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Realschule 8 · Mathematik
Geometrie und Funktionen: Kongruenz, Thaleskreis und lineare Zuordnungen · Lineare Zuordnungen

Lineare Funktionen y = mx + b

Ein Taxi in Düsseldorf kostet schon vor der ersten Fahrminute Geld: die Grundgebühr. Dazu kommt ein fester Preis pro Kilometer. Wie rechnest du den Preis für jede Strecke aus, und wie sieht der Graph dazu aus? Genau dafür gibt es lineare Funktionen.

Die Gleichung y = mx + b

Bei einer proportionalen Zuordnung gilt $y = m \cdot x$. Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung. Bei vielen Alltagssituationen gibt es aber einen Startwert: eine Grundgebühr, einen Anfangsbestand, eine Starthöhe. Dann lautet die Gleichung

$$y = m \cdot x + b$$

Warum ist das so? Setzt du $x = 0$ ein, bleibt nur $y = b$ übrig. Und wird $x$ um 1 größer, kommt immer wieder $m$ dazu. Deshalb steigt die Gerade gleichmäßig.

Gerade mit Steigungsdreieck: Von x gleich 0 bis x gleich 1 steigt y um m, der y-Achsenabschnitt ist b. b (y-Achsenabschnitt) 1 nach rechts m nach oben y = mx + b

Probiere es aus: Verändere $m$ und $b$ und beobachte den Graphen.

Üben★☆☆
Gegeben ist $y = 2x + 3$. a) Erstelle eine Wertetabelle für $x = 0, 1, 2, 3, 4$. b) Gib Steigung und $y$-Achsenabschnitt an.

Gegeben ist $y = 2x + 3$.

  1. a) Erstelle eine Wertetabelle für $x = 0, 1, 2, 3, 4$.
  1. b) Gib Steigung und $y$-Achsenabschnitt an.
Lösen
Üben★☆☆
Eine Gerade geht durch $P(0|2)$ und hat die Steigung $m = 3$. Gib die Funktionsgleichung an.

Eine Gerade geht durch $P(0|2)$ und hat die Steigung $m = 3$. Gib die Funktionsgleichung an.

Lösen

Den Graphen zeichnen

Eine Gerade ist durch zwei Punkte festgelegt. Du kannst so vorgehen: Starte beim $y$-Achsenabschnitt und gehe mit dem Steigungsdreieck weiter. Oder du erstellst eine Wertetabelle.

Üben★☆☆
Zeichne den Graphen von $y = -x + 4$ im Koordinatensystem. Gib an, wo er die $y$-Achse schneidet.

Zeichne den Graphen von $y = -x + 4$ im Koordinatensystem. Gib an, wo er die $y$-Achse schneidet.

Lösen

Die Gleichung aus Punkten bestimmen

Oft kennst du nicht $m$ und $b$, sondern zwei Punkte der Geraden. Dann gehst du in zwei Schritten vor: erst die Steigung, dann den $y$-Achsenabschnitt.

Mit der Gleichung kannst du auch testen, ob ein Punkt auf der Geraden liegt: Setze seine Koordinaten ein. Für $C(10|23)$ erhältst du $2 \cdot 10 + 3 = 23$. Die Aussage stimmt, also liegt $C$ auf der Geraden.

Gibt es schon den Punkt $P(0|2)$, ist $b = 2$ sofort bekannt. Du brauchst nur noch $m$.

Üben★★☆
Eine Gerade geht durch $A(1|5)$ und $B(4|11)$. a) Berechne die Steigung. b) Bestimme die Funktionsgleichung. c) Prüfe, ob $C(10|23)$ auf der Geraden liegt.

Eine Gerade geht durch $A(1|5)$ und $B(4|11)$.

  1. a) Berechne die Steigung.
  1. b) Bestimme die Funktionsgleichung.
  1. c) Prüfe, ob $C(10|23)$ auf der Geraden liegt.
Lösen

Sachsituationen deuten

In Textaufgaben haben $m$ und $b$ eine Bedeutung:

  • $b$ ist der Anfangswert (Grundgebühr, Starthöhe, Anfangsmenge).

  • $m$ ist die Änderung pro Einheit (Preis pro km, Verbrauch pro Minute). Ist $m$ negativ, nimmt der Wert ab.

Bei abnehmenden Größen wie einem Tank oder einer Kerze musst du auf den Definitionsbereich achten. Er ist die Menge der $x$-Werte, die sinnvoll sind.

Üben★★☆
Ein Taxi in Düsseldorf berechnet eine Grundgebühr von $4{,}50\text{ €}$ und $2{,}20\text{ €}$ pro Kilometer. a) Stelle einen Term für den Preis $y$ bei $x$ Kilometern…

Ein Taxi in Düsseldorf berechnet eine Grundgebühr von $4{,}50\text{ €}$ und $2{,}20\text{ €}$ pro Kilometer.

  1. a) Stelle einen Term für den Preis $y$ bei $x$ Kilometern auf.
  1. b) Berechne den Preis für $12\text{ km}$.
  1. c) Wie viele Kilometer kann man für $30\text{ €}$ fahren? Runde auf zwei Nachkommastellen.
Lösen
Üben★★☆
Ein Wassertank enthält zu Beginn $200\text{ l}$ und wird mit $15\text{ l}$ pro Minute geleert. Es gilt $V(t) = 200 - 15t$. a) Interpretiere Steigung und…

Ein Wassertank enthält zu Beginn $200\text{ l}$ und wird mit $15\text{ l}$ pro Minute geleert. Es gilt $V(t) = 200 - 15t$.

  1. a) Interpretiere Steigung und $y$-Achsenabschnitt.
  1. b) Nach wie vielen Minuten ist der Tank leer?
  1. c) Gib einen sinnvollen Definitionsbereich an.
Lösen
Üben★★★
Die Tabelle zeigt die Höhe einer Kerze zu verschiedenen Zeiten: | Zeit $t$ in h | 0 | 2 | 4 | 6 | |---|---|---|---|---| | Höhe $h$ in cm | 24 | 21 | 18 | 15 | a) Zeige,…

Die Tabelle zeigt die Höhe einer Kerze zu verschiedenen Zeiten:

Zeit $t$ in h 0 2 4 6
Höhe $h$ in cm 24 21 18 15
  1. a) Zeige, dass die Zuordnung linear ist, und bestimme die Funktionsgleichung.
  1. b) Interpretiere Steigung und Achsenabschnitt im Sachzusammenhang.
  1. c) Nach wie vielen Stunden ist die Kerze abgebrannt? Welche Einschränkung gilt für den Definitionsbereich?
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Zwei Geraden vergleichen

Zwei Tarife, zwei Geraden. Wo sich die Graphen schneiden, sind beide Werte gleich. Den Schnittpunkt berechnest du durch Gleichsetzen der Terme.

Zwei Geraden schneiden sich: Links unterhalb des Schnittpunkts ist Tarif B günstiger, rechts davon Tarif A. Schnittpunkt Tarif B Tarif A Minuten

Ein weiterer Begriff hilft dir:

  • Nullstelle: der $x$-Wert, bei dem $y = 0$ ist. Du löst $mx + b = 0$. Für $y = 0{,}5x + 2$ gilt $x = -4$.

  • Senkrechte Geraden: Gilt $m_g \cdot m_h = -1$, stehen die Geraden senkrecht aufeinander. Für $0{,}5$ und $-2$ ist das Produkt $-1$.

Üben★★★
Zwei Handytarife werden verglichen. Tarif A: $9\text{ €}$ Grundgebühr plus $0{,}05\text{ €}$ pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, $0{,}12\text{ €}$ pro Minute. a)…

Zwei Handytarife werden verglichen. Tarif A: $9\text{ €}$ Grundgebühr plus $0{,}05\text{ €}$ pro Minute. Tarif B: keine Grundgebühr, $0{,}12\text{ €}$ pro Minute.

  1. a) Stelle beide Funktionsgleichungen auf.
  1. b) Bei welcher Minutenzahl sind die Kosten gleich?
  1. c) Für welche Nutzung lohnt sich welcher Tarif? Begründe.
Lösen
Üben★★★
Gegeben sind die Geraden $g: y = 0{,}5x + 2$ und $h: y = -2x + 7$. a) Berechne den Schnittpunkt. b) Berechne die Nullstellen beider Geraden. c) Zwei Geraden stehen…

Gegeben sind die Geraden $g: y = 0{,}5x + 2$ und $h: y = -2x + 7$.

  1. a) Berechne den Schnittpunkt.
  1. b) Berechne die Nullstellen beider Geraden.
  1. c) Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen $-1$ ergibt. Zeige, dass $g$ und $h$ senkrecht aufeinander stehen, indem du $m_g \cdot m_h$ berechnest.
Lösen

Zurück zum Anfang: Der Taxipreis ist eine lineare Funktion $y = 2{,}2x + 4{,}5$. Die Grundgebühr ist $b$, der Kilometerpreis $m$.

Auf einen Blick

  • Lineare Funktion: $y = mx + b$, Graph ist eine Gerade.

  • $m$ ist die Steigung (Änderung von $y$ pro 1 in $x$-Richtung), $b$ der $y$-Achsenabschnitt, also $P(0|b)$.

  • Aus zwei Punkten: $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, dann $b$ durch Einsetzen eines Punktes.

  • In Sachaufgaben ist $b$ der Anfangswert und $m$ die Änderung pro Einheit. Beachte den Definitionsbereich.

  • Schnittpunkt zweier Geraden: Terme gleichsetzen. Gleiche Steigung bedeutet parallel, $m_g \cdot m_h = -1$ bedeutet senkrecht.

Los geht's! 3 Aufgaben der Stufe mittel in diesem Abschnitt
★★☆ Ein Taxi in Düsseldorf berechnet eine Grundgebühr von $4{,}50\text{ €}$ und…★★☆ Eine Gerade geht durch $A(1|5)$ und $B(4|11)$. a) Berechne die Steigung. b) Bestimme die…★★☆ Ein Wassertank enthält zu Beginn $200\text{ l}$ und wird mit $15\text{ l}$ pro Minute…
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