Aufgaben: Volumen

Für ein Klassenprojekt sollst du abschätzen, wie viel Wasser in deinen Schulrucksack passt. Angenommen, dein Rucksack hat ein Fassungsvermögen von $18.500 \text{ cm}^3$. Wie viele Liter Wasser könnte er enthalten, wenn er völlig wasserdicht wäre?

Denke daran, dass $1 \text{ dm}^3$ gleichbedeutend mit $1 \text{ Liter}$ ist.

Du hast ein neues Smartphone gekauft und möchtest das Volumen der Verpackung berechnen, um zu wissen, wie viel Platz sie in deinem Regal einnimmt. Die Verpackung ist ein Quader mit den folgenden Maßen: $16 \text{ cm}$ lang, $9 \text{ cm}$ breit und $5 \text{ cm}$ hoch. Berechne ihr Volumen in $\text{cm}^3$.

Eine bekannte Limonadenmarke verwendet zylinderförmige Dosen für ihre Getränke. Der Radius der Grundfläche der Dose beträgt $3 \text{ cm}$ und ihre Höhe beträgt $12 \text{ cm}$. Berechne das Volumen an Limonade, das in die Dose passt. (Verwende $\pi \approx 3,14$.)

Du bist mit deinen Freunden zelten und ihr habt ein Zelt in Form eines geraden dreiseitigen Prismas. Die Grundfläche des Zeltes (der Boden) ist ein Dreieck mit der Grundseite $2 \text{ m}$ und der Höhe $1,5 \text{ m}$. Das Zelt hat eine Länge (Tiefe) von $3 \text{ m}$. Wie groß ist das Luftvolumen im Zelt?

Du hast ein gläsernes Briefbeschwerer in Form einer regelmäßigen vierseitigen Pyramide. Der Flächeninhalt der quadratischen Grundfläche beträgt $25 \text{ cm}^2$ und die Höhe der Pyramide beträgt $9 \text{ cm}$. Berechne das Volumen an Glas, das zur Herstellung dieses Briefbeschwerers nötig ist.

Für eine Geburtstagsparty wurden Partyhüte aus Karton in Kegelform hergestellt. Jeder Hut hat einen Radius von $8 \text{ cm}$ und eine Höhe von $15 \text{ cm}$. Welches Luftvolumen ist im Hut „eingeschlossen“, wenn jemand ihn aufhat? (Verwende $\pi \approx 3,14$.)

Ein Tischtennisball hat einen Radius von $2 \text{ cm}$. Berechne das Volumen des Tischtennisballs in $\text{cm}^3$. (Verwende die Formel für das Kugelvolumen $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ und setze $\pi \approx 3,14$.)

Im Naturwissenschaftsraum gibt es ein kleines Aquarium in Form eines Quaders. Seine Maße sind $40 \text{ cm}$ lang, $20 \text{ cm}$ breit und $25 \text{ cm}$ hoch. Wenn wir es bis zu einer Höhe von $20 \text{ cm}$ mit Wasser füllen, wie viele Liter Wasser haben wir eingefüllt?

Lea möchte das Volumen einer zylinderförmigen Duftkerze berechnen. Die Kerze hat einen Durchmesser von $10\text{ cm}$ und eine Höhe von $12\text{ cm}$. In ihr Heft hat sie die folgende Lösung geschrieben:

1. a) Finde und erkläre ausführlich, welchen Denkfehler Lea in ihrem Ansatz gemacht hat.
2. b) Korrigiere ihre Rechnung und berechne das richtige Volumen des Wachses in der Kerze (setze $\pi \approx 3,14$).
3. c) Wenn Lea ihr falsches Ergebnis benutzen würde, um das Wachs bei der Fabrik zu bestellen, wie viel mal mehr Material als nötig hätte sie bestellt? Begründe deine Antwort anhand der Volumenformel, ohne erneut mit Dezimalzahlen zu rechnen.

Ein Ballhersteller produziert Basketbälle der Größe 7, die kugelförmig sind und einen Radius von $12\text{ cm}$ haben. Für den Vertrieb wird jeder aufgepumpte Ball in einen einzelnen würzelförmigen Karton verpackt, in den er genau hineinpasst (mit Kantenlängen von $24\text{ cm}$).

1. a) Schätze, bevor du das Volumen der Kugel berechnest, im Kopf das Volumen des würfelförmigen Kartons in Litern (denke daran, dass $1\text{ dm}^3 = 1\text{ Liter} = 1.000\text{ cm}^3$). Gib ausgehend von diesem Wert eine begründete Schätzung ab: Glaubst du, dass der Ball mehr oder weniger als die Hälfte des Kartonvolumens einnimmt?
2. b) Berechne das genaue Volumen des kugelförmigen Balls mit der passenden Formel (verwende $\pi \approx 3,14$) und gib es in Litern, auf zwei Dezimalstellen gerundet, an.
3. c) Überprüfe, ob deine anfängliche Schätzung richtig war, indem du berechnest, wie viel Prozent des Kartonvolumens der Ball tatsächlich einnimmt. Was denkst du über den Luftraum, der beim Transport ungenutzt bleibt?

Eine bekannte Shake-Marke hat für ihre Sommer-Sonderedition eine neue zylindrische Verpackung entworfen. Der Becher hat einen Durchmesser von $8\text{ cm}$ und eine Höhe von $15\text{ cm}$. Der Hersteller gibt an, dass der Shake $90\%$ des gesamten Fassungsvermögens der Verpackung einnimmt, um Platz für Luft zu lassen. Berechne, wie viele Milliliter ($ml$) Produkt jeder Becher enthält.

Du hast beschlossen, für ein Naturwissenschaftsprojekt eine Ameisenfarm aus Gel zu bauen. Der Behälter hat die Form eines Quaders mit den Maßen $25\text{ cm}$ Länge, $10\text{ cm}$ Breite und $18\text{ cm}$ Höhe. Wenn das Gel in Dosen zu $0,5\text{ Liter}$ verkauft wird, wie viele volle Dosen musst du kaufen, um die Ameisenfarm bis zu einer Höhe von $15\text{ cm}$ zu füllen?

Ein Parfümhersteller bringt einen Duft in einem Flakon in Form eines geraden Kegels auf den Markt. Der Radius der Grundfläche beträgt $3\text{ cm}$ und die Mantellinie misst $5\text{ cm}$. Berechne das Volumen des Parfüms, das in den Flakon passt, in Kubikzentimetern. Hilfe: Du musst zuerst die Höhe des Kegels mit dem Satz des Pythagoras bestimmen.

In einem Wissenschaftsmuseum gibt es eine interaktive Ausstellung mit einer Glaskugel, die mit einem Edelgas gefüllt ist. Wenn der Durchmesser der Kugel $60\text{ cm}$ beträgt, wie groß ist das Gasvolumen in ihrem Inneren? Gib das Ergebnis in Kubikmetern ($m^3$) an.

Ein Getreidesilo hat eine zusammengesetzte Form: einen zylindrischen Körper mit der Höhe $10\text{ m}$ und oben eine halbkugelförmige Kuppel. Wenn der Radius der Grundfläche $4\text{ m}$ beträgt, berechne das gesamte Fassungsvermögen des Silos in Hektolitern ($hl$).

Für ein Videospiel-Event wurde ein Pokal entworfen, der aus einer geraden Bronzepyramide mit quadratischer Grundfläche besteht. Die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche misst $12\text{ cm}$ und die Seitenkante (die, die die Spitze mit einer Ecke der Grundfläche verbindet) misst $10\text{ cm}$. Berechne das Bronzevolumen, das zur Herstellung eines Pokals nötig ist.

Das Prinzip von Cavalieri besagt: Zwei Körper mit derselben Höhe, deren Querschnitte in gleichem Abstand von der Grundfläche denselben Flächeninhalt haben, besitzen dasselbe Volumen. Vergleiche ein regelmäßiges sechsseitiges Prisma mit der Höhe $20\text{ cm}$ und dem Grundflächeninhalt $30\text{ cm}^2$ mit einem Zylinder mit derselben Höhe und demselben Grundflächeninhalt. Wenn wir in jeden $0,5\text{ Liter}$ Wasser gießen, welcher füllt sich zuerst? Begründe deine Antwort, indem du das Volumen beider Körper berechnest.

Ein städtisches Schwimmbecken in Form eines Quaders hat ein Fassungsvermögen von $1200\text{ m}^3$. Wir wissen, dass das Becken $50\text{ Meter}$ lang und $12\text{ Meter}$ breit ist. Berechne die Tiefe (Höhe) des Beckens. Wenn die Stadt aus Sicherheitsgründen beschließt, es nur bis zu $4/5$ seines Fassungsvermögens zu füllen, wie viele Liter Wasser sind dann im Becken?

Ein Eismacher aus Alicante möchte eine neue kegelförmige Form zum Servieren von Sorbet entwerfen lassen. Er hat festgelegt, dass die Form bei randvoller Füllung genau ein Fassungsvermögen von $200\text{ ml}$ haben soll (denke daran, dass $1\text{ ml} = 1\text{ cm}^3$). Aus Gründen der Standfestigkeit auf dem Tisch hat er außerdem entschieden, dass die Höhe des Kegels genau das Vierfache des Radius seiner kreisförmigen Grundfläche betragen soll ($h = 4r$).

1. a) Schreibe die Formel für das Kegelvolumen auf, indem du die Höhe $h$ durch den Ausdruck $4r$ ersetzt, und vereinfache sie so, dass sie nur noch vom Radius $r$ abhängt.
2. b) Stelle die entsprechende Gleichung auf, indem du die obige Formel mit dem gewünschten Volumen ($200\text{ cm}^3$) gleichsetzt, und bestimme den Wert des Radius $r$ und der Höhe $h$. Runde die Maße auf Zehntelzentimeter (verwende $\pi \approx 3,14$).
3. c) Führe die Probe durch: Berechne das Volumen des Kegels mit den erhaltenen Maßen und überprüfe, dass sich ein Wert nahe den geforderten $200\text{ ml}$ ergibt (der kleine Unterschied entsteht durch das Runden).

Laut den Aufzeichnungen einer Wetterstation des spanischen Wetterdienstes AEMET in der Provinz Alicante fiel bei einem Starkregenereignis eine Niederschlagsmenge von $75\text{ l/m}^2$ (Liter pro Quadratmeter). Ein landwirtschaftlicher Gärtnereibetrieb in der Gegend besitzt ein flaches Polycarbonatdach von $20\text{ m}$ Länge und $8\text{ m}$ Breite, das das gesamte gefallene Wasser auffängt und vollständig in eine zylindrische Zisterne mit $3\text{ m}$ Innendurchmesser und $4\text{ m}$ Tiefe leitet, die vor dem Unwetter völlig leer war.

1. a) Modelliere die Situation und berechne das gesamte Regenwasservolumen (sowohl in Litern als auch in Kubikmetern), das das Gewächshausdach aufgefangen hat.
2. b) Bestimme die Höhe in Metern, die das Wasser in der Zisterne nach dem Ende des Ereignisses erreicht (verwende $\pi \approx 3,14$ und runde auf zwei Dezimalstellen).
3. c) Interpretiere das erhaltene Ergebnis: Besteht die Gefahr, dass die Zisterne übergelaufen ist? Falls nicht, wie viele Liter mehr wären nötig gewesen, um sie ganz zu füllen?

Ein Designer hat für ein eSports-Turnier einen Pokal mit einer komplexen geometrischen Form entworfen. Der Pokal besteht aus einem geraden Holzprisma mit quadratischer Grundfläche, auf dem eine gerade Metallpyramide mit quadratischer Grundfläche steht. Die Kante der gemeinsamen Grundfläche misst $12\text{ cm}$. Die Höhe des Prismas beträgt $20\text{ cm}$ und die Seitenkante der Pyramide misst $10\text{ cm}$. Berechne das Gesamtvolumen des Pokals in Kubikdezimetern ($dm^3$).

Ein industrielles Stahlteil hat die Form eines Quaders mit den Maßen $10\text{ cm} \times 8\text{ cm} \times 6\text{ cm}$. Um sein Gewicht zu verringern, wurde eine zylindrische Bohrung angebracht, die das Teil über seine größte Fläche von oben nach unten durchdringt. Der Radius des Zylinders beträgt $2\text{ cm}$. Die Dichte von Stahl beträgt $7,85\text{ g/cm}^3$. Berechne die Gesamtmasse des Teils in Kilogramm. (Verwende $\pi \approx 3,14$.)

Im Physiklabor tauchen die Schülerinnen und Schüler eine Bleikugel vollständig in ein zylindrisches Gefäß, das bis zur Hälfte mit Wasser gefüllt ist. Der Radius des Gefäßes beträgt $10\text{ cm}$. Beim Eintauchen der Kugel steigt der Wasserspiegel genau um $4,5\text{ cm}$, ohne überzulaufen. Wie groß ist der Radius der Bleikugel? Gib das Ergebnis in Zentimetern mit zwei Dezimalstellen an.

Ein Wassertank hat die Form eines geraden Pyramidenstumpfs mit quadratischer Grundfläche. Die Kanten der beiden Grundflächen messen $4\text{ m}$ bzw. $2\text{ m}$. Die Höhe des Tanks beträgt $3\text{ m}$. Der Tank ist bis zu drei Vierteln seiner Höhe gefüllt (das Wasser reicht also $2,25\text{ m}$ über den Boden). Wie viele Liter Wasser enthält er? (Hinweis: Du musst die Ähnlichkeit verwenden, um die Seitenlänge der Wasseroberfläche zu bestimmen.)

Berechne das Volumen einer geraden sechseckigen Pyramide, deren Seitenkante $13\text{ cm}$ misst und deren Grundseite $10\text{ cm}$ misst. Denke daran, dass in einem regelmäßigen Sechseck der Umkreisradius gleich der Seitenlänge ist. Gib das Ergebnis in $cm^3$ an und runde auf ganze Zahlen.

Ein Eishersteller möchte zwei Behälter vergleichen. Der erste hat die Form eines Kegels mit dem Radius $6\text{ cm}$ und der Höhe $15\text{ cm}$. Der zweite ist ein Zylinder mit demselben Radius und derselben Höhe, der aber eine Halbkugel aus Schokolade enthält, die den unteren Teil ausfüllt. Wenn der Radius der Halbkugel ebenfalls $6\text{ cm}$ beträgt, welcher der beiden Behälter hat das größere für das Vanilleeis verfügbare Volumen? Begründe deine Antwort durch Rechnung.

Für einen Skate-Park soll eine Betonrampe gebaut werden. Die Rampe hat die Form eines geraden Prismas, dessen Grundfläche ein rechtwinkliges Trapez ist. Die parallelen Seiten des Trapezes messen $3\text{ m}$ und $1\text{ m}$, seine Höhe (Länge der Rampe am Boden) beträgt $5\text{ m}$. Wenn die Breite der Rampe $4\text{ m}$ beträgt, berechne, wie viele Kubikmeter Beton benötigt werden und wie hoch die Gesamtkosten sind, wenn der Preis $95\text{ €/m}^3$ beträgt.

Ein Parfümhersteller verkauft sein Spitzenprodukt in einem Flakon, der aus einem Glaszylinder mit dem Durchmesser $4\text{ cm}$ und der Höhe $10\text{ cm}$ besteht, abgeschlossen von einem kegelförmigen Verschluss mit derselben Grundfläche und der Höhe $3\text{ cm}$. Wenn der Flakon nur bis zu $85\%$ seines gesamten Fassungsvermögens gefüllt wird, um Platz für Luft zu lassen, wie viele Milliliter ($ml$) Parfüm enthält dann jeder Flakon? (Verwende $\pi \approx 3,1416$.)

Eine Zerspanungswerkstatt soll massive Bronzeteile in Form eines geraden Prismas mit regelmäßig sechseckiger Grundfläche herstellen. Die Höhe des Teils beträgt $15\text{ cm}$, die Seitenlänge des Sechsecks der Grundfläche misst $8\text{ cm}$ und die Apothema der Grundfläche misst etwa $6,93\text{ cm}$. Zwei Praktikanten schlagen zwei Methoden vor, um das Metallvolumen zu berechnen:

• Methode 1 (Markus): Er berechnet den Flächeninhalt des Sechsecks mit der üblichen Formel für regelmäßige Vielecke ($A = \frac{perímetro \cdot apotema}{2}$) und multipliziert ihn mit der Höhe des Prismas.

• Methode 2 (Sarah): Sie zerlegt das sechseckige Prisma gedanklich in $6$ identische gerade dreiseitige Prismen, deren Grundfläche ein Dreieck mit der Grundseite $8\text{ cm}$ und der Höhe $6,93\text{ cm}$ ist, berechnet das Volumen eines davon und multipliziert es mit $6$.

1. a) Wende beide Methoden numerisch an und prüfe, ob sie genau zum selben Ergebnis führen.
2. b) Begründe algebraisch, warum beide Methoden mathematisch gleichwertig sind, indem du ihre allgemeinen Formeln untersuchst.
3. c) Im endgültigen Entwurf wird beschlossen, das Teil von oben nach unten mit einer zentralen zylindrischen Bohrung mit dem Durchmesser $4\text{ cm}$ zu durchbohren, um Gewicht zu sparen. Welche der beiden Methoden lässt sich am besten anpassen, um das Volumen des verbleibenden Metalls zu berechnen? Erkläre deine Wahl und berechne das Endvolumen des durchbohrten Teils (verwende $\pi \approx 3,14$).

In einer Genossenschaft in Castilla y León wird ein Metallsilo zur Getreidelagerung geplant. Der Hauptkörper ist ein senkrechter Zylinder mit dem Grundflächenradius $4\text{ m}$ und der Höhe $12\text{ m}$, oben abgeschlossen durch einen kegelförmigen Trichter, dessen Radius mit dem des Zylinders übereinstimmt und dessen Mantellinie $5\text{ m}$ misst.

1. a) Zeichne dir im Kopf den Querschnitt des Kegeldachs, erkenne das rechtwinklige Dreieck, das seine Elemente bilden, und bestimme mit dem Satz des Pythagoras die genaue Höhe des oberen Kegels.
2. b) Die Schüttdichte von trockenem Weizen beträgt $0,8\text{ t/m}^3$ ($0,8$ Tonnen pro Kubikmeter). Berechne die maximale Masse Weizen in Tonnen, die der vollständig gefüllte Silo (Zylinder und Kegel zusammen) fassen kann. Verwende $\pi \approx 3,14$.
3. c) Der Silo-Verantwortliche behauptet: „Da die Höhe des Kegels ein Viertel der Höhe des Zylinders ist, muss der Kegel ungefähr $25\%$ des Gesamtvolumens des Silos ausmachen.“ Untersuche diese Aussage mathematisch, indem du den tatsächlichen prozentualen Anteil des Kegelvolumens am Gesamtvolumen berechnest, und erkläre mit geometrischen Argumenten, warum die Überlegung des Verantwortlichen falsch ist.