Aufgaben: Flächeninhalt

Ein Handwerker fertigt riesige Holzwürfel für eine Spielothek an. Jeder Würfel ist ein perfekter Würfel mit der Kantenlänge $a = 12 \text{ cm}$. Berechne die gesamte Holzoberfläche, die er bei jedem der Würfel streichen muss.

Berechne die Oberfläche eines quaderförmigen Schuhkartons mit den Maßen $15 \text{ cm}$ Breite, $30 \text{ cm}$ Länge und $10 \text{ cm}$ Höhe. Zeichne zur Hilfe skizzenhaft sein Netz.

Du kannst es auf Papier lösen und ein Foto mit deiner Antwort schicken.

Für ein Technikprojekt sollst du eine zylindrische Stiftedose mit Klebefolie bekleben. Die Dose hat den Grundflächenradius $r = 4 \text{ cm}$ und die Höhe $h = 12 \text{ cm}$. Berechne, wie viele Quadratzentimeter Folie du brauchst, wenn die Dose oben offen ist (sie hat nur eine Grundfläche). Verwende $\pi \approx 3,14$.

Ein Gartenzelt hat die Form eines geraden dreiseitigen Prismas. Die Grundfläche ist ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge $l = 3 \text{ m}$. Die Länge des Zelts (Höhe des Prismas) beträgt $5 \text{ m}$. Berechne den Mantelflächeninhalt des Zelts (ohne die beiden dreieckigen Grundflächen).

Bestimme die Oberfläche einer geraden quadratischen Pyramide, wenn die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche $8 \text{ cm}$ beträgt und die Höhe der Seitenflächen $10 \text{ cm}$ misst.

Ein Basketball hat den Radius $r = 12 \text{ cm}$. Berechne die Lederfläche, die zu seiner Herstellung nötig ist, und runde das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen. (Denke daran: Die Oberfläche der Kugel beträgt $A = 4 \cdot \pi \cdot r^2$.)

Betrachte das Netz dieses geometrischen Körpers. Wenn jedes der gleichschenkligen Dreiecke einen Flächeninhalt von $15 \text{ cm}^2$ hat und das Quadrat in der Mitte die Seitenlänge $6 \text{ cm}$ hat, wie groß ist dann der gesamte Flächeninhalt der Figur, wenn sie zusammengebaut ist? Welcher geometrische Körper entsteht?

Berechne den Mantelflächeninhalt eines Zylinders, dessen Grundkreisumfang $C = 25,12 \text{ cm}$ beträgt und dessen Höhe $h = 10 \text{ cm}$ ist. (Tipp: Wenn man den Zylinder aufklappt, ist die Mantelfläche ein Rechteck, dessen Grundseite der Länge des Kreisumfangs entspricht.)

Markus möchte eine zylinderförmige Stiftedose mit Klebefolie bekleben. Die Dose ist oben offen, ihre kreisförmige Grundfläche hat den Radius $4\text{ cm}$ und ihre Höhe beträgt $12\text{ cm}$. Um die benötigte Menge Folie zu berechnen, notiert Markus in seinem Heft:\n- Mantelfläche: $A_L = 2 \cdot \pi \cdot 4 \cdot 12 \approx 301,59\text{ cm}^2$\n- Grundfläche: $A_{base} = \pi \cdot 4^2 \approx 50,27\text{ cm}^2$\n- Gesamtoberfläche: $A_T = A_L + 2 \cdot A_{base} = 301,59 + 2 \cdot 50,27 = 402,13\text{ cm}^2$\na) Benenne den geometrischen Denkfehler, den Markus gemacht hat, wenn man die Funktion des zu beklebenden Gegenstands berücksichtigt.\nb) Erkläre, welche Änderung an der Formel für die Oberfläche anhand des Netzes eines oben offenen Zylinders nötig ist.\nc) Berechne die tatsächliche Folienfläche, die Markus zuschneiden muss (verwende $\pi \approx 3,14$).

Für das Schultraining werden regelkonforme kugelförmige Handbälle der Größe 2 verwendet, deren Radius $8,5\text{ cm}$ beträgt.\na) Schätze, bevor du genau rechnest, den Flächeninhalt der Kugeloberfläche ab, indem du den Radius im Kopf auf $8\text{ cm}$ und die Zahl $\pi$ auf $3$ rundest. Begründe, ob der tatsächliche Flächeninhalt deiner Meinung nach größer oder kleiner als $1.000\text{ cm}^2$ ist.\nb) Berechne nun genau die Lederfläche des Balls mit der Formel für die Kugeloberfläche ($A = 4 \cdot \pi \cdot r^2$) mit dem tatsächlichen Radius $8,5\text{ cm}$ und $\pi \approx 3,14$. Runde das Ergebnis auf Hundertstel.\nc) Vergleiche den erhaltenen Wert mit deiner ursprünglichen Schätzung und beurteile, warum eine vorherige Schätzung uns hilft zu prüfen, ob Rechnungen mit dem Taschenrechner sinnvoll sind.

Für ein Technikprojekt sollst du eine Holzkiste in Form eines regelmäßigen sechsseitigen Prismas bauen. Die Kante der Grundfläche misst $4\text{ cm}$ und die Höhe des Prismas beträgt $15\text{ cm}$. Berechne die gesamte Holzfläche, die du für den Bau der Kiste brauchst (einschließlich der beiden Grundflächen).

(Hinweis: Um den Flächeninhalt der Grundfläche zu bestimmen, musst du zuerst die Höhe des Seitendreiecks des Sechsecks mit dem Satz des Pythagoras berechnen.)

Ein Zelt für eine Jugendveranstaltung hat die Form einer regelmäßigen vierseitigen Pyramide. Die Seite der quadratischen Grundfläche misst $10\text{ m}$ und die Höhe der Pyramide (vom Mittelpunkt der Grundfläche bis zur Spitze) beträgt $12\text{ m}$. Berechne, wie viele Quadratmeter Zeltplane für die vier Seitenflächen des Zeltes benötigt wurden.

Ein Hersteller handgefertigter Kerzen möchte die Mantelfläche einer zylindrischen Kerze mit silbernem Schutzpapier umhüllen. Die Kerze hat einen Durchmesser von $8\text{ cm}$ und eine Höhe von $20\text{ cm}$. Wenn das Papier nur den gekrümmten Teil (ohne die Grundflächen) bedecken soll, welche Papierfläche wird für jede Kerze benötigt? Verwende $\pi \approx 3,14$.

In einer Eisdiele mit besonderem Design hat man eine Eiswaffel in Form eines geraden Kegels entwickelt, deren Höhe $12\text{ cm}$ und deren Grundflächenradius $5\text{ cm}$ beträgt. Berechne den Oberflächeninhalt der Waffel (Mantelfläche plus Kreisfläche der Grundfläche), um zu wissen, wie viel Schokolade man braucht, um sie vollständig zu überziehen.

(Tipp: Du musst zuerst die Mantellinie des Kegels bestimmen.)

Ein moderner Blumentopf hat die Form eines geraden Pyramidenstumpfs mit quadratischer Grundfläche. Die Grund- und die Deckfläche sind Quadrate mit den Seitenlängen $20\text{ cm}$ bzw. $12\text{ cm}$. Die Höhe der Seitenflächen (die Apothema des Stumpfs) beträgt $10\text{ cm}$. Berechne den Flächeninhalt der gesamten Außenoberfläche des Blumentopfs (einschließlich Deck- und Grundfläche).

Die Kuppel einer Sternwarte in Form einer Halbkugel mit dem Radius $6\text{ Meter}$ soll restauriert werden. Das Budget für die Farbe beträgt $15\text{ €}$ pro Quadratmeter. Wie viel kostet es, die Außenfläche der Kuppel zu streichen? (Verwende $\pi \approx 3,14$.)

Ein dekorativer Leuchtturm für einen Garten besteht aus zwei Körpern: einem Zylinder mit dem Radius $10\text{ cm}$ und der Höhe $30\text{ cm}$, auf dem ein Kegel mit derselben Grundfläche und der Mantellinie $15\text{ cm}$ sitzt. Berechne den Flächeninhalt der gesamten Außenoberfläche dieses Leuchtturms (ohne die Grundfläche, auf der er steht).

Berechne die Oberfläche eines Würfels, wenn die Diagonale einer seiner Seitenflächen $10\text{ cm}$ misst.

(Tipp: Verwende den Satz des Pythagoras in einer der Seitenflächen, um die Kantenlänge des Würfels zu bestimmen, bevor du die Oberfläche berechnest.)

Eine Gemüsekonservenfabrik in Navarra stellt zylindrische Weißblechdosen für Spargel her. Das technische Team hat festgelegt, dass die kreisförmige Grundfläche der Dose den Radius $4\text{ cm}$ haben soll. Der Schneidemaschine stehen genau $351,68\text{ cm}^2$ Blech zur Verfügung, um jede vollständig geschlossene Dose herzustellen (Mantelfläche plus die beiden kreisförmigen Deckel).\na) Stelle eine Gleichung auf, in der die Höhe $h$ des Zylinders die Variable ist. Verwende dazu die gegebenen Daten und die Formel für die Oberfläche ($A_T = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h + 2 \cdot \pi \cdot r^2$, mit $\pi \approx 3,14$).\nb) Löse die Gleichung, um die genaue Höhe der Dose zu berechnen.\nc) Die Qualitätsabteilung gibt an, dass die ideale Höhe für diese Menge Konserve zwischen $9\text{ cm}$ und $11\text{ cm}$ liegen muss. Entscheide begründet, ob die ermittelten Maße diesen Qualitätsstandard erfüllen.

In der Region La Mancha soll das kegelförmige Dach einer Windmühle saniert werden, um das innere Mahlwerk vor den vom Wetterdienst gemeldeten Starkregenfällen zu schützen. Das Dach hat die Form eines geraden Kegels: Der Radius der kreisförmigen Grundfläche misst $3\text{ m}$ und die senkrechte Höhe vom Mittelpunkt der Grundfläche bis zur Spitze misst $4\text{ m}$. Abgedichtet wird nur die äußere Mantelfläche (der Kegel hat keine Grundfläche, die abgedeckt werden müsste, da er offen auf dem gemauerten Turm aufliegt).\na) Modelliere den Querschnitt des Dachs durch ein rechtwinkliges Dreieck und berechne die Mantellinie des Kegels mit dem Satz des Pythagoras.\nb) Berechne, wie viele Quadratmeter Kegelmantel abgedichtet werden müssen (verwende $\pi \approx 3,14$).\nc) Für das Verlegen der Dichtungsbahnen müssen wegen Zuschnitt und Überlappung zusätzlich $10\,\%$ Material bestellt werden. Wenn der Quadratmeter Dichtungsbahn $25\text{ €}$ kostet, berechne die gesamten Materialkosten für die Sanierung.

Ein Designunternehmen möchte eine Deckenlampe in Form einer regelmäßigen sechsseitigen Pyramide herstellen. Die Seite des Sechsecks der Grundfläche misst $10\text{ cm}$ und die Höhe der Pyramide beträgt $24\text{ cm}$. Damit das Licht richtig abgestrahlt wird, sollen die Seitenflächen mit einer speziellen Kupferfolie verkleidet werden. Berechne, wie viele $\text{cm}^2$ Kupferfolie benötigt werden, um die Mantelfläche der Lampe zu bedecken. Beachte, dass du zuerst die Höhe des Seitendreiecks der Grundfläche (Inkreisradius des Sechsecks) und mit ihr die Höhe der Seitenflächen der Pyramide bestimmen musst.

Ein Architekt hat für ein Museum ein Oberlicht entworfen, das aus einem Pyramidenstumpf aus Glas mit quadratischer Grundfläche besteht. Die untere Grundfläche hat eine Seitenlänge von $4\text{ m}$, die obere Grundfläche eine Seitenlänge von $2\text{ m}$ und die Höhe des Stumpfes beträgt $1,5\text{ m}$. Das Glas für die Seitenflächen kostet $85\text{ €/m}^2$. Berechne das Budget, das für den Kauf des Glases der Mantelfläche nötig ist, und runde das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen.

Es wurde eine Trophäe aus Acrylglas entworfen, die aus einem geraden Zylinder mit $10\text{ cm}$ Höhe und $6\text{ cm}$ Durchmesser besteht, aus dem an der oberen Grundfläche eine perfekte Halbkugel herausgenommen wurde, deren Radius genau dem Radius des Zylinders entspricht. Berechne den gesamten Oberflächeninhalt der Trophäe (zylindrische Außenfläche, untere Grundfläche und die gekrümmte Fläche der halbkugelförmigen Aushöhlung). Verwende $\pi \approx 3,14$.

Ein Industrietank hat die Form eines geraden Zylinders, auf dem ein Kegel mit derselben Grundfläche sitzt. Die Höhe des zylindrischen Teils beträgt $8\text{ m}$ und die Höhe des kegelförmigen Teils $3\text{ m}$. Der Durchmesser des Tanks beträgt $8\text{ m}$. Es soll die gesamte äußere Mantelfläche einschließlich der oberen Fläche (Kegel) gestrichen werden, nicht aber die Grundfläche, auf der der Tank steht. Wenn man mit jedem Farbeimer $15\text{ m}^2$ streichen kann, wie viele Farbeimer müssen mindestens gekauft werden?

Ein Holzwürfel mit $12\text{ cm}$ Kantenlänge wird durch eine Ebene geschnitten, die durch die Mittelpunkte dreier in einer Ecke zusammenlaufender Kanten verläuft, wodurch eine kleine dreiseitige Pyramide (ein unregelmäßiges Tetraeder) abgetrennt wird. Berechne den Oberflächeninhalt des Körpers, der übrig bleibt, nachdem die kleine Pyramide entfernt wurde. Hilfe: Der Schnitt erzeugt eine neue Fläche, die ein gleichseitiges Dreieck ist, dessen Seiten die Diagonalen der Quadrate mit der Seitenlänge $6\text{ cm}$ sind.

Ein Hersteller von Gymnastikbällen produziert Gummikugeln in zwei Größen. Der kleine Ball hat eine Oberfläche von $5024\text{ cm}^2$. Der große Ball hat einen Radius, der genau doppelt so groß ist wie der des kleinen Balls. Berechne den Flächeninhalt der Oberfläche des großen Balls. Welches Zahlenverhältnis (Quotient) besteht zwischen dem Flächeninhalt des großen und dem des kleinen Balls? Verwende $\pi = 3,14$.

Es soll ein Gewächshaus in Form eines halben Zylinders gebaut werden, der auf dem Boden liegt, wie in der Abbildung gezeigt. Die Länge des Gewächshauses beträgt $15\text{ m}$ und die Breite der Grundfläche (der Durchmesser des Halbzylinders) $6\text{ m}$. Wenn die Folie zur Abdeckung des gekrümmten Teils und der beiden Stirnwände (Halbkreise) $12\text{ €/m}^2$ kostet, wie hoch sind die gesamten Kosten der benötigten Folie? (Der Boden zählt nicht mit.)

Ein mechanisches Bauteil aus Stahl hat die Form eines geraden Prismas mit quadratischer Grundfläche und einer zylindrischen Bohrung, die es mittig von einer Grundfläche zur anderen durchzieht. Die Seite des Quadrats der Prismengrundfläche misst $10\text{ cm}$ und die Höhe des Bauteils beträgt $20\text{ cm}$. Der Durchmesser der zylindrischen Bohrung beträgt $8\text{ cm}$. Berechne den Flächeninhalt der gesamten Oberfläche des Bauteils (einschließlich der Innenfläche der Bohrung).

Für den Entwurf eines Denkmals in einem öffentlichen Park plant die Gemeinde einen Turm aus einem geraden Prisma mit quadratischer Grundfläche der Seitenlänge $4\text{ m}$ und der Höhe $10\text{ m}$, gekrönt von einer geraden Pyramide mit quadratischer Grundfläche gleicher Größe und einer senkrechten Höhe von $1,5\text{ m}$. Zwei Architekten streiten darüber, wie die gesamte äußere Oberfläche zu berechnen ist, die eine wasserabweisende Behandlung benötigt (einschließlich der unteren Grundfläche des Prismas, die auf dem vorbereiteten Untergrund aufliegt):\n- Lauras Methode: „Ich berechne den Oberflächeninhalt der vollständigen Pyramide mit ihrer Formel, addiere den Oberflächeninhalt des vollständigen Prismas mit seiner Formel und subtrahiere zweimal den Flächeninhalt des Quadrats, an dem sie zusammentreffen.“\n- Sergios Methode: „Ich betrachte das äußere Netz des zusammengesetzten Körpers: Ich berechne direkt den Flächeninhalt der unteren Grundfläche, den der Mantelfläche des Prismas und den der Mantelfläche der Pyramide und addiere diese drei Größen.“\na) Zeige formal, dass beide Methoden zum selben algebraischen Ausdruck für die Oberfläche führen.\nb) Begründe, welche der beiden Methoden in der Werkstattpraxis günstiger und effizienter ist, um Fehler zu vermeiden.\nc) Wende die günstigere Methode an, um die gesamte äußere Oberfläche zu bestimmen, die behandelt werden muss. (Beachte, dass du für die Pyramide zuerst die Höhe der Seitenfläche mit dem Satz des Pythagoras aus der halben Seitenlänge der Grundfläche und ihrer senkrechten Höhe berechnen musst.)

Eine Genossenschaft für natives Olivenöl extra aus Andalusien (Jaén) möchte eine hochwertig gestaltete Metalldose in Form eines regelmäßigen sechsseitigen Prismas vermarkten. Aus ergonomischen Gründen und für einen guten Griff in der Küche misst die Kante der sechseckigen Grundfläche $4\text{ cm}$. Die Finanzabteilung gibt eine Kostenbeschränkung vor: Die gesamte Weißblechfläche, die jede geschlossene Verpackung verbraucht (einschließlich beider sechseckiger Grundflächen), darf $450\text{ cm}^2$ nicht überschreiten.\na) Bestimme den Flächeninhalt einer der regelmäßigen sechseckigen Grundflächen. Denke daran: Um die Höhe des Seitendreiecks der Grundfläche (Inkreisradius) zu berechnen, musst du den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck verwenden, das aus dem Umkreisradius der Grundfläche (der genauso lang ist wie die Seite, $4\text{ cm}$) und der halben Seite gebildet wird. Runde diese Höhe auf zwei Dezimalstellen und den Flächeninhalt der Grundfläche auf Zehntel.\nb) Stelle ausgehend vom maximal erlaubten Oberflächeninhalt ($450\text{ cm}^2$) eine Gleichung oder Ungleichung auf, in der die Höhe $h$ der Dose und die beiden sechseckigen Grundflächen vorkommen.\nc) Löse den Ausdruck, um die maximale Höhe der Dose zu bestimmen. Wenn die Abfüllmaschine nur Höhen in ganzen Zentimetern einstellen kann, welche ist die größte Höhe in Zentimetern, die unter Einhaltung des Materialbudgets hergestellt werden kann?