Aufgaben: Rechnen mit Polynomen

In einem Strategiespiel ist dein Inventar auf zwei Truhen verteilt. Der Inhalt der ersten Truhe ist durch das Polynom $P(x) = 5x^2 + 3x - 4$ gegeben und der der zweiten durch $Q(x) = 2x^2 - 5x + 8$, wobei $x$ die Seltenheitsstufe der Gegenstände darstellt. Berechne das Gesamtpolynom, das die Summe der beiden Truhen darstellt: $P(x) + Q(x)$.

Zur Organisation eines E-Sports-Events verwendet ein Unternehmen den Term $G(x) = 10x^2 - 4x + 100$ zur Berechnung seiner Ausgaben und $I(x) = 15x^2 + 2x$ zur Berechnung seiner Einnahmen (wobei $x$ die Anzahl der Sponsoren ist). Bestimme das Polynom, das den Nettogewinn darstellt, wenn du weißt, dass der Gewinn die Differenz aus Einnahmen und Ausgaben ist: $I(x) - G(x)$.

Berechne den Wert des Polynoms $A(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ für die folgenden Fälle:

• a) Für $x = 0$

• b) Für $x = 1$

Betrachte die folgende Skizze einer rechteckigen Skatebahn. Schreibe das zusammengefasste Polynom auf, das den Umfang der Bahn in Abhängigkeit von $x$ darstellt.

Führe die folgende Operation durch, indem du das Monom mit dem Polynom multiplizierst (mit dem Distributivgesetz):

$3x^2 \cdot (2x^3 - 4x + 5)$

Bestimme die wichtigsten Bestandteile des folgenden Polynoms:

$P(x) = -7x^4 + 2x^3 - x + 12$

• a) Welchen Grad hat es?

• b) Wie lautet der Leitkoeffizient?

• c) Wie lautet das absolute Glied?

• d) Wie viele Terme hat es?

Ein junger Designer entwirft ein Logo für sein Modelabel. Das zentrale Logo ist ein Rechteck wie in der Abbildung. Bestimme das Polynom, das den gesamten Flächeninhalt der Figur darstellt.

Klammere in den folgenden einfachen Termen den gemeinsamen Faktor aus:

• a) $4x^2 + 8x$

• b) $5a^3 - 10a^2 + 15a$

Lea hat in ihrem Heft die folgende Subtraktion von Polynomen gelöst: $(5x^2 - 3x + 4) - (2x^2 - 7x - 1)$. Im letzten Schritt hat sie als Ergebnis $3x^2 - 10x + 3$ geschrieben. Erkläre, welche zwei Vorzeichenfehler sie bei der Anwendung der Regel für die Subtraktion von Polynomen gemacht hat, erläutere, warum sie entstehen, und schreibe die richtige Rechnung Schritt für Schritt bis zum endgültigen zusammengefassten Polynom auf.

Du sollst das Produkt der Polynome $P(x) = 3x^2 - 2$ und $Q(x) = 2x^2 + 5x - 4$ berechnen. Beantworte die folgenden Fragen vor und nach der vollständigen Multiplikation:

1. a) Bestimme, bevor du Term für Term ausmultiplizierst, welchen Grad das Ergebnispolynom $P(x) \cdot Q(x)$ haben muss und wie sein absolutes Glied lauten muss. Erkläre deine Überlegung.
2. b) Deine Mitschülerin Alba behauptet, ohne die Rechnung anzusehen, das Ergebnis sei $6x^5 + 15x^3 - 4x^2 - 10x - 8$. Welche zwei unmittelbaren Gründe, die auf deiner vorherigen Überlegung beruhen, zeigen, dass ihr Ergebnis unmöglich ist, ohne das Produkt auszumultiplizieren?
3. c) Berechne das vollständige Produkt mit dem Distributivgesetz, fasse gleichartige Terme zusammen und überprüfe, ob deine Einschätzung aus Teilaufgabe a) richtig war.

In einem Videospielgeschäft wird der Bestand dreier verschiedener Kategorien durch die folgenden Polynome ausgedrückt, wobei $x$ die Anzahl der Neuerscheinungen dieses Monats darstellt:

• Action: $A(x) = 3x^2 + 5x - 8$

• Abenteuer: $B(x) = -x^2 + 2x + 10$

• Strategie: $C(x) = 2x^2 - 4x + 1$

Berechne die folgenden Terme und vereinfache das Ergebnis:

1. a) Die Gesamtzahl der Videospiele im Geschäft: $A(x) + B(x) + C(x)$
2. b) Die Differenz zwischen den Action- und den Abenteuerspielen: $A(x) - B(x)$
3. c) Wie viele Strategiespiele blieben übrig, wenn die Hälfte einer Lieferung der Größe $4x^2 - 2x$ verkauft wird? Berechne: $C(x) - (2x^2 - x)$

Berechne den Flächeninhalt der schraffierten Fläche in der folgenden Abbildung. Die Abbildung zeigt eine rechteckige Metallplatte, aus der ein inneres Rechteck herausgeschnitten wurde, um Platz für ein elektronisches Bauteil zu schaffen. Gib das Ergebnis als Polynom in Abhängigkeit von $x$ an.

Zusätzliche Angaben:

• Äußere Breite: $5x + 3$

• Äußere Höhe: $3x$

• Innere Breite: $x + 2$

• Innere Höhe: $x$

Führe die folgenden Multiplikationen von Polynomen durch und fasse gleichartige Terme zusammen:

1. a) $3x \cdot (2x^2 - 5x + 4)$
2. b) $(-2x^2) \cdot (x^3 - 3x^2 + 7)$
3. c) $(x + 3) \cdot (x^2 - 2x + 5)$
4. d) $(2x - 1) \cdot (3x^2 + x - 2)$

Gegeben ist der folgende kombinierte Term mit Polynomen. Rechne und vereinfache, bis du ein einziges Polynom erhältst, das nach absteigendem Grad geordnet ist:

$P(x) = 2x \cdot (x^2 - 3x + 1) - (x - 4) \cdot (2x + 5)$

Ein Architekt entwirft einen quadratischen Platz mit der Seitenlänge $L = 2x + 5$ Meter. In der Mitte möchte er einen ebenfalls quadratischen Brunnen mit der Seitenlänge $l = x - 3$ Meter platzieren.

1. a) Multipliziere den Term für den Flächeninhalt des Platzes mithilfe der binomischen Formeln aus: $(2x + 5)^2$
2. b) Multipliziere den Term für den Flächeninhalt des Brunnens mithilfe der binomischen Formeln aus: $(x - 3)^2$
3. c) Berechne das Polynom, das die Fläche des Platzes darstellt, die zum Gehen frei bleibt (Flächeninhalt Platz − Flächeninhalt Brunnen).

Wende die binomischen Formeln an, um die folgenden Terme direkt auszumultiplizieren, ohne die Multiplikation Schritt für Schritt auszuführen:

1. a) $(3x + 4)^2$
2. b) $(5x - 2y)^2$
3. c) $(2x^2 + 1) \cdot (2x^2 - 1)$
4. d) $(\frac{1}{2}x + 6)^2$

Ausklammern ist der umgekehrte Vorgang zum Distributivgesetz. Analysiere die folgenden Terme und klammere alle möglichen gemeinsamen Faktoren aus (Zahlen und Buchstaben):

1. a) $12x^4 - 8x^3 + 4x^2$
2. b) $15a^3b^2 - 10a^2b$
3. c) $9x^2y - 3xy^2 + 6xy$
4. d) $7x^5 - 14x^2$

In einem Labor folgt das Wachstum einer Bakterienpopulation $A$ dem Polynom $A(t) = 2t^2 + 10t + 50$, wobei $t$ die Zeit in Stunden ist. Eine andere Population $B$ wächst nach dem Polynom $B(t) = t^2 - 5t$.

Wenn die Wissenschaftler das Verhalten einer Mischkultur kennen müssen, die durch die Operation $C(t) = 3 \cdot A(t) - 2 \cdot B(t)$ definiert ist, wie lautet dann das vereinfachte Polynom, das diese Population $C$ darstellt?

Beim Abwischen der Tafel am Ende der Mathestunde ist das Polynom $P(x)$ verschwunden, das die folgende Gleichung vervollständigte: $(2x^2 - 3x + 5) - P(x) + 3x \cdot (x - 2) = -x^2 + x + 9$.

1. a) Löse algebraisch nach $P(x)$ auf, ohne Zahlen zu raten, sodass es auf einer Seite der Gleichung allein steht.
2. b) Multipliziere die Produkte aus und fasse gleichartige Terme zusammen, um das Polynom $P(x)$ in geordneter und vereinfachter Form zu erhalten.
3. c) Überprüfe, ob deine Antwort richtig ist, indem du das erhaltene Polynom $P(x)$ auf der linken Seite der ursprünglichen Gleichung einsetzt und kontrollierst, dass es mit der rechten Seite übereinstimmt.

Der städtische E-Bike-Verleih einer deutschen Stadt berechnet seine monatlichen Kosten und Einnahmen pro Fahrrad in Abhängigkeit von $x$, wobei $x$ die pro Monat zurückgelegten Hunderter-Kilometer darstellt (zum Beispiel entspricht $x = 2$ dem Wert $200\text{ km}$):

• Kosten für Akku und Motor: $B(x) = 2x^2 + 15x + 30$ (in Euro).

• Kosten für Bremsen und Reifen: $F(x) = x^2 + 25x + 10$ (in Euro).

• Einnahmen aus Zuschlägen bei Intensivnutzung: $I(x) = 5x \cdot (x + 4)$ (in Euro).

1. a) Modelliere die gesamten Wartungskosten eines Fahrrads, $G(x)$, indem du $B(x)$ und $F(x)$ zu einem einzigen zusammengefassten Term addierst.
2. b) Welche wirtschaftliche Bedeutung hat das absolute Glied von $G(x)$, wenn ein Fahrrad den ganzen Monat an der Station steht ($x = 0$)?
3. c) Modelliere die Nettobilanz des Fahrrads mit dem Polynom $N(x) = I(x) - G(x)$. Führe die Subtraktion durch, achte dabei besonders auf die Vorzeichen, und vereinfache das Ergebnis.
4. d) Wenn ein Fahrrad in einem Monat $300\text{ km}$ zurücklegt ($x = 3$), berechne den Funktionswert $N(3)$ und deute, ob das Fahrrad in diesem Monat durch diese Posten einen positiven Saldo (Gewinn) oder einen negativen Saldo (Verlust) erzielt.

Berechne den folgenden Term und fasse das resultierende Polynom so weit wie möglich zusammen. Achte besonders auf die Rangfolge der Rechenoperationen und auf Klammern mit negativem Vorzeichen davor:

$(2x^2 - 5) \cdot (x + 3) - (x - 4)^2 + 3x \cdot (x^2 - 2x + 1)$

In der Mitte eines quadratischen Gartens mit der Seitenlänge $2x + 5$ Meter wurde ein rechteckiges Schwimmbecken angelegt, das $x + 2$ Meter lang und $x - 1$ Meter breit ist. Bestimme das Polynom, das den Flächeninhalt der Rasenfläche (des Teils des Gartens, den das Becken nicht einnimmt) darstellt.

Bestimme das unbekannte Polynom $Q(x)$ in der folgenden Gleichung:

$(-3x^3 + 5x^2 - 7) + Q(x) = x^4 - 2x^2 + 5x - 1$

Berechne anschließend den Wert von $Q(x)$ für $x = -2$.

Ein Paketdienst entwirft quaderförmige Kartons. Die Maße des Kartons sind: Die Länge beträgt $x + 5$ cm, die Breite $x - 2$ cm und die Höhe ist doppelt so groß wie die Breite.

1. a) Gib das Volumen des Kartons in Abhängigkeit von $x$ als Polynom an.
2. b) Multipliziere dieses Polynom aus und vereinfache es.

Bestimme den Wert des Koeffizienten $k$ im Polynom $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 5x - 4$, wenn du weißt, dass die Berechnung seines Funktionswerts für $x = 2$ das Ergebnis $10$ liefert.

Wende die binomischen Formeln an, um den folgenden Term auszumultiplizieren und zu vereinfachen:

$3 \cdot (2x + \frac{1}{2})^2 - 2 \cdot (3x - 1) \cdot (3x + 1)$

Vereinfache den folgenden Bruchterm, indem du zuerst im Zähler und im Nenner ausklammerst:

$\frac{12x^4 - 18x^3 + 6x^2}{6x^3 - 6x^2}$

Ein Hersteller von Handyhüllen hat ermittelt, dass die Kosten für die Produktion von $x$ Stück durch das Polynom $C(x) = 0,5x^2 + 10x + 200$ gegeben sind, während die Einnahmen aus dem Verkauf derselben Stückzahl durch $I(x) = -0,2x^2 + 50x$ ausgedrückt werden.

1. a) Bestimme das Polynom $B(x)$, das den Gewinn darstellt (Einnahmen minus Kosten).

1. b) Berechne den Gewinn, wenn $40$ Hüllen verkauft werden.

Um den Wert des Terms $E(x) = (2x - 6) \cdot (x^2 + 5x - 2) - (2x - 6) \cdot (x^2 + 3x + 8)$ für $x = 103$ zu berechnen, schlagen zwei Schüler unterschiedliche Wege vor:

• Markus' Methode: Er multipliziert die ersten beiden Polynome miteinander, dann die beiden zweiten, subtrahiert die beiden entstandenen Polynome, indem er alle Vorzeichen des zweiten umkehrt, fasst gleichartige Terme zusammen und setzt $x = 103$ ein.

• Sarahs Methode: Sie bemerkt, dass das Binom $(2x - 6)$ in beiden Blöcken vorkommt, klammert es aus dem gesamten Term aus, vereinfacht, was in der eckigen Klammer übrig bleibt, und setzt erst ganz am Ende $x = 103$ ein.

1. a) Wende Markus' Methode an, indem du den Term $E(x)$ vollständig ausmultiplizierst und vereinfachst.
2. b) Wende Sarahs Methode an, indem du $(2x - 6)$ ausklammerst, den entstandenen Term zusammenfasst und überprüfst, dass du genau auf dasselbe vereinfachte Polynom wie in Teilaufgabe a) kommst.
3. c) Begründe, welche der beiden Methoden sich besser eignet, um bei $x = 103$ auszuwerten, wenn man die Anzahl der Rechenschritte und das Fehlerrisiko möglichst gering halten will. Nutze diese vorteilhaftere Methode, um den Wert von $E(103)$ im Kopf zu bestimmen.

Betrachte das Produkt von Polynomen $P(x) = (a \cdot x + 3) \cdot (2x^2 + b \cdot x - 4)$, wobei $a$ und $b$ uns unbekannte konstante ganze Zahlen sind. Wenn man dieses Produkt ausmultipliziert und alle gleichartigen Terme zusammenfasst, erfüllt das entstehende Polynom zwei Bedingungen:

1. Sein Leitkoeffizient (die Zahl bei $x^3$) ist gleich $6$.

2. Der Term vom Grad 2 entfällt vollständig (sein Koeffizient ist am Ende $0$).

1. a) Schreibe den Term auf, der sich ergibt, wenn man $(a \cdot x + 3) \cdot (2x^2 + b \cdot x - 4)$ Term für Term ausmultipliziert, bevor man gleichartige Terme zusammenfasst.
2. b) Bestimme anhand der beiden gegebenen Bedingungen mit Begründung den genauen Wert der Zahlen $a$ und $b$.
3. c) Schreibe mit den gefundenen Werten das Polynom $P(x)$ vollständig ausmultipliziert, zusammengefasst und nach absteigendem Grad geordnet auf.
4. d) Klammere aus dem entstandenen Polynom $P(x)$ den größtmöglichen Monomfaktor aus und erkläre, wie du mit dem Distributivgesetz überprüfen würdest, dass deine Faktorisierung richtig ist.