiegel genau um $4,5\text{ cm}$, ohne überzulaufen. Wie groß ist der Radius der Bleikugel? Gib das Ergebnis in Zentimetern mit zwei Dezimalstellen an.

Ein Getreidesilo hat eine zusammengesetzte Form: einen zylindrischen Körper mit der Höhe $10\text{ m}$ und oben eine halbkugelförmige Kuppel. Wenn der Radius der Grundfläche $4\text{ m}$ beträgt, berechne das gesamte Fassungsvermögen des Silos in Hektolitern ($hl$).

Ein Designer hat für ein eSports-Turnier einen Pokal mit einer komplexen geometrischen Form entworfen. Der Pokal besteht aus einem geraden Holzprisma mit quadratischer Grundfläche, auf dem eine gerade Metallpyramide mit quadratischer Grundfläche steht. Die Kante der gemeinsamen Grundfläche misst $12\text{ cm}$. Die Höhe des Prismas beträgt $20\text{ cm}$ und die Seitenkante der Pyramide misst $10\text{ cm}$. Berechne das Gesamtvolumen des Pokals in Kubikdezimetern ($dm^3$).

Ein Eishersteller möchte zwei Behälter vergleichen. Der erste hat die Form eines Kegels mit dem Radius $6\text{ cm}$ und der Höhe $15\text{ cm}$. Der zweite ist ein Zylinder mit demselben Radius und derselben Höhe, der aber eine Halbkugel aus Schokolade enthält, die den unteren Teil ausfüllt. Wenn der Radius der Halbkugel ebenfalls $6\text{ cm}$ beträgt, welcher der beiden Behälter hat das größere für das Vanilleeis verfügbare Volumen? Begründe deine Antwort durch Rechnung.