Aufgaben: Dreieckskonstruktionen

Konstruiere mit Zirkel und Lineal das Dreieck $ABC$ mit $c = 6\text{ cm}$, $b = 5\text{ cm}$ und $a = 4\text{ cm}$ (SSS).

Beschreibe die Konstruktionsschritte in der richtigen Reihenfolge.

Konstruiere das Dreieck $ABC$ mit $c = 7\text{ cm}$, $b = 4{,}5\text{ cm}$ und $\alpha = 50^\circ$ (SWS).

Nenne, welche Seite und welcher Winkel zuerst gezeichnet werden.

Konstruiere das Dreieck $ABC$ mit $c = 6\text{ cm}$, $\alpha = 45^\circ$ und $\beta = 60^\circ$ (WSW).

Wie groß ist der Winkel $\gamma$?

Ein Grundstück in Münster hat die Form eines Dreiecks. Zwei Grenzen messen $40\text{ m}$ und $55\text{ m}$, der Winkel dazwischen beträgt $70^\circ$. Du zeichnest einen Plan im Maßstab $1:1000$.

1. a) Berechne die Seitenlängen im Plan in cm.

1. b) Beschreibe die Konstruktion des Plans.

Ein Dreieck $ABC$ hat $a = 5\text{ cm}$, $b = 6\text{ cm}$ und $\beta = 40^\circ$ (die Seite $b$ liegt gegenüber von $\beta$).

1. a) Gib an, welche Angaben gegeben sind (Seiten und Winkel) und warum es sich nicht um SWS handelt.

1. b) Konstruiere das Dreieck. Wie viele verschiedene Dreiecke sind möglich?

Von einem Dreieck $ABC$ sind $c = 8\text{ cm}$, $\alpha = 55^\circ$ und $\gamma = 65^\circ$ bekannt.

1. a) Berechne $\beta$.

1. b) Erkläre, wie du das Dreieck mit dem WSW-Verfahren konstruierst, und führe die Konstruktion durch.

Untersuche, ob ein Dreieck mit den folgenden Seitenlängen konstruierbar ist. Begründe mit der Dreiecksungleichung.

1. a) $a = 3\text{ cm}$, $b = 4\text{ cm}$, $c = 8\text{ cm}$

1. b) $a = 5\text{ cm}$, $b = 7\text{ cm}$, $c = 12\text{ cm}$

1. c) $a = 6\text{ cm}$, $b = 7\text{ cm}$, $c = 12\text{ cm}$

Gegeben sind $a = 4\text{ cm}$, $c = 7\text{ cm}$ und $\gamma = 30^\circ$ (der Winkel liegt der längeren Seite gegenüber).

1. a) Konstruiere das Dreieck $ABC$.

1. b) Wie viele Lösungen gibt es? Begründe.

1. c) Untersuche, was sich ändert, wenn stattdessen $a = 7\text{ cm}$, $c = 4\text{ cm}$ und $\gamma = 30^\circ$ gegeben sind.

Zwei Dreiecke sollen konstruiert werden.

1. a) Begründe, warum man mit drei gegebenen Winkeln ($\alpha = 50^\circ$, $\beta = 60^\circ$, $\gamma = 70^\circ$) kein eindeutiges Dreieck konstruieren kann.

1. b) Für $\alpha = 50^\circ$, $\beta = 70^\circ$ und $\gamma = 70^\circ$ ist $a = 5\text{ cm}$ gegeben. Prüfe, ob die Angaben konsistent sind. Falls ja, konstruiere das Dreieck; falls nein, begründe, warum es kein solches Dreieck gibt.

1. c) Gib zwei verschiedene Dreiecke an, die dieselben drei Winkel haben.