Aufgaben: Kongruenzsätze

Erkläre in eigenen Worten, was es bedeutet, dass zwei Dreiecke kongruent sind. Nenne die vier Kongruenzsätze (SSS, SWS, WSW, SsW).

Zwei Dreiecke haben jeweils die Seitenlängen $4\text{ cm}$, $5\text{ cm}$ und $6\text{ cm}$. Sind sie kongruent? Nenne den passenden Kongruenzsatz.

Dreieck $ABC$ hat $a = 3\text{ cm}$, $b = 5\text{ cm}$, $\gamma = 40^\circ$. Dreieck $DEF$ hat $d = 3\text{ cm}$, $e = 5\text{ cm}$, $\zeta = 40^\circ$. Sind die Dreiecke kongruent? Begründe.

Entscheide für jedes Paar, ob die Dreiecke kongruent sind, und nenne gegebenenfalls den Kongruenzsatz.

1. a) $a = 5$, $b = 7$, $\gamma = 60^\circ$ und $a' = 5$, $b' = 7$, $\gamma' = 60^\circ$

1. b) $c = 6$, $\alpha = 40^\circ$, $\beta = 70^\circ$ und $c' = 6$, $\alpha' = 40^\circ$, $\gamma' = 70^\circ$

1. c) $\alpha = 30^\circ$, $\beta = 60^\circ$ und $\alpha' = 30^\circ$, $\beta' = 60^\circ$ (keine Seitenlängen gegeben)

Zwei Dreiecke stimmen in $c = 8\text{ cm}$, $a = 5\text{ cm}$ und $\gamma = 80^\circ$ überein.

1. a) Gib an, welche Seite dem Winkel $\gamma$ gegenüberliegt und ob der Winkel der größeren Seite gegenüberliegt.

1. b) Sind die Dreiecke kongruent? Nenne den Satz.

In einem Parallelogramm $ABCD$ ist $M$ der Schnittpunkt der Diagonalen. Es gilt $\overline{AM} = \overline{CM}$ und $\overline{BM} = \overline{DM}$.

1. a) Zeige, dass die Dreiecke $ABM$ und $CDM$ kongruent sind. Nenne den Satz.

1. b) Welche Aussage über die Seiten $AB$ und $CD$ folgt daraus?

Beweise: Die Diagonale $AC$ eines Rechtecks $ABCD$ zerlegt es in zwei kongruente Dreiecke $ABC$ und $CDA$. Schreibe den Beweis mit Voraussetzung, Behauptung und Begründung.

Beweise mit Kongruenzsätzen: In einem gleichschenkligen Dreieck $ABC$ mit $\overline{AC} = \overline{BC}$ ist $M$ der Mittelpunkt der Basis $AB$. Zeige, dass $\alpha = \beta$ gilt und dass $CM$ senkrecht auf $AB$ steht.

Zwei Dreiecke stimmen in zwei Seiten und einem Winkel überein, aber sie sind nicht kongruent.

1. a) Gib ein Beispiel mit konkreten Zahlen an ($a = 5\text{ cm}$, $b = 8\text{ cm}$ und $\alpha = 30^\circ$) und beschreibe die beiden Dreiecke.

1. b) Erkläre, warum der Satz SsW nur gilt, wenn der Winkel der größeren Seite gegenüberliegt.