Binomische Formeln

In einer Klassenarbeit der Klasse 7 hat Lea den Term $(2x - 3)^2$ ausmultipliziert und direkt $4x^2 - 9$ aufgeschrieben. Ihr Lehrer hat ihr gesagt, dass die Antwort falsch ist, weil sie in diesem einen Schritt zwei Denkfehler enthält.

1. a) Finde die beiden Fehler, die Lea gemacht hat (einen beim Vorzeichen des letzten Summanden und einen bei den fehlenden Termen im Ergebnis).
2. b) Wende das Distributivgesetz an, indem du $(2x - 3) \cdot (2x - 3)$ Term für Term ausmultiplizierst, um ihr klar zu erklären, woher jeder Summand kommt, und schreibe den richtigen, vereinfachten Term auf.

Lea möchte einen quadratischen Teppich für ihr Zimmer entwerfen. Die Seitenlänge des Teppichs beträgt $(x + 4)$ Meter.

1. a) Schreibe den Flächeninhalt des Teppichs als Quadrat eines Binoms auf.
2. b) Multipliziere das Binom aus, um das Polynom zu erhalten, das den Flächeninhalt beschreibt.

Für den Boden eines quadratischen Standes auf der Frankfurter Buchmesse muss eine Plane mit der Seitenlänge $39\text{ m}$ bestellt werden.

1. a) Mache vor der Berechnung des genauen Flächeninhalts eine Schätzung im Kopf, indem du die Seitenlänge auf den nächsten Zehner rundest ($40\text{ m}$). Begründe, ob der tatsächliche Flächeninhalt des Standes größer oder kleiner als deine Schätzung sein wird.
2. b) Schreibe die Zahl $39$ als Differenz $(40 - 1)$ und berechne den genauen Flächeninhalt mit der binomischen Formel für das Quadrat einer Differenz. Gib die drei Summanden an, die sich beim Ausmultiplizieren ergeben.
3. c) Ziehe den berechneten genauen Flächeninhalt von deiner anfänglichen Schätzung ab und überprüfe, ob die Differenz mit deiner Überlegung aus Teilaufgabe a) übereinstimmt.

Ergänze die Lücken so, dass die folgenden Gleichungen stimmen:

1. a) $(x + 4)^2 = x^2 + \dots x + 16$

1. b) $(a - \dots)^2 = a^2 - 6a + 9$

1. c) $(y + 5)(y - 5) = y^2 - \dots$

Multipliziere die folgenden Terme mithilfe der binomischen Formeln aus, sodass du ein geordnetes Polynom erhältst:

1. a) $(3x + 5)^2$

1. b) $(2x - 7y)^2$

1. c) $(x^2 + 4) \cdot (x^2 - 4)$

1. d) $(\frac{x}{2} - 6)^2$

Ordne in deinem Heft jedem Produkt den passenden ausmultiplizierten Term zu:

• A. $(x + 2)^2$

• B. $(x - 2)^2$

• C. $(x + 2)(x - 2)$

• $x^2 - 4$

• $x^2 + 4x + 4$

• $x^2 - 4x + 4$

Binomische Formeln helfen auch beim schnellen Kopfrechnen mit großen Zahlen. Verwende die dritte binomische Formel (Produkt aus Summe und Differenz) $(a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2$, um die folgenden Produkte geschickt zu berechnen:

1. a) $52 \cdot 48$ (Tipp: Betrachte $50 + 2$ und $50 - 2$)

1. b) $99 \cdot 101$

1. c) $35 \cdot 25$

Multipliziere die folgenden Terme mithilfe der binomischen Formeln aus und fasse gleichartige Terme zusammen, wo es möglich ist:

1. a) $\left( \frac{3}{2}x^2 - \frac{4}{5} \right)^2$

1. b) $(2x^3 + 5y)^2 - (2x^3 - 5y)^2$

1. c) $(x^2 - 3)(x^2 + 3) - (x^2 - 1)^2$

Nadia und Ben machen ihre Mathehausaufgaben und haben einige typische Fehler gemacht. Finde heraus, welche der folgenden Gleichungen falsch ist, und korrigiere sie in deinem Heft. Erkläre, warum sie falsch ist:

1. a) $(x + 4)^2 = x^2 + 16$

1. b) $(x - 5) \cdot (x + 5) = x^2 - 25$

1. c) $(2a - 3)^2 = 4a^2 - 12a + 9$

Ein sehr häufiger Fehler zu Beginn bei den binomischen Formeln ist die Annahme, das Quadrat einer Summe sei einfach die Summe der Quadrate. Zum Beispiel:

Stimmt es, dass $(x + 3)^2 = x^2 + 3^2$?

Berechne zur Überprüfung den Wert beider Terme für $x = 2$ und erkläre, ob die Ergebnisse gleich oder verschieden sind.

In einer Diskussion im Mathematikunterricht behauptet Paul: „Das Quadrat der Summe zweier Zahlen, $(a + b)^2$, ergibt immer ein größeres Ergebnis als die Summe ihrer Quadrate, $a^2 + b^2$, weil beim Ausmultiplizieren immer der Term $2 \cdot a \cdot b$ hinzukommt."

1. a) Multipliziere $(a + b)^2$ aus und berechne die algebraische Differenz $(a + b)^2 - (a^2 + b^2)$ in vereinfachter Form. Welcher Term entscheidet vollständig darüber, ob das Ergebnis größer, kleiner oder gleich ist?
2. b) Zeige, dass Pauls Behauptung falsch ist, indem du ein Gegenbeispiel mit ganzen Zahlen angibst, für das $(a + b)^2 < a^2 + b^2$ gilt. Untersuche anschließend, ob es zwei Zahlen ungleich null gibt, für die $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ gilt, und begründe deine Schlussfolgerung.
3. c) Formuliere genau, welche Bedingung die Vorzeichen von $a$ und $b$ erfüllen müssen, damit $(a + b)^2 > a^2 + b^2$ gilt, wann $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ gilt und wann $(a + b)^2 < a^2 + b^2$ gilt.

Betrachte die folgende Figur: Sie zeigt ein Quadrat der Seitenlänge $(x + 3)$, aus dem ein inneres Quadrat der Seitenlänge $(x - 1)$ herausgeschnitten wurde. Schreibe mithilfe der binomischen Formeln einen vereinfachten Term für den orange gefärbten Flächeninhalt auf.

Eine Gemeinde möchte einen neuen quadratischen Platz gestalten. In der Mitte soll eine ebenfalls quadratische Grünfläche liegen, die von einem Plattenweg mit gleichbleibender Breite umgeben ist.

Die Gesamtseitenlänge des Platzes beträgt $(3x + 2)$ Meter und die Seitenlänge der Grünfläche in der Mitte beträgt $(3x - 2)$ Meter. Berechne das vereinfachte Polynom, das den Flächeninhalt nur des Plattenwegs beschreibt.

Vereinfache den folgenden Term so weit wie möglich, indem du zuerst die binomischen Formeln anwendest und anschließend gleichartige Terme zusammenfasst:

$E = (2x + 1)^2 - (2x - 1)^2 + (x + 1) \cdot (x - 1)$

Bestimme den Flächeninhalt des gefärbten Bereichs in der folgenden Figur. Gib das Ergebnis als vereinfachtes Polynom in Abhängigkeit von $x$ an. Die Seitenlänge des äußeren Quadrats beträgt $2x+3$ und die Seitenlänge des weißen inneren Quadrats beträgt $2x-3$.

Berechne den Wert des Terms $E = (3x + 4y)^2 - (3x - 4y)^2$ für $x = \frac{1}{3}$ und $y = 5$.

Tipp: Vereinfache den Term mithilfe der binomischen Formeln, bevor du die Werte einsetzt.

Ein App-Designer entwirft ein quadratisches Icon für ein soziales Netzwerk. Das ursprüngliche Design hat eine Seitenlänge von $x$ Pixeln. Der Kunde wünscht zwei Änderungen: Erstens soll die Seitenlänge um $4$ Pixel größer werden, um einen Zierrahmen hinzuzufügen; zweitens soll eine verkleinerte Version entstehen, bei der jede Seite $4$ Pixel kürzer ist als im Original.

Bestimme das Polynom, das die Differenz der Flächeninhalte zwischen dem vergrößerten und dem verkleinerten Icon in Abhängigkeit von $x$ darstellt.

Zeige algebraisch, dass die Differenz der Quadrate zweier aufeinanderfolgender ganzer Zahlen stets gleich der Summe dieser Zahlen ist.

(Tipp: Nenne die erste Zahl $x$ und die nächste $x+1$.)

Übertrage in dein Heft und ergänze die fehlenden Terme, sodass diese Terme ein vollständiges Quadrat (Trinom) oder eine Differenz von Quadraten bilden:

1. a) $x^2 + 10x + \_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_)^2$

1. b) $25a^2 - \_\_\_\_ + 1 = (\_\_\_\_ - 1)^2$

1. c) $16x^2 - \_\_\_\_ = (\_\_\_\_ + 3y) \cdot (\_\_\_\_ - 3y)$

Finde in jedem Term den fehlenden Summanden, sodass das Trinom das Ergebnis des Quadrats einer Summe oder einer Differenz ist (vollständiges Quadrat). Schreibe anschließend die zugehörige Potenz auf:

1. a) $16x^4 + \dots + 9y^2$

1. b) $\frac{1}{4}x^2 - 5x + \dots$

1. c) $49a^6 - 28a^3b + \dots$

Ein Hersteller von Solarmodulen hat festgestellt, dass die Effizienz seiner Module steigt, wenn eine Zellanordnung verwendet wird, die der dritten binomischen Formel (Produkt aus Summe und Differenz) folgt.

Der gesamte Flächeninhalt eines Moduls ist durch das Polynom $A(x) = 16x^4 - 81y^2$ gegeben. Welche Terme beschreiben die Länge und die Breite dieses Moduls?

Kürze die folgenden Bruchterme, indem du Zähler und Nenner mithilfe der binomischen Formeln faktorisierst:

1. a) $\frac{x^2 - 25}{x^2 + 10x + 25}$

1. b) $\frac{9x^2 - 12x + 4}{9x^2 - 4}$

Um das Ergebnis der Rechnung $105^2 - 95^2$ ohne Taschenrechner im Kopf zu berechnen, verfolgen Marcel und Emilia zwei verschiedene Strategien:

• Marcels Methode: Die beiden Multiplikationen $105 \cdot 105$ und $95 \cdot 95$ einzeln schriftlich ausführen und anschließend das zweite Ergebnis vom ersten subtrahieren.

• Emilias Methode: Erkennen, dass der Term eine Differenz von Quadraten der Form $a^2 - b^2$ ist, ihn in das Produkt aus Summe und Differenz umformen und die sich ergebenden Rechnungen ausführen.

1. a) Wende Emilias Methode an und führe die Rechnung Schritt für Schritt bis zum Endergebnis durch.
2. b) Vergleiche beide Methoden und begründe, warum Emilias Vorschlag viel vorteilhafter ist, indem du die Schwierigkeit der Zwischenrechnungen auf beiden Wegen betrachtest.

Eine Bewässerungsgenossenschaft in der Huerta von Murcia besitzt ein quadratisches Anbaufeld mit der Seitenlänge $x$ Meter (mit $x > 10$). Um das Bewässerungsnetz zu verbessern, werden zwei Umbauvarianten untersucht:

• Variante A: Eine Seite um $5\text{ m}$ verlängern und die senkrechte Seite um $5\text{ m}$ verkürzen, um einen Bewässerungsgraben anzulegen.

• Variante B: Beide senkrechten Seiten um $5\text{ m}$ verlängern, um einen angrenzenden Streifen zu nutzen.

1. a) Schreibe die Formel für den entstehenden Flächeninhalt in Variante A als Produkt zweier Binome, multipliziere sie mithilfe der passenden binomischen Formel aus und begründe, ob das Feld im Vergleich zum ursprünglichen Feld von $x^2\text{ m}^2$ an Fläche gewinnt, verliert oder gleich bleibt.
2. b) Schreibe die Formel für den Flächeninhalt in Variante B als Quadrat eines Binoms und multipliziere sie aus. Wenn das ursprüngliche Feld eine Seitenlänge von $x = 20\text{ m}$ hatte, berechne die genaue Differenz in Quadratmetern zwischen dem Flächeninhalt von Variante B und dem von Variante A.

Im Würfel der Abbildung mit der Kantenlänge $x$ sind die Flächendiagonale einer Seitenfläche und die Raumdiagonale eingezeichnet. Außerdem entsteht ein regelmäßiges Sechseck, wenn man den Würfel mit einer Ebene $P$ schneidet, die durch die Mittelpunkte seiner Kanten verläuft.

1. a) Gib den Flächeninhalt einer Seitenfläche als quadriertes Binom an, wenn die Kantenlänge um $2\text{ cm}$ zunehmen würde.
2. b) Der Flächeninhalt des Sechsecks lässt sich als $\frac{3\sqrt{3}}{4} x^2$ ausdrücken. Zeige mithilfe der binomischen Formeln: Wenn die Kantenlänge $(x+y)$ wäre, wäre der neue Flächeninhalt des Sechsecks $\frac{3\sqrt{3}}{4}(x^2 + 2xy + y^2)$.
3. c) Berechne den exakten Wert des Umfangs des Sechsecks für $x = 4\text{ cm}$ (vereinfache die Wurzel).

In einer Keramikfabrik in Onda (Castellón) werden quadratische Fliesen entworfen, deren Flächeninhalt durch das Trinom $9x^2 + kx + 16$ gegeben ist, wobei $k$ eine ganze Zahl ist.

1. a) Bestimme die beiden möglichen Werte des Koeffizienten $k$, sodass der Term genau den Flächeninhalt einer quadratischen Fliese mit der Seitenlänge $(ax + b)$ bzw. $(ax - b)$ darstellt, wobei $a$ und $b$ positive ganze Zahlen sind. Schreibe in jedem Fall das zugehörige quadrierte Binom auf.
2. b) Nimm den gefundenen positiven Wert von $k$. Die Designer sollen einen dekorativen Bereich im Inneren herausschneiden, indem sie $25$ Einheiten vom Gesamtflächeninhalt abziehen, sodass sich der Term $(3x + 4)^2 - 25$ ergibt. Faktorisiere diesen Term, ohne die Quadrate auszumultiplizieren, als Produkt zweier linearer Binome mithilfe der dritten binomischen Formel und fasse die Zahlenterme in jedem Faktor zusammen.

Themenchallenge. Entwirf die nachhaltige Verpackung der Zukunft! Ein Logistikunternehmen möchte seine quaderförmigen Kartons (Polyeder) neu gestalten, um möglichst wenig Karton zu verbrauchen.

1. Reale Messung: Miss mit einem Lineal die tatsächlichen Maße (Länge, Breite und Höhe) eines Pakets, das du zu Hause hast, und berechne sein ungefähres Volumen.

2. Algebraische Modellierung: Entwirf eine neue Schachtel mit quadratischer Grundfläche der Seitenlänge $(x+4)\text{ cm}$ und der Höhe $2x\text{ cm}$. Gib mithilfe der Algebra an: das Binom für eine Kante der Grundfläche, das Polynom für die Oberfläche des Polyeders unter Ausmultiplizieren der binomischen Formel $(x+4)^2$ und das Polynom für das Volumen. Führe die Rechnungen durch und vereinfache die Polynome.

3. Digitale Simulation: Erstelle in einer Tabellenkalkulation eine Tabelle, die die Formeln für Oberfläche und Volumen für Werte von $x$ von $4$ bis $15$ in Schritten von $0,5$ auswertet. Bestimme den Wert von $x$, dessen Volumen dem deines realen Pakets am nächsten kommt.

4. Begründeter Vorschlag: Verfasse einen kurzen Bericht mit der Tabelle, der algebraischen Herleitung und einem Fazit, in dem du begründest, welche Schachtel das Material am besten nutzt.

Bewertet wird:

• Korrekte Übersetzung in die Sprache der Algebra und Anwendung der binomischen Formeln.

• Genauigkeit bei den Rechnungen mit Monomen und Polynomen zum Polyeder.

• Sorgfältiger Einsatz der Tabellenkalkulation zum Erstellen der Wertetabelle und zum Vergleich mit realen Daten.

• Klarheit und mathematische Begründung des abschließenden Vorschlags.