Flächeninhalt

Ein Handwerker fertigt riesige Holzwürfel für eine Spielothek an. Jeder Würfel ist ein perfekter Würfel mit der Kantenlänge $a = 12 \text{ cm}$. Berechne die gesamte Holzoberfläche, die er bei jedem der Würfel streichen muss.

Berechne die Oberfläche eines quaderförmigen Schuhkartons mit den Maßen $15 \text{ cm}$ Breite, $30 \text{ cm}$ Länge und $10 \text{ cm}$ Höhe. Zeichne zur Hilfe skizzenhaft sein Netz.

Du kannst es auf Papier lösen und ein Foto mit deiner Antwort schicken.

Ein Gartenzelt hat die Form eines geraden dreiseitigen Prismas. Die Grundfläche ist ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge $l = 3 \text{ m}$. Die Länge des Zelts (Höhe des Prismas) beträgt $5 \text{ m}$. Berechne den Mantelflächeninhalt des Zelts (ohne die beiden dreieckigen Grundflächen).

Für ein Technikprojekt sollst du eine Holzkiste in Form eines regelmäßigen sechsseitigen Prismas bauen. Die Kante der Grundfläche misst $4\text{ cm}$ und die Höhe des Prismas beträgt $15\text{ cm}$. Berechne die gesamte Holzfläche, die du für den Bau der Kiste brauchst (einschließlich der beiden Grundflächen).

(Hinweis: Um den Flächeninhalt der Grundfläche zu bestimmen, musst du zuerst die Höhe des Seitendreiecks des Sechsecks mit dem Satz des Pythagoras berechnen.)

Berechne die Oberfläche eines Würfels, wenn die Diagonale einer seiner Seitenflächen $10\text{ cm}$ misst.

(Tipp: Verwende den Satz des Pythagoras in einer der Seitenflächen, um die Kantenlänge des Würfels zu bestimmen, bevor du die Oberfläche berechnest.)

Bestimme die Oberfläche einer geraden quadratischen Pyramide, wenn die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche $8 \text{ cm}$ beträgt und die Höhe der Seitenflächen $10 \text{ cm}$ misst.

Ein Zelt für eine Jugendveranstaltung hat die Form einer regelmäßigen vierseitigen Pyramide. Die Seite der quadratischen Grundfläche misst $10\text{ m}$ und die Höhe der Pyramide (vom Mittelpunkt der Grundfläche bis zur Spitze) beträgt $12\text{ m}$. Berechne, wie viele Quadratmeter Zeltplane für die vier Seitenflächen des Zeltes benötigt wurden.

Ein moderner Blumentopf hat die Form eines geraden Pyramidenstumpfs mit quadratischer Grundfläche. Die Grund- und die Deckfläche sind Quadrate mit den Seitenlängen $20\text{ cm}$ bzw. $12\text{ cm}$. Die Höhe der Seitenflächen (die Apothema des Stumpfs) beträgt $10\text{ cm}$. Berechne den Flächeninhalt der gesamten Außenoberfläche des Blumentopfs (einschließlich Deck- und Grundfläche).

Ein Designunternehmen möchte eine Deckenlampe in Form einer regelmäßigen sechsseitigen Pyramide herstellen. Die Seite des Sechsecks der Grundfläche misst $10\text{ cm}$ und die Höhe der Pyramide beträgt $24\text{ cm}$. Damit das Licht richtig abgestrahlt wird, sollen die Seitenflächen mit einer speziellen Kupferfolie verkleidet werden. Berechne, wie viele $\text{cm}^2$ Kupferfolie benötigt werden, um die Mantelfläche der Lampe zu bedecken. Beachte, dass du zuerst die Höhe des Seitendreiecks der Grundfläche (Inkreisradius des Sechsecks) und mit ihr die Höhe der Seitenflächen der Pyramide bestimmen musst.

Für ein Technikprojekt sollst du eine zylindrische Stiftedose mit Klebefolie bekleben. Die Dose hat den Grundflächenradius $r = 4 \text{ cm}$ und die Höhe $h = 12 \text{ cm}$. Berechne, wie viele Quadratzentimeter Folie du brauchst, wenn die Dose oben offen ist (sie hat nur eine Grundfläche). Verwende $\pi \approx 3,14$.

Berechne den Mantelflächeninhalt eines Zylinders, dessen Grundkreisumfang $C = 25,12 \text{ cm}$ beträgt und dessen Höhe $h = 10 \text{ cm}$ ist. (Tipp: Wenn man den Zylinder aufklappt, ist die Mantelfläche ein Rechteck, dessen Grundseite der Länge des Kreisumfangs entspricht.)

Ein Hersteller handgefertigter Kerzen möchte die Mantelfläche einer zylindrischen Kerze mit silbernem Schutzpapier umhüllen. Die Kerze hat einen Durchmesser von $8\text{ cm}$ und eine Höhe von $20\text{ cm}$. Wenn das Papier nur den gekrümmten Teil (ohne die Grundflächen) bedecken soll, welche Papierfläche wird für jede Kerze benötigt? Verwende $\pi \approx 3,14$.

In einer Eisdiele mit besonderem Design hat man eine Eiswaffel in Form eines geraden Kegels entwickelt, deren Höhe $12\text{ cm}$ und deren Grundflächenradius $5\text{ cm}$ beträgt. Berechne den Oberflächeninhalt der Waffel (Mantelfläche plus Kreisfläche der Grundfläche), um zu wissen, wie viel Schokolade man braucht, um sie vollständig zu überziehen.

(Tipp: Du musst zuerst die Mantellinie des Kegels bestimmen.)

Ein dekorativer Leuchtturm für einen Garten besteht aus zwei Körpern: einem Zylinder mit dem Radius $10\text{ cm}$ und der Höhe $30\text{ cm}$, auf dem ein Kegel mit derselben Grundfläche und der Mantellinie $15\text{ cm}$ sitzt. Berechne den Flächeninhalt der gesamten Außenoberfläche dieses Leuchtturms (ohne die Grundfläche, auf der er steht).

In der Region La Mancha soll das kegelförmige Dach einer Windmühle saniert werden, um das innere Mahlwerk vor den vom Wetterdienst gemeldeten Starkregenfällen zu schützen. Das Dach hat die Form eines geraden Kegels: Der Radius der kreisförmigen Grundfläche misst $3\text{ m}$ und die senkrechte Höhe vom Mittelpunkt der Grundfläche bis zur Spitze misst $4\text{ m}$. Abgedichtet wird nur die äußere Mantelfläche (der Kegel hat keine Grundfläche, die abgedeckt werden müsste, da er offen auf dem gemauerten Turm aufliegt).\na) Modelliere den Querschnitt des Dachs durch ein rechtwinkliges Dreieck und berechne die Mantellinie des Kegels mit dem Satz des Pythagoras.\nb) Berechne, wie viele Quadratmeter Kegelmantel abgedichtet werden müssen (verwende $\pi \approx 3,14$).\nc) Für das Verlegen der Dichtungsbahnen müssen wegen Zuschnitt und Überlappung zusätzlich $10\,\%$ Material bestellt werden. Wenn der Quadratmeter Dichtungsbahn $25\text{ €}$ kostet, berechne die gesamten Materialkosten für die Sanierung.

Ein Industrietank hat die Form eines geraden Zylinders, auf dem ein Kegel mit derselben Grundfläche sitzt. Die Höhe des zylindrischen Teils beträgt $8\text{ m}$ und die Höhe des kegelförmigen Teils $3\text{ m}$. Der Durchmesser des Tanks beträgt $8\text{ m}$. Es soll die gesamte äußere Mantelfläche einschließlich der oberen Fläche (Kegel) gestrichen werden, nicht aber die Grundfläche, auf der der Tank steht. Wenn man mit jedem Farbeimer $15\text{ m}^2$ streichen kann, wie viele Farbeimer müssen mindestens gekauft werden?

Ein Basketball hat den Radius $r = 12 \text{ cm}$. Berechne die Lederfläche, die zu seiner Herstellung nötig ist, und runde das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen. (Denke daran: Die Oberfläche der Kugel beträgt $A = 4 \cdot \pi \cdot r^2$.)

Betrachte das Netz dieses geometrischen Körpers. Wenn jedes der gleichschenkligen Dreiecke einen Flächeninhalt von $15 \text{ cm}^2$ hat und das Quadrat in der Mitte die Seitenlänge $6 \text{ cm}$ hat, wie groß ist dann der gesamte Flächeninhalt der Figur, wenn sie zusammengebaut ist? Welcher geometrische Körper entsteht?

Für das Schultraining werden regelkonforme kugelförmige Handbälle der Größe 2 verwendet, deren Radius $8,5\text{ cm}$ beträgt.\na) Schätze, bevor du genau rechnest, den Flächeninhalt der Kugeloberfläche ab, indem du den Radius im Kopf auf $8\text{ cm}$ und die Zahl $\pi$ auf $3$ rundest. Begründe, ob der tatsächliche Flächeninhalt deiner Meinung nach größer oder kleiner als $1.000\text{ cm}^2$ ist.\nb) Berechne nun genau die Lederfläche des Balls mit der Formel für die Kugeloberfläche ($A = 4 \cdot \pi \cdot r^2$) mit dem tatsächlichen Radius $8,5\text{ cm}$ und $\pi \approx 3,14$. Runde das Ergebnis auf Hundertstel.\nc) Vergleiche den erhaltenen Wert mit deiner ursprünglichen Schätzung und beurteile, warum eine vorherige Schätzung uns hilft zu prüfen, ob Rechnungen mit dem Taschenrechner sinnvoll sind.

Die Kuppel einer Sternwarte in Form einer Halbkugel mit dem Radius $6\text{ Meter}$ soll restauriert werden. Das Budget für die Farbe beträgt $15\text{ €}$ pro Quadratmeter. Wie viel kostet es, die Außenfläche der Kuppel zu streichen? (Verwende $\pi \approx 3,14$.)

Ein Hersteller von Gymnastikbällen produziert Gummikugeln in zwei Größen. Der kleine Ball hat eine Oberfläche von $5024\text{ cm}^2$. Der große Ball hat einen Radius, der genau doppelt so groß ist wie der des kleinen Balls. Berechne den Flächeninhalt der Oberfläche des großen Balls. Welches Zahlenverhältnis (Quotient) besteht zwischen dem Flächeninhalt des großen und dem des kleinen Balls? Verwende $\pi = 3,14$.