Wurzelfunktion und Umkehrfunktionen
Ein Taxi in Köln kostet $p(s) = 3{,}50 + 2{,}00\cdot s$ Euro für $s$ Kilometer. Aus der Strecke wird der Preis berechnet. Aber Ben hat nur 25,50 € dabei und fragt: Wie weit kommt er? Dafür muss man die Rechenvorschrift „rückwärts“ laufen lassen. In diesem Kapitel lernen Sie, wann das immer eindeutig geht, wie man den Term der Umkehrfunktion findet und wie man ihre Ableitung bestimmt, ohne den Term zu kennen.
Umkehrbarkeit und Spiegelung an y = x
Eine Funktion $f$ ordnet jedem $x$ genau ein $y$ zu. Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ soll jedem $y$ wieder das ursprüngliche $x$ zuordnen. Das klappt nur, wenn jeder Funktionswert nur einmal angenommen wird.
Warum streng monoton? Wenn $f$ einen Wert zweimal annimmt (wie $x^2$ bei $x = -2$ und $x = 2$), wüsste die Umkehrung nicht, welches $x$ sie zurückgeben soll. Streng monoton heißt: Es gibt keine solche Doppelung. Ob $f$ streng monoton ist, prüfen Sie meist mit der Ableitung: $f'(x) > 0$ auf ganz $D$ (oder $f'(x) < 0$) genügt.
Der Graph von $f^{-1}$ entsteht durch Spiegelung des Graphen von $f$ an der Winkelhalbierenden $y = x$. Denn liegt $P(a|b)$ auf dem Graphen von $f$, so liegt $Q(b|a)$ auf dem Graphen von $f^{-1}$.
Zur Probe: Der Punkt $(2|4)$ liegt auf $x^2$, der gespiegelte Punkt $(4|2)$ liegt auf $\sqrt{x}$.
So finden Sie den Term von f⁻¹
Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von $f(x) = 3x - 6$.
Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von $f(x) = 3x - 6$.
Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von $f(x) = x^2$ für $x \geq 0$ und geben Sie Definitions- und Wertemenge an.
Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von $f(x) = x^2$ für $x \geq 0$ und geben Sie Definitions- und Wertemenge an.
Wurzelfunktion, ln-Funktion und weitere Umkehrungen
Zwei Paare müssen Sie sicher kennen:
| Funktion $f$ | Umkehrfunktion $f^{-1}$ | Mengen |
|---|---|---|
| $x^2$, $x \ge 0$ | $\sqrt{x}$ | $D = W = [0; \infty[$ |
| $e^x$ | $\ln x$ | $D_{\ln} = \,]0; \infty[$, $W_{\ln} = \mathbb{R}$ |
Die Exponentialfunktion hat $W = \,]0;\infty[$, also hat $\ln$ die Definitionsmenge $]0;\infty[$ (daher die senkrechte Asymptote $x = 0$ des Graphen von $\ln$, Spiegelbild der waagerechten Asymptote $y = 0$ von $e^x$).
Mit diesen Paaren lösen Sie auch Gleichungen: $f(x) = c$ ist dasselbe wie $x = f^{-1}(c)$. Zum Beispiel $2\ln x + 1 = 5 \iff \ln x = 2 \iff x = e^2$.
Schnittpunkte von f und f⁻¹
Die Graphen von $f$ und $f^{-1}$ sind symmetrisch zu $y = x$. Schneiden sie sich, liegt der Schnittpunkt meist auf der Geraden $y = x$. Deshalb löst man $f(x) = x$. Bei $f(x) = \sqrt{x+3}-1$: $\sqrt{x+3} = x+1$, quadriert $x + 3 = x^2 + 2x + 1$, also $x^2 + x - 2 = 0$ mit $x = 1$ oder $x = -2$. Wegen $x + 1 \ge 0$ (Probe!) bleibt nur $x = 1$, Schnittpunkt $S(1|1)$.
Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von $f(x) = e^{x} + 1$ und geben Sie deren Definitionsmenge an.
Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von $f(x) = e^{x} + 1$ und geben Sie deren Definitionsmenge an.
Gegeben ist $f(x) = \sqrt{2x + 3}$. a) Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Wertemenge. b) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion. c) Bestimmen Sie den Schnittpunkt von…
Gegeben ist $f(x) = \sqrt{2x + 3}$.
- a) Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Wertemenge.
- b) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion.
- c) Bestimmen Sie den Schnittpunkt von $f$ und $f^{-1}$.
Gegeben ist $f(x) = 2\ln(x) + 1$. a) Bestimmen Sie $f^{-1}$. b) Lösen Sie $f(x) = 5$. c) Erläutern Sie, wie die Graphen von $f$ und $f^{-1}$ zueinander liegen.
Gegeben ist $f(x) = 2\ln(x) + 1$.
- a) Bestimmen Sie $f^{-1}$.
- b) Lösen Sie $f(x) = 5$.
- c) Erläutern Sie, wie die Graphen von $f$ und $f^{-1}$ zueinander liegen.
Die Umkehrregel: Ableitung ohne Term
Manchmal lässt sich $f^{-1}$ nicht als Term angeben, die Steigung braucht man trotzdem. Die Idee: Bei der Spiegelung an $y = x$ werden Steigungsdreiecke vertauscht, aus „$\Delta y$ geteilt durch $\Delta x$“ wird „$\Delta x$ geteilt durch $\Delta y$“. Die Steigung wird also zum Kehrwert.
Herleitung: Aus $f(f^{-1}(x)) = x$ folgt mit der Kettenregel $f'(f^{-1}(x))\cdot (f^{-1})'(x) = 1$. Umstellen ergibt die Regel.
Die Ableitung der Wurzelfunktion
Mit $g(y) = y^2$ (für $y \ge 0$) und $f = g^{-1}$, also $f(x) = \sqrt{x}$: $g'(y) = 2y$. Die Umkehrregel gibt
$f'(x) = \dfrac{1}{g'(\sqrt{x})} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ für $x > 0$.
Das stimmt mit der Potenzregel überein: $\left(x^{1/2}\right)' = \frac12 x^{-1/2}$. Die Ableitung ist für $x = 0$ nicht definiert: Die Parabel hat dort eine waagerechte, die Wurzelfunktion eine senkrechte Tangente.
Tangenten und Spiegelung
Mit der Spiegelung an $y = x$ werden auch Tangenten gespiegelt. Für $f(x) = \sqrt{x}$ im Punkt $P(4|2)$ ist $f'(4) = \frac14$, die Tangente $y = \frac14 x + 1$. Für $f^{-1}(x) = x^2$ im Punkt $Q(2|4)$ ist die Steigung $4$, die Tangente $y = 4x - 4$. Die Steigungen $\frac14$ und $4$ sind Kehrwerte, wie es die Umkehrregel verlangt. Löst man die erste Tangente nach $x$ auf ($x = 4y - 4$ und Variablentausch), erhält man gerade $y = 4x - 4$.
Ein Beispiel mit Substitution
Für $f(x) = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$ gilt $f'(x) = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2} > 0$, also ist $f$ umkehrbar. Zum Auflösen von $y = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ setzt man $u = e^x > 0$: $2y = u - \frac1u \Rightarrow u^2 - 2yu - 1 = 0$, also $u = y \pm \sqrt{y^2+1}$. Wegen $u > 0$ ist nur das Plus möglich (denn $\sqrt{y^2+1} > |y|$). Damit ist $x = \ln\left(y + \sqrt{y^2+1}\right)$ und
$f^{-1}(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2+1}\right)$.
Gegeben ist $f(x) = (x-2)^2 + 1$ für $x \geq 2$. a) Begründen Sie, dass $f$ umkehrbar ist. b) Bestimmen Sie $f^{-1}$ mit Definitions- und Wertemenge. c) Berechnen Sie…
Gegeben ist $f(x) = (x-2)^2 + 1$ für $x \geq 2$.
- a) Begründen Sie, dass $f$ umkehrbar ist.
- b) Bestimmen Sie $f^{-1}$ mit Definitions- und Wertemenge.
- c) Berechnen Sie $(f^{-1})'(5)$ mit der Umkehrregel.
Gegeben ist $f(x) = x^3 + x$. a) Begründen Sie, dass $f$ auf $\mathbb{R}$ umkehrbar ist. b) Bestimmen Sie $f^{-1}(2)$ und $(f^{-1})'(2)$. c) Stellen Sie die Gleichung…
Gegeben ist $f(x) = x^3 + x$.
- a) Begründen Sie, dass $f$ auf $\mathbb{R}$ umkehrbar ist.
- b) Bestimmen Sie $f^{-1}(2)$ und $(f^{-1})'(2)$.
- c) Stellen Sie die Gleichung auf, die $y = f^{-1}(x)$ erfüllt, erläutern Sie, warum sich diese mit Schulmitteln nicht nach $y$ auflösen lässt, und bestimmen Sie $(f^{-1})'(0)$.
Gegeben ist $f(x) = \sqrt{x}$ für $x \ge 0$. a) Leiten Sie $f'$ mit der Umkehrregel aus $g(y) = y^2$ her. b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an $f$ im Punkt…
Gegeben ist $f(x) = \sqrt{x}$ für $x \ge 0$.
- a) Leiten Sie $f'$ mit der Umkehrregel aus $g(y) = y^2$ her.
- b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an $f$ im Punkt $P(4|2)$ und die Tangente an $f^{-1}$ im Punkt $Q(2|4)$.
- c) Zeigen Sie, dass beide Tangenten an der Geraden $y = x$ gespiegelt sind.
Gegeben ist $f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$. a) Zeigen Sie, dass $f$ streng monoton wachsend ist. b) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion (Hinweis: Substitution $u = e^{x}$…
Gegeben ist $f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$.
- a) Zeigen Sie, dass $f$ streng monoton wachsend ist.
- b) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion (Hinweis: Substitution $u = e^{x}$ führt auf eine quadratische Gleichung).
- c) Berechnen Sie $(f^{-1})'(0)$ auf zwei Wegen.
Zurück zum Anfang: Für das Taxi gilt $p = 3{,}50 + 2{,}00\,s$. Auflösen nach $s$ ergibt die Umkehrfunktion $s(p) = \frac{p - 3{,}50}{2{,}00}$. Für 25,50 € ist $s = 11$, Ben kommt also 11 km weit.