Aufgaben: Boxplots

Die Noten einer Gruppe von $9$ Schülerinnen und Schülern in einer Mathematikarbeit sind: $3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10$.

Bestimme den Minimalwert, das untere Quartil ($Q_1$), den Median ($Me$), das obere Quartil ($Q_3$) und den Maximalwert, um einen Boxplot zu zeichnen.

Der folgende Boxplot zeigt das Alter der Besucherinnen und Besucher eines Museums an einem Vormittag.

Gib anhand des Diagramms das Mindestalter, das untere Quartil, den Median, das obere Quartil und das Höchstalter der Besucher an.

Die Fünf-Zahlen-Zusammenfassung der Gewichte (in kg) der in einer Tierarztpraxis behandelten Hunde lautet: Minimum = $5$, $Q_1 = 12$, Median = $18$, $Q_3 = 24$, Maximum = $35$.

Berechne die Spannweite der Verteilung und den Interquartilsabstand (IQA).

In einem Boxplot, der die Zeit (in Minuten) darstellt, die Schülerinnen und Schüler zur Schule brauchen, ist das untere Quartil $15$ und das obere Quartil $30$.

Wie viel Prozent der Schülerinnen und Schüler brauchen genau zwischen $15$ und $30$ Minuten zur Schule?

Ein Boxplot zeigt, dass der Abstand zwischen dem unteren Quartil und dem Median $2$ Einheiten beträgt, während der Abstand zwischen dem Median und dem oberen Quartil $10$ Einheiten beträgt.

Was sagt dieser Unterschied über die Verteilung und die Konzentration der Daten im mittleren Bereich aus?

Die Preise (in Euro) von $11$ Büchern in einem Regal sind: $12, 15, 15, 18, 20, 21, 24, 25, 28, 30, 35$.

Berechne die fünf Werte, die man zum Zeichnen des Boxplots braucht.

Gib an, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist, und begründe deine Antwort kurz:

„In jedem Boxplot stimmt das arithmetische Mittel immer genau mit der senkrechten Linie im Inneren der Box überein, die die Box teilt."

In einem Boxplot ist der linke Whisker (vom Minimum bis zu $Q_1$) sehr kurz, während der rechte Whisker (von $Q_3$ bis zum Maximum) extrem lang ist.

Was bedeutet das für die Streuung der Daten an den Rändern der Verteilung?

Markus untersucht die Wartezeit (in Minuten) an einer Bushaltestelle im Stadtverkehr und hat nach dem Ordnen der erhobenen Daten die folgende Fünf-Zahlen-Zusammenfassung erhalten: Minimum = $2$, $Q_1 = 5$, Median = $8$, $Q_3 = 11$ und Maximum = $22$.

Beim Formulieren seiner Schlussfolgerungen behauptet Markus: „Da der Interquartilsabstand $IQR = 11 - 5 = 6$ beträgt, ist jede Zeit über $Q_3 + IQR = 11 + 6 = 17$ Minuten ein Ausreißer. Also ist die Zeit von $22$ Minuten ein Ausreißer, weil sie $17$ Minuten überschreitet."

1. a) Erkenne und erkläre mit eigenen Worten den Denkfehler, den Markus in der Formel für die Grenze der Ausreißer macht.
2. b) Wende das richtige Kriterium des Boxplots an, um die Grenze zu berechnen, ab der ein Wert als Ausreißer gilt, und begründe, ob der Wert von $22$ Minuten weiterhin ein Ausreißer ist oder ob Markus mit seiner Schlussfolgerung nur zufällig recht hatte.

An einer Wetterstation des Deutschen Wetterdienstes in einer Großstadt wurden eine Woche lang im Frühling die täglichen Höchsttemperaturen (in $^{\circ}\text{C}$) gemessen. Die geordneten Werte sind: $14$, $16$, $17$, $19$, $21$, $24$ und $29$.

1. a) Schätze, bevor du etwas berechnest, anhand der Daten ab: Wie viel Prozent der Tage der Woche liegen in der Box des Boxplots? Schätze anhand der Abstände zwischen aufeinanderfolgenden Zahlen ab, ob die Box symmetrisch um den Median ($19$) liegt oder nach rechts bzw. links länger ausgedehnt ist. Begründe deine Vermutung.
2. b) Berechne nach der im Unterricht behandelten Methode für $N = 7$ (wobei $Q_1$ und $Q_3$ die Mediane der unteren und der oberen Hälfte sind, ohne den Gesamtmedian mitzuzählen) die genauen Werte von $Q_1$, dem Median $\tilde{x}$, $Q_3$ und den Interquartilsabstand ($IQR$).
3. c) Vergleiche die berechneten Ergebnisse mit deiner vorherigen Schätzung und prüfe, ob deine Überlegung zu Form und Schiefe der Box richtig war.

Die folgende Grafik zeigt die Boxplots der Akkulaufzeit (in Stunden) zweier Smartphone-Marken, Alpha und Beta.

1. a) Welche Marke hat den höheren Median bei der Akkulaufzeit?
2. b) Welche der beiden Marken weist im mittleren $50\%$ ihrer Daten die größere Streuung auf (größerer Interquartilsabstand)?

Eine Basketballmannschaft hat in ihren letzten $15$ Spielen die folgenden Punkte erzielt:

$65, 72, 78, 81, 82, 85, 88, 90, 92, 95, 98, 101, 105, 108, 112$.

Bestimme die Fünf-Zahlen-Zusammenfassung und berechne den Interquartilsabstand.

Ein Boxplot fasst die Körpergrößen von $120$ Sportlerinnen und Sportlern zusammen. Wenn das obere Quartil ($Q_3$) $185$ cm und der Maximalwert $205$ cm beträgt, wie viele Sportlerinnen und Sportler sind ungefähr größer als $185$ cm? Nimm an, dass es keine doppelten Werte gibt, die genau mit den Quartilen übereinstimmen.

In einer Studie zur Anzahl der Pulsschläge pro Minute einer Gruppe von Sportlerinnen und Sportlern in Ruhe ergab sich die folgende Zusammenfassung: $Q_1 = 48$, $Me = 52$, $Q_3 = 58$.

Einer der Sportler hatte $75$ Pulsschläge pro Minute. Entscheide mithilfe des mathematischen Kriteriums des Interquartilsabstands $IQR$ (ein Wert ist ein Ausreißer, wenn er größer als $Q_3 + 1,5 \cdot IQR$ ist), ob dieser Wert im Boxplot als Ausreißer dargestellt werden muss.

Die folgende Häufigkeitstabelle zeigt die Anzahl der Geschwister der Schülerinnen und Schüler einer Klasse:

• $0$ Geschwister: $6$ Schüler

• $1$ Geschwister: $10$ Schüler

• $2$ Geschwister: $8$ Schüler

• $3$ Geschwister: $4$ Schüler

• $4$ Geschwister: $2$ Schüler

Bestimme das Minimum, $Q_1$, $Me$, $Q_3$ und das Maximum, um den zugehörigen Boxplot zeichnen zu können.

Ein Boxplot hat eine sehr schmale Box, die zum linken Ende verschoben ist, und einen sehr langen rechten Whisker. Wenn du dieselben Daten in einem Histogramm darstellen würdest, welche Form hätte die Verteilung? (Symmetrisch, rechtsschief oder linksschief.) Erkläre kurz, warum.

Du kannst die Aufgabe auf Papier lösen und ein Foto deiner Antwort einsenden.

In einem Ingenieurbüro verdienen die $25\%$ der Beschäftigten mit dem höchsten Gehalt mehr als $3500$ € im Monat. Außerdem beträgt das niedrigste Gehalt im Unternehmen $1200$ € und $50\%$ der Belegschaft verdienen weniger als $2100$ €.

Gib an, welchen Kenngrößen des Boxplots (Minimum, $Q_1$, $Me$, $Q_3$, Maximum) die Werte $3500$ €, $1200$ € und $2100$ € entsprechen.

Für die Höchsttemperaturen einer Stadt im Juli wurde ein Boxplot erstellt, mit $Q_1 = 28^\circ \text{C}$, $Me = 31^\circ \text{C}$ und $Q_3 = 35^\circ \text{C}$.

Wenn im folgenden Jahr aufgrund einer Hitzewelle alle gemessenen Höchsttemperaturen um genau $3^\circ \text{C}$ steigen, wie lauten dann die neuen Werte von $Q_1$, $Me$ und $Q_3$? Ändert sich der Wert des Interquartilsabstands?

Der Kundenservice der Deutschen Bahn analysiert die Verspätungsminuten bei $25$ Fahrten auf zwei verschiedenen Regionalbahnlinien ($L_1$ und $L_2$), um deren Zuverlässigkeit zu bewerten. Die erhaltenen statistischen Zusammenfassungen sind:

• Linie $L_1$: Minimum = $1$ min, $Q_1 = 2$ min, Median = $3$ min, $Q_3 = 4$ min, Maximum = $20$ min (ein einziger Zug hatte einen Oberleitungsschaden).

• Linie $L_2$: Minimum = $0$ min, $Q_1 = 3$ min, Median = $6$ min, $Q_3 = 8$ min, Maximum = $10$ min (keine schweren Störungen, aber häufige Verspätungen).

1. a) Welches Streuungsmaß, die Spannweite oder der Interquartilsabstand ($IQA$), eignet sich besser, um die übliche Pünktlichkeit beider Linien zu vergleichen? Begründe deine Wahl und erkläre, wie sich die einzelne Störung von $20$ Minuten auf Linie $L_1$ auf jede der beiden Kenngrößen auswirkt.
2. b) Ein Bericht schlägt vor zu verkünden, „Linie $L_2$ ist zuverlässiger, weil ihre Spannweite nur $10$ Minuten beträgt gegenüber $19$ bei Linie $L_1$". Widerlege diese Aussage anhand des Boxplots (analysiere den Median und die Streuung der mittleren $50\,\%$ der Fahrten) und begründe, welche Linie du einer Person empfehlen würdest, die regelmäßig pünktlich zur Arbeit kommen muss.

Eine Tutorin im dualen Ausbildungssystem fasst in einem Boxplot die wöchentlichen Praktikumsstunden im Betrieb zusammen, die die $7$ Auszubildenden ihrer Gruppe leisten. Sie hat die ursprüngliche Liste verloren, besitzt aber noch die folgenden genauen Angaben aus dem Diagramm:

• Minimalwert = $10$ Stunden

• Unteres Quartil ($Q_1$) = $14$ Stunden

• Median ($Me$) = $18$ Stunden

• Oberes Quartil ($Q_3$) = $22$ Stunden

• Spannweite = $15$ Stunden

1. a) Leite den Maximalwert her und berechne den Interquartilsabstand ($IQA$) der Verteilung.
2. b) Rekonstruiere eine geordnete Liste von $7$ ganzen Zahlen, die genau diese Fünf-Zahlen-Zusammenfassung erfüllt, und erkläre, wie du jeden Wert gemäß der Definition von Median und Quartilen für $N = 7$ platzierst.
3. c) Ist deine Liste die einzige mögliche Kombination von Daten, die genau diesen Boxplot ergibt? Begründe deine Antwort, indem du angibst, welchen konkreten Wert du verändern könntest, zwischen welchen ganzen Zahlen er variieren dürfte und warum das keine der fünf Zahlen des Diagramms beeinflussen würde.

Eine Datenverteilung ist vollkommen symmetrisch. Bekannt ist, dass ihre Spannweite $40$ Einheiten beträgt, ihr Interquartilsabstand (IQA) $16$ Einheiten beträgt und der Minimalwert $10$ ist.

Berechne die genauen Werte von $Q_1$, $Me$, $Q_3$ und den Maximalwert.

Gegeben ist der folgende geordnete Datensatz zur Reaktionszeit (in Millisekunden) bei einem Experiment: $120, 135, 140, 145, 150, 160, 170, x$.

Bestimme den kleinsten Wert, den die Unbekannte $x$ haben muss, damit sie im Boxplot als oberer Ausreißer gilt. (Denke daran, dass für diese Rechnung $N=8$ gilt.)

Erfinde einen Datensatz aus genau $6$ positiven ganzen Zahlen, dessen Boxplot die folgenden Kenngrößen hat:

Minimum = $2$, $Q_1 = 5$, Median = $8$, $Q_3 = 12$, Maximum = $15$.

(Hinweis: Verwende zur Berechnung der Quartile die üblichen Regeln, nämlich den Median der unteren und der oberen Hälfte.)

Die folgende Grafik zeigt die Laufzeiten (in Millisekunden) von drei verschiedenen Algorithmen bei der Verarbeitung derselben Datenmenge.

Du musst einen Algorithmus für ein kritisches Echtzeitsystem auswählen, bei dem die Laufzeit auf keinen Fall $60$ ms überschreiten darf. Gleichzeitig soll die allgemeine Leistung (Median) so schnell wie möglich sein. Welchen Algorithmus würdest du wählen und warum? Begründe deine Antwort, indem du die beiden anderen ausschließt.

Die Gehälter (in Tausend Euro) von $200$ Beschäftigten sind in die folgenden Klassen eingeteilt:

• $[10;20)$: $40$ Beschäftigte

• $[20;30)$: $80$ Beschäftigte

• $[30;40)$: $60$ Beschäftigte

• $[40;50)$: $20$ Beschäftigte

Schätze die Werte von $Q_1$, $Me$ und $Q_3$ mithilfe linearer Interpolation innerhalb der Klassen, um den zugehörigen Boxplot skizzieren zu können.

In einem Boxplot der Einkommen einer Bevölkerung erkennt man, dass der Abstand von $Q_1$ zum Median $500$ € beträgt, während er vom Median bis $Q_3$ $2500$ € beträgt. Außerdem ist der obere Whisker deutlich länger als der untere.

Welche Beziehung erwartest du zwischen dem arithmetischen Mittel und dem Median (welcher Wert ist größer)? Begründe deine Antwort anhand der Asymmetrie der Box.

Ein Datensatz hat die folgende Fünf-Zahlen-Zusammenfassung: Minimum = $10$, $Q_1 = 20$, $Me = 25$, $Q_3 = 35$, Maximum = $50$.

Auf alle Daten wird die lineare Transformation $y = -2x + 100$ angewendet.

Berechne die neue Fünf-Zahlen-Zusammenfassung für die Variable $y$ und bestimme den neuen Interquartilsabstand. Achte besonders auf die Reihenfolge der Quartile bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl.

Ein Boxplot fasst Lage und Streuung mithilfe von Quartilen zusammen, kann aber die tatsächliche Form der Verteilung verbergen.

Gib zwei verschiedene Datensätze mit je $8$ Werten an: Der erste soll gleichverteilt sein (äquidistante Werte), der zweite stark bimodal (Werte an den Rändern konzentriert). Dabei sollen BEIDE Datensätze genau dasselbe Minimum, $Q_1$, denselben Median, $Q_3$ und dasselbe Maximum haben.

Aus einer Stichprobe plausibler Daten der Verdienststrukturerhebung des Statistischen Bundesamtes (Destatis) über junge Menschen unter $25$ Jahren in Deutschland ergibt sich folgende Fünf-Zahlen-Zusammenfassung ihres monatlichen Nettogehalts (in Euro):

1. a) Berechne den Interquartilsabstand ($IQA$) und bestimme die genauen Grenzwerte (Ausreißergrenzen), ab denen ein Gehalt als Ausreißer gilt. Begründe rechnerisch, ob das höchste Gehalt von $2100\text{ €}$ ein Ausreißer ist.
2. b) Das zweithöchste Gehalt der gesamten Stichprobe beträgt $1520\text{ €}$. Beschreibe genau, wie das obere Ende des Boxplots zu zeichnen ist: Bis zu welchem Zahlenwert reicht der rechte Whisker und wie wird das Gehalt von $2100\text{ €}$ dargestellt?
3. c) In einer Podiumsdiskussion behauptet ein Sprecher: „Da der rechte Whisker viel länger ist als der linke und die Box nach oben ($Q_3 - Me = 170\text{ €}$) breiter ist als nach unten ($Me - Q_1 = 70\text{ €}$), ist die Verteilung rechtsschief. Deshalb können wir mit völliger mathematischer Sicherheit sagen, dass das mittlere Gehalt über dem Median liegt ($1150\text{ €}$).“ Bewerte diese Aussage kritisch auf Grundlage dessen, was du über Boxplots gelernt hast: Warum ist die Asymmetrie der Darstellung ein Hinweis, aber keine ausreichende Garantie für die Lage des Mittelwerts?

Ein Team der Bildungsforschung untersucht die tägliche Zeit (in Minuten), die $8$ Schülerinnen und Schüler der $4.^{\circ}$ der Sekundarstufe I in sozialen Netzwerken verbringen. Du sollst eine Datenliste modellieren, die diese vier statistischen Bedingungen genau erfüllt:

1. Der Median beträgt genau $75$ Minuten.

2. Der Interquartilsabstand beträgt $IQA = 20$ Minuten, wobei die Box bezüglich des Medians vollkommen symmetrisch ist ($Me - Q_1 = Q_3 - Me$).

3. Es gibt keinen unteren Ausreißer, aber genau einen oberen Ausreißer.

4. Der kleinste Wert der Stichprobe beträgt $40$ Minuten.

1. a) Leite die zwingenden Zahlenwerte von $Q_1$ und $Q_3$ her und berechne die genaue Zahlenschwelle, ab der eine Zeit als oberer Ausreißer gilt.
2. b) Konstruiere eine geordnete Liste aus $8$ ganzen Zahlen, die alle Bedingungen erfüllt, und erkläre, wie du Median und Quartile für $N = 8$ berechnest (mit dem Mittelwert der mittleren Positionen jeder Hälfte).
3. c) Zeige, dass bei diesem Minimalwert von $40$ Minuten keine unteren Ausreißer auftreten können, und begründe, welche Schrankenbedingung der siebte Wert ($x_7$) erfüllen muss, damit nur der achte Wert ($x_8$) ein Ausreißer ist.

Herausforderung des Themas. Beeinflussen Bildschirme unseren Lebensstil? Als angehender Datenanalyst bzw. angehende Datenanalystin untersuchst du in einem kurzen statistischen Bericht den Zusammenhang zwischen Handynutzung und Sport in deinem Umfeld.

1. Grundgesamtheit und Stichprobe: Lege die Grundgesamtheit der Untersuchung fest und befrage eine Stichprobe von mindestens 15 Mitschülerinnen und Mitschülern oder Familienmitgliedern. Erhebe pro Person zwei Daten: tägliche Bildschirmzeit in Stunden und ob die Person regelmäßig Sport treibt (Ja/Nein).

2. Vierfeldertafel: Fasse die Stunden in zwei Gruppen zusammen (zum Beispiel $\le 3,5$ h und $> 3,5$ h) und erstelle eine Kontingenztafel, die beide Merkmale in Beziehung setzt.

3. Kennwerte und Boxplot: Gib die stetigen Stundendaten in eine Tabellenkalkulation oder GeoGebra ein. Berechne arithmetisches Mittel, Median, Modalwert, Varianz und Standardabweichung. Erstelle den Boxplot und kennzeichne den Interquartilsabstand und mögliche Ausreißer.

4. Begründete Auswertung: Verfasse einen kurzen Bericht, in dem du die Streuung, die Repräsentativität der Stichprobe und einen möglichen Zusammenhang zwischen beiden Merkmalen deutest.

Bewertet wird:

• Richtige Bestimmung von Grundgesamtheit und Stichprobe sowie sorgfältige Erstellung der Kontingenztafel.

• Genauigkeit bei der digitalen Berechnung der Lagemaße (arithmetisches Mittel, Median, Modalwert) und Streuungsmaße (Varianz, Standardabweichung).

• Korrekte Erstellung und Interpretation des Boxplots.

• Sorgfalt und kritisches Urteilsvermögen bei den Schlussfolgerungen im Abschlussbericht.