Die Sprache der Algebra

In der Welt der Videospiele verwendet man manchmal Formeln, um Punktzahlen zu berechnen. Übersetze die folgenden Sätze in Terme, wobei $x$ die Anzahl der Edelsteine ist, die ein Spieler gesammelt hat:

• a) Das Doppelte der Anzahl der Edelsteine.

• b) Das Dreifache der Edelsteine plus $50$ Extrapunkte.

• c) Die Anzahl der Edelsteine, die er hätte, wenn er $5$ Edelsteine verlieren würde.

• d) Die Hälfte der Edelsteine, die er hat.

In einem Bekleidungsgeschäft kostet ein Sweatshirt $s$ Euro. Wenn eine Hose $12$ Euro weniger kostet als das Sweatshirt, gib als Term an:

• a) Den Preis der Hose.

• b) Den Gesamtpreis für den Kauf von zwei Sweatshirts.

• c) Den Gesamtpreis für den Kauf eines Sweatshirts und einer Hose.

In einem beliebten Abenteuer-Videospiel erhalten die Spieler je nach ihren Aktionen unterschiedliche Punktzahlen. Wenn wir die Anzahl der gefundenen Goldtruhen mit $x$ und die Anzahl der abgeschlossenen Nebenmissionen mit $y$ bezeichnen, gib die folgenden Situationen als Term an:

• Das Dreifache der gefundenen Goldtruhen.

• Die Anzahl der Nebenmissionen plus fünf zusätzliche Bonusmissionen.

• Das Doppelte der Summe aus Goldtruhen und Nebenmissionen.

• Die Hälfte der gefundenen Truhen, nachdem drei davon in einem Kampf verloren gegangen sind.

• Die Gesamtpunktzahl, wenn jede Truhe 100 Punkte und jede Mission 50 Punkte wert ist.

Drücke die folgenden komplexen Sätze in algebraischer Sprache aus und verwende dabei nur eine Variable $x$ für die unbekannte Zahl:

1. a) Das Dreifache der Differenz aus dem Quadrat einer Zahl und ihrer Hälfte.
2. b) Die Summe von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen, wenn die erste davon $x-2$ ist.
3. c) Der Endpreis eines Sweatshirts, das $x$ Euro kostete, wenn zuerst ein Aufschlag von $10\%$ für Versandkosten und danach ein Rabatt von $5$ Euro durch einen Gutschein angewendet wird.
4. d) Die Differenz aus der dritten Potenz des Nachfolgers einer Zahl und dem Doppelten ihres Vorgängers.

Wenn $n$ eine beliebige ganze Zahl darstellt, schreibe den Term auf für:

• a) Den Nachfolger von $n$.

• b) Den Vorgänger von $n$.

• c) Das Dreifache des Nachfolgers von $n$.

• d) Die Summe einer Zahl und ihres Vorgängers.

Wir bezeichnen das aktuelle Alter von Ioana mit $x$. Gib die Alter ihrer Familie als Terme an:

• a) Das Alter, das Ioana in $8$ Jahren haben wird.

• b) Das Alter, das Ioana vor $3$ Jahren hatte.

• c) Ihr Bruder ist doppelt so alt wie Ioana. Wie alt ist der Bruder?

• d) Ihre Mutter ist dreimal so alt, wie Ioana in $1$ Jahr sein wird.

Amina, Borja und Clara vergleichen, wie viele Follower sie in ihren sozialen Netzwerken haben. Borja hat doppelt so viele Follower wie Amina. Clara hat 500 Follower weniger als Borja. Wenn wir die Anzahl der Follower von Amina mit $s$ bezeichnen:

• Gib die Anzahl der Follower von Borja als Term an.

• Gib die Anzahl der Follower von Clara als Term an.

• Schreibe einen Term auf, der die Summe der Follower der drei Freunde darstellt.

• Wenn Amina $s = 1200$ Follower hat, wie viele Follower haben die drei zusammen?

Bei einer Wiederholungsaufgabe soll der Lehrer den folgenden Satz in einen Term übersetzen lassen: „Das Dreifache des Vorgängers einer Zahl $x$, vermehrt um das Doppelte des Nachfolgers dieser Zahl $x$“.

Zwei Schüler geben unterschiedliche Vorschläge ab:

• Marcos schreibt: $3 \cdot x - 1 + 2 \cdot x + 1$

• Lea schreibt: $3 \cdot (x - 1) + 2 \cdot (x + 1)$

1. a) Analysiere Marcos' Vorschlag: Finde die beiden Fehler, die durch fehlende Klammern entstanden sind, und erkläre, welchem Satz in Alltagssprache der von ihm geschriebene Term wörtlich entspricht.
2. b) Multipliziere Leas Term aus (Distributivgesetz) und fasse gleichartige Terme zusammen, sodass du einen vereinfachten Term der Form $a \cdot x + b$ erhältst.
3. c) Begründe: Könnte der Wert von Leas Term gleich $40$ sein, wenn $x$ eine ganze Zahl ist? Setze den vereinfachten Term gleich $40$, löse nach $x$ auf und begründe deine Schlussfolgerung, indem du prüfst, ob das Ergebnis eine ganze Zahl ist.

In einem Sportgeschäft kostet ein Fußballtrikot $x$ Euro und eine Hose $y$ Euro. Übersetze aus der Sprache der Algebra in die Alltagssprache (Deutsch), was die folgenden Terme bedeuten:

• $x + y$

• $2x + 3y$

• $x - 10$

• $0,85 \cdot x$

• $3(x + y)$

Im Mathematikunterricht wird die folgende umgekehrte Aufgabe gestellt: Ausgehend vom bereits aufgestellten Term $2 \cdot (x - 5)$ sollst du die ursprüngliche Aufgabe rekonstruieren.

1. a) Übersetze den Term in einen Satz in Alltagssprache und verwende dabei genau die Wörter „Doppeltes“, „Differenz“ und „Zahl“.
2. b) Modelliere eine glaubwürdige Alltagssituation (zum Beispiel zu Einkäufen mit Rabatt oder zu Punkten in einem Spiel), die genau zu diesem Term passt, und gib klar an, was die Variable $x$ darstellt.
3. c) Wenn der Wert des Terms nach dem Ausrechnen $16$ ist, bestimme durch Umkehren der Rechenschritte (in umgekehrter Reihenfolge), welchen Wert $x$ am Anfang hatte.

Mateo soll die folgende Aufgabenstellung seiner Lehrerin in einen Term übersetzen: „Das Dreifache der Summe aus einer Zahl und vier“. In sein Heft hat er den Term geschrieben:

1. a) Finde den Fehler, den Mateo gemacht hat, und erkläre begründet, welchem Satz in Alltagssprache das, was er geschrieben hat, tatsächlich entspricht.
2. b) Schreibe die richtige Übersetzung in einen Term und verwende dabei die nötigen mathematischen Zeichen.
3. c) Überprüfe den Fehler durch Einsetzen von $x = 2$ sowohl in Mateos fehlerhaften Term als auch in deinen richtigen. Warum ergeben sich unterschiedliche Werte und was zeigt das über die Notwendigkeit von Klammern?

Berechne den Wert der folgenden Terme für den jeweils angegebenen Wert (denke daran: Zwischen einer Zahl und einem Buchstaben steht immer ein unsichtbares Malzeichen):

• a) $3x + 5$ für $x = 2$

• b) $10 - 2n$ für $n = 3$

• c) $a^2 + 1$ für $a = 5$

• d) $\frac{x}{2} + 7$ für $x = 10$

Übertrage die folgende Tabelle in dein Heft und vervollständige die Angaben zu diesen Monomen (denke daran: Steht keine Zahl vor dem Buchstaben, ist der Koeffizient $1$):

Übertrage die folgende Tabelle über Monome in dein Heft und vervollständige sie. Denke daran: Steht kein Koeffizient da, ist er 1.

Ein TikTok-Creator analysiert seine monatlichen Einnahmen. Wenn $v$ die Anzahl der in einem Monat veröffentlichten Videos ist, wird sein Gewinn in Euro durch den Term $G = 0,5 \cdot v + 12$ beschrieben.

• Was bedeuten die Zahlen $0,5$ und $12$ in diesem Zusammenhang?

• Wie hoch ist sein Gewinn, wenn er in diesem Monat insgesamt $v = 40$ Videos veröffentlicht hat?

• Wenn er im nächsten Monat doppelt so viele Videos wie in diesem Monat veröffentlichen will, schreibe den neuen Term für seinen Gewinn auf.

Betrachte den Term $P(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$.

1. a) Berechne den Wert von $P(x)$ für $x = 0, x = 2$ und $x = 10$.
2. b) Kannst du anhand der Ergebnisse einen viel einfacheren Term angeben, der für jeden Wert von $x$ (außer für $x = -2$) äquivalent zu $P(x)$ ist?
3. c) Warum kann man den Wert von $P(x)$ für $x = -2$ nicht berechnen? Begründe mithilfe deines Wissens über Brüche.

Wir wollen ein quadratisches Gelände für ein Musikfestival einzäunen. Wir wissen noch nicht, wie lang die Seite ist, also nennen wir sie $x$.

• a) Schreibe einen Term für den Umfang des Geländes (die Summe aller Seiten) auf.

• b) Schreibe einen Term für den Flächeninhalt des Geländes auf.

Berechne den Umfang des folgenden Padel-Spielfelds, dessen Maße in Metern durch Terme gegeben sind. Berechne anschließend für den vereinfachten Term den Wert für $x = 4$ Meter.

Im öffentlichen Taxidienst einer deutschen Stadt werden die offiziellen Tagestarife aus mehreren Bestandteilen berechnet:

• Eine Grundgebühr (fester Preis für den Beginn der Fahrt) von $2,50$ €.

• Ein Preis von $1,30$ € pro gefahrenem Kilometer.

• Ein fester Zuschlag von $3,20$ €, wenn die Fahrt zum Hauptbahnhof führt.

1. a) Schreibe den Term auf, mit dem man die Gesamtkosten einer normalen Fahrt von $k$ Kilometern (ohne Bahnhofszuschlag) berechnen kann.
2. b) Schreibe den Term für eine Fahrt von $k$ Kilometern auf, die am Bahnhof endet, und fasse ihn zusammen, indem du die beiden festen Beträge zu einem einzigen Summanden addierst.
3. c) Zwei Kolleginnen teilen sich das Taxi bis zum Bahnhof und vereinbaren, den Gesamtbetrag genau zu gleichen Teilen zu bezahlen. Schreibe den Term für den Preis auf, den jede zahlen muss, in Abhängigkeit von $k$, und berechne, wie viel jede zahlt, wenn die Gesamtstrecke $10$ km beträgt.

Eine Gruppe von Freunden möchte einem Mitschüler eine Spielkonsole schenken. Die Konsole kostet $C$ Euro. Sie beschließen, dass zwei der Freunde, die Geschwister sind, jeweils nur die Hälfte von dem zahlen, was jeder der anderen zahlt.

1. a) Wenn $x$ der Geldbetrag ist, den jeder der Freunde beisteuert, die keine Geschwister sind, und es insgesamt $6$ Freunde gibt (die beiden Geschwister eingeschlossen), drücke die Gesamtkosten $C$ der Konsole algebraisch aus.
2. b) Wenn die Konsole $300$ Euro kostet, berechne, wie viel Geld jedes der Geschwister beisteuern muss.

Beim Entwurf eines modernen Schwimmbeckens soll eine rechteckige Wasserfläche mit der Länge $l$ und der Breite $a$ rundherum von einem Holzrand der Breite $2$ Meter umgeben werden.

1. a) Schreibe den Term auf, der den gesamten Flächeninhalt des Holzes (des Randes) beschreibt.
2. b) Vereinfache den Term aus Teilaufgabe a).
3. c) Welchen Wert hat dieser Flächeninhalt, wenn das Becken $10$ Meter lang und $5$ Meter breit ist?

Bei einem Triathlon läuft ein Athlet mit der konstanten Geschwindigkeit $v$ km/h.

1. a) Gib die Strecke, die er in $t$ Stunden und $15$ Minuten zurücklegt, als Term an. (Denke daran, die Zeit in nur einer Einheit anzugeben.)
2. b) Wenn der Athlet seine Geschwindigkeit in der zweiten Hälfte der Zeit um $2$ km/h erhöht, schreibe den Term für die insgesamt zurückgelegte Strecke bei einer Gesamtzeit von $t$ Stunden auf.
3. c) Berechne die Gesamtstrecke aus Teilaufgabe b) für $v = 12$ km/h und $t = 2$ Stunden.

Betrachte die folgende Reihe von Figuren aus orangefarbenen Punkten. Wir bezeichnen die Position der Figur (Figur 1, Figur 2 …) mit $n$:

• a) Wie viele Punkte hat Figur 4?

• b) Schreibe einen Term auf, der angibt, wie viele Punkte Figur $n$ hat.

Betrachte die folgende Reihe sechseckiger Tische, die für eine Schulfeier in einer Reihe aufgestellt sind. Jedes Sechseck stellt einen Tisch dar, an dem Schüler sitzen.

An einem Tisch ($n=1$) finden 6 Personen Platz, an zwei Tischen ($n=2$) 10 Personen und an drei Tischen ($n=3$) 14 Personen:

• Stelle einen Term auf, mit dem man die Anzahl der Personen, die sitzen können, in Abhängigkeit von der Anzahl der Tische $n$ berechnen kann.

• Berechne, wie viele Personen sitzen können, wenn 15 Tische zusammengestellt werden.

Um das Geländer eines Fußgängerstegs im Nationalpark Tablas de Daimiel zu erneuern, setzen die Arbeiter senkrechte Pfosten, die durch Holzlatten verbunden werden, sodass durchgehende Module entstehen:

• Für $1$ Meter Steg werden $6$ Hölzer benötigt.

• Für $2$ Meter Steg werden $10$ Hölzer benötigt.

• Für $3$ Meter Steg werden $14$ Hölzer benötigt.

• Für $4$ Meter Steg werden $18$ Hölzer benötigt.

1. a) Schätze und prüfe: Bevor du eine Formel herleitest, schätze im Kopf: Müssen die Arbeiter für einen Abschnitt von $25$ Metern mehr oder weniger als $100$ Hölzer verwenden? Begründe deine Schätzung, ohne Schritt für Schritt zu rechnen.
2. b) Untersuche das Muster: Wie viele Hölzer kommen pro zusätzlichem Meter hinzu? Leite begründet den Term her, der die Gesamtzahl der benötigten Hölzer für einen Stegabschnitt von $n$ Metern angibt.
3. c) Berechne mit deinem Term die genaue Anzahl der Hölzer, die für die $25$ Meter verbraucht werden. Vergleiche das Ergebnis mit deiner Schätzung aus Teilaufgabe a) und beurteile, ob sie zutreffend und vernünftig war.

In einem Gartengestaltungsunternehmen werden sechseckige Platten verwendet, um Blumenbeete zu umranden. Wenn wir die Beete in einer Reihe anlegen, teilt sich jedes weitere Beet einige Platten mit dem vorherigen, um Material zu sparen. Betrachte die folgende Entwurfsfolge:

Wenn wir die Anzahl der Beete, die wir in einer Reihe anlegen wollen, $n$ nennen:

1. a) Finde einen Term, mit dem man die Anzahl der Platten berechnen kann, die für $n$ Beete nötig sind.
2. b) Berechne mit diesem Term, wie viele Platten man für eine Reihe aus $25$ Beeten bräuchte.

In einem Logistiklager werden Kisten zu Pyramiden mit quadratischer Grundfläche gestapelt. In der obersten Ebene (Ebene 1) liegt $1$ Kiste. In Ebene 2 (unter der ersten) liegen $4$ Kisten, die ein Quadrat aus $2 \times 2$ bilden. In Ebene 3 liegen $9$ Kisten, die ein Quadrat aus $3 \times 3$ bilden.

1. a) Schreibe den Term auf, der die Anzahl der Kisten in Ebene $n$ angibt.
2. b) Schreibe einen Term auf, der die Gesamtzahl der Kisten angibt, wenn die Pyramide nur $3$ Ebenen hat.
3. c) Hat eine Pyramide $n$ Ebenen, so ist die Gesamtzahl der Kisten durch die Formel $T = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ gegeben. Berechne, wie viele Kisten es insgesamt in einer Struktur mit $10$ Ebenen gibt.

Valentina schlägt ihrem Bruder einen Zaubertrick mit Termen vor. Führe die Schritte aus und erkläre dann mithilfe von Termen, warum immer dasselbe Ergebnis herauskommt:

1. Denke dir eine beliebige Zahl ($n$).

2. Addiere 5.

3. Multipliziere das Ergebnis mit 2.

4. Subtrahiere 10 vom erhaltenen Wert.

5. Teile das Ergebnis durch 2.

6. Welche Zahl erhältst du im Vergleich zur Anfangszahl? Schreibe den vereinfachten Term des Vorgangs auf.

Ein Zauberer bittet einen Zuschauer, die folgenden Anweisungen auszuführen:

1. Denke dir eine beliebige natürliche Zahl $n$.

2. Multipliziere sie mit $6$.

3. Addiere $12$ zum vorherigen Ergebnis.

4. Teile alles durch $3$.

5. Subtrahiere das Doppelte der Zahl, die du dir am Anfang gedacht hast.

1. a) Übersetze jeden Schritt des Tricks in die Sprache der Algebra und schreibe den vereinfachten Endterm auf.
2. b) Was ist das Endergebnis des Tricks? Hängt es von der Zahl ab, die sich der Zuschauer gedacht hat? Begründe deine Antwort mithilfe von Termen.

In einem Mathe-Workshop wird der folgende Zahlentrick vorgeschlagen:

1. Denke dir eine beliebige ganze Zahl.

2. Addiere $5$.

3. Multipliziere das Ergebnis mit $2$.

4. Subtrahiere $6$.

5. Teile das Ergebnis durch $2$.

6. Subtrahiere die Zahl, die du dir am Anfang gedacht hast.

Das Endergebnis ist immer $2$, egal welche Zahl gewählt wurde!

Um die Klasse zu überzeugen, dass es kein Zufall ist, werden zwei Wege diskutiert:

• Methode A (Überprüfung durch Ausprobieren): Den Trick mit fünf sehr verschiedenen Zahlen testen (eine einstellige Zahl, eine dreistellige, die Null, eine negative Zahl und einen Bruch).

• Methode B (algebraischer Beweis): Die Startzahl $n$ nennen, alle Rechenschritte in einem einzigen Term zusammenfassen und diesen Schritt für Schritt vereinfachen.

1. a) Führe Methode B vollständig aus: Schreibe den Term nach jeder der 6 Anweisungen auf und vereinfache ihn, bis gezeigt ist, dass das Endergebnis $2$ ist.
2. b) Wähle eine Methode und begründe: Vergleiche beide Wege und erkläre, warum Methode A trotz vieler getesteter Fälle nicht beweist, dass der Trick immer funktioniert, und welchen entscheidenden Vorteil die Algebra in Methode B bietet.