Terme

In der Welt der Videospiele ist es üblich, Situationen in die Sprache der Mathematik zu übersetzen. Wenn wir die Anzahl der Edelsteine in deiner Truhe $x$ nennen, drücke die folgenden Situationen in algebraischer Sprache aus:

• Das Dreifache der Edelsteine, die du hast.

• Die Anzahl der Edelsteine, die du hast, wenn du 15 weitere findest.

• Die Anzahl der Edelsteine, die dir bleiben, nachdem du die Hälfte für einen Skin ausgegeben hast.

• Das Doppelte deiner Edelsteine minus 5, die du einem Freund schuldest.

Kenia und ihr Bruder Adrián vergleichen das Geld, das sie für das nächste Festival gespart haben. Kenia hat $x$ Euro. Drücke das Geld, das Adrián hat, in jedem dieser voneinander unabhängigen Fälle in algebraischer Sprache aus:

• Adrián hat 12 € mehr als Kenia.

• Adrián hat doppelt so viel wie Kenia.

• Adrián hat 5 € weniger als das Dreifache von dem, was Kenia hat.

• Wenn sie das Geld der beiden zusammenlegen und die Gemeinde ihnen 20 € extra schenkt, haben sie insgesamt 100 €.

Im Sportunterricht bittet uns der Lehrer, ein rechteckiges Trainingsfeld zu umrunden. Wir kennen die genauen Maße nicht, aber wir wissen, dass die Länge $L$ Meter und die Breite $a$ Meter beträgt.

• Schreibe den Term für den Umfang des Feldes auf.

• Wenn der Lehrer uns sagt, dass die Länge doppelt so groß ist wie die Breite ($L = 2a$), schreibe den Term für den Umfang noch einmal auf, nur mit dem Buchstaben $a$.

Auf einer Online-Spieleplattform kostet das Monatsabo feste $12$ Euro, aber für jeden „Skin“ (Aussehen) für deine Figur, den du kaufst, werden dir zusätzlich $3$ Euro berechnet.

• a) Schreibe einen Term auf, mit dem man die monatlichen Gesamtkosten berechnen kann, wenn du $x$ Skins kaufst.

• b) Wenn du dich in einem Monat entscheidest, $4$ Skins zu kaufen, berechne mit dem obigen Term, wie viel du insgesamt bezahlst.

• c) Übersetze in Alltagssprache, was der Term $12 + 3(x + 1)$ bedeuten würde.

Der Wert eines Terms ist das Ergebnis, wenn man die Variable durch eine Zahl ersetzt. Stell dir vor, die Kosten für eine Geburtstagsfeier werden durch den Term $15n + 50$ angegeben, wobei $n$ die Anzahl der Gäste ist.

Berechne, wie viel die Feier kostet, wenn du einlädst:

• $n = 10$ Freunde.

• $n = 20$ Freunde.

• $n = 25$ Freunde.

Berechne den Wert der folgenden Terme für die angegebenen Werte. Achte genau auf die negativen Vorzeichen und denke an die Reihenfolge der Rechenoperationen:

• $2x + 7$ für $x = -3$

• $x^2 - 5$ für $x = 4$

• $3(a + b)$ für $a = 2, b = 5$

• $\frac{x}{2} + 10$ für $x = 8$

In einer Klassenarbeit sollte Marcos den Wert des Terms $8 - 2x$ für $x = -3$ berechnen. Auf sein Blatt schrieb er Folgendes:

1. a) Finde und erkläre die beiden mathematischen Fehler, die Marcos in seiner Lösung gemacht hat.
2. b) Erkläre, warum es wichtig ist, Klammern zu setzen, wenn wir eine Variable durch eine negative Zahl ersetzen.
3. c) Korrigiere das Vorgehen und berechne den richtigen Wert des Terms.

Ein Influencer untersucht das Wachstum seiner Follower. Er hat eine Formel entwickelt, um die „Impact-Punkte“ ($I$) seiner Beiträge abzuschätzen:

$I = 10a + 5b - 2c$

Dabei gilt:

• $a$ ist die Anzahl der „Likes“ (in Tausend).

• $b$ ist die Anzahl, wie oft der Beitrag geteilt wird.

• $c$ ist die Anzahl der negativen Kommentare.

Berechne den Wert des Impacts ($I$) für die folgenden Daten:

• $a = 5$

• $b = 20$

• $c = 15$

Wir wollen einen unbekannten Term finden, der alle folgenden Bedingungen erfüllt:

1. Er verwendet nur eine Variable $x$ und sein Grad ist $2$.

2. Er ist ein Binom aus einem Glied mit $x^2$ und einem konstanten Glied (einer Zahl ohne Variable).

3. Für $x = 0$ ist sein Wert $-5$.

4. Für $x = 3$ ist sein Wert $13$.

1. a) Leite Schritt für Schritt her, wie das konstante Glied lauten muss, indem du die gegebene Bedingung für $x = 0$ verwendest.
2. b) Finde heraus, welcher Koeffizient mit $x^2$ multipliziert werden muss, damit der geforderte Wert für $x = 3$ erreicht wird, und schreibe den vollständigen Term auf.
3. c) Welchen Wert hat dein Term für $x = -3$, ohne lange zu rechnen? Begründe deine Antwort anhand des Vorzeichens und des Exponenten.

Betrachte die folgende Folge von Figuren aus Holzstäbchen. Wir wollen wissen, wie viele Stäbchen wir für eine Reihe aus $n$ Quadraten brauchen.

Wenn du für 1 Quadrat 4 Stäbchen, für 2 Quadrate 7 Stäbchen und für 3 Quadrate 10 Stäbchen verwendest:

1. a) Wie viele Stäbchen kommen für jedes neue Quadrat dazu?

1. b) Schreibe die Formel bzw. den Term auf, mit dem man die Gesamtzahl der Stäbchen für $n$ Quadrate berechnen kann.

Wir legen eine Folge von Figuren aus quadratischen Fliesen nach einem bestimmten Muster. Betrachte die ersten drei Figuren der Folge:

• a) Wenn $n$ die Nummer der Figur angibt, schreibe einen Term auf, der angibt, wie viele quadratische Fliesen die Figur $n$ hat.

• b) Wie viele Fliesen hat die Figur mit der Nummer $25$?

• c) Welche Figurnummer hat genau $40$ Fliesen?

In einem Naturschutzgebiet wird das Wachstum einer Farnart untersucht, die sich nach einem geometrischen Muster ausbreitet. In der ersten Woche (Woche $n=1$) hat der Farn ein zentrales Blatt. In der zweiten Woche wachsen drei neue Blätter darum herum. In der dritten wachsen fünf weitere.

Betrachte das Muster der Schritte und bearbeite die folgenden Aufgaben:

• Finde einen Term, der die Gesamtzahl der Blätter des Farns in Woche $n$ angibt.

• Wenn ein Farn 121 Blätter hat, in welcher Woche befindet er sich?

• Berechne den Wert des Terms für die Woche $n = 15$.

Die Bestandteile eines Monoms zu erkennen ist grundlegend, um die Sprache der Algebra zu „sprechen“. Vervollständige im Kopf oder in deinem Heft die Angaben zu den folgenden Monomen:

• $5x^3 \rightarrow$ Koeffizient: ___ , Variablenteil: ___ , Grad: ___

• $-ab^2 \rightarrow$ Koeffizient: ___ , Variablenteil: ___ , Grad: ___

• $\frac{1}{2}y \rightarrow$ Koeffizient: ___ , Variablenteil: ___ , Grad: ___

• $-7 \rightarrow$ Koeffizient: ___ , Variablenteil: ___ , Grad: ___

Um Terme zu vereinfachen, dürfen wir nur gleichartige Monome (solche mit demselben Variablenteil) addieren oder subtrahieren. Vereinfache die folgenden Terme so weit wie möglich:

• $3x + 5x - x$

• $2a + 7b - a + 3b$

• $4x^2 + 2x^2 - 5x$

• $m + m + m + n + n$

Beim Arbeiten mit Monomen ist es wichtig, ihre Bestandteile zu erkennen, um mit ihnen rechnen zu können. Vervollständige die Angaben zu der folgenden Liste von Monomen:

• Monom A: $-5ax^3$

• Monom B: $\frac{2}{3}y^2z$

• Monom C: $-x^2y^2$

• Monom D: $12$

Gib für jedes Monom an:

1. den Koeffizienten,

2. den Variablenteil,

3. den Grad des Monoms,

4. Schreibe ein Monom auf, das zu Monom A gleichartig ist.

Vereinfache die folgenden Terme, indem du gleichartige Glieder zusammenfasst. Denke daran, die Vorzeichenregeln richtig anzuwenden:

• a) $5x^2 - 3x + 2x^2 + x - 8$

• b) $3ab + 5a - 2ab + 7b - 4a$

• c) $-(2x + 5) + 3(x - 1)$

• d) $4y^2 - (2y^2 - 5y) + 3y$

Führe die folgenden Rechnungen mit Monomen aus und vereinfache das Ergebnis, wenn möglich. Wenn das Ergebnis eine Zahl ist, gib sie an:

• a) $(3x^2) \cdot (4x^3)$

• b) $(-15a^4b^2) : (3a^2b)$

• c) $2 \cdot (5xy) \cdot (-x^2)$

• d) $\frac{10x^3y}{2x^3y}$

In einem Rollenspiel wird der Schaden eines Feuerzaubers mit dem Term $D = \frac{3(x + 2y)^2 - 6xy}{2}$ berechnet, wobei $x$ die Magiestufe der Figur und $y$ die Stärke des Stabs ist.

• Berechne den Schaden, wenn die Figur die Magiestufe $x = 4$ und die Stabstärke $y = 1$ hat.

• Ein Programmierer behauptet, dass sich der Schaden ohne Stab ($y = 0$) zu einem Term vereinfacht, der proportional zum Quadrat der Magiestufe ist. Zeige durch Einsetzen und Vereinfachen, ob das stimmt.

• Wenn wir die Magiestufe verdoppeln ($2x$) und den Stab bei $y = 0$ belassen, um das Wievielfache steigt der Gesamtschaden?

Betrachte die folgenden drei Monome: $A = 12x^2y$, $B = -4x^2y$ und $C = 5xy^2$.

Führe die folgenden gemischten Rechnungen aus und vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich:

• $A + B - \frac{1}{2}A$

• $(A \cdot C) : (2xy)$

• Erkläre begründet, warum du das Monom $A$ nicht zum Monom $C$ addieren kannst. Was müsste sich an ihrem Variablenteil ändern, damit es möglich wäre?